DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2024.223
تاريخ النشر: 2024-05-31
المؤلف: Evgeniy Boyko وآخرون
الموضوع الرئيسي: دراسات الريولوجيا وديناميات السوائل
نظرة عامة
تستكشف هذه القسم من ورقة البحث التدفقات المدفوعة بالضغط للسوائل اللزجة المرنة، وبشكل خاص سائل Oldroyd-B، في أشكال هندسية ضيقة وغير متجانسة، والتي لها صلة بالسياقات الفسيولوجية والصناعية. التركيز الأساسي هو على إقامة العلاقة بين معدل التدفق ($q$) وانخفاض الضغط ($p$) من خلال إطار نظري يستخدم نظرية التشحيم تحت الحد الفائق التخفيف. يسمح هذا النهج بوجود ملف سرعة بارابوليكي وترابط أحادي الاتجاه بين السرعة وموتر تكوين البوليمر، مما يؤدي إلى تعبيرات مغلقة لكل من موتر التكوين وعلاقة $q-p$ عبر أرقام ديبورا المختلفة (De).
تشير النتائج إلى أن انخفاض الضغط ينخفض بشكل أحادي مع زيادة De، مع عرض مقياس خطي عند أرقام ديبورا العالية. كما يحدد المؤلفون الآليات الفيزيائية الأساسية المسؤولة عن هذا الانخفاض في الضغط، مع التأكيد على الاسترخاء المكاني للضغوط المرنة وتدرجات الضغط في قناة الخروج بعد الانكماش. ومن الجدير بالذكر أن المسافة المطلوبة لهذا الاسترخاء تظهر أنها تتناسب خطيًا مع De، مما يوفر رؤى حول ديناميات التدفقات اللزجة المرنة في الأشكال الهندسية المتقلصة.
مقدمة
تناقش المقدمة أهمية تدفقات السوائل اللزجة المرنة في الأشكال الهندسية غير المتجانسة، لا سيما في السياقات الفسيولوجية مثل تدفقات الشرايين وتطبيقات صناعية متنوعة. التركيز الأساسي هو العلاقة بين انخفاض الضغط ($p$) ومعدل التدفق ($q$)، مع تسليط الضوء على كيفية أن إضافة البوليمرات إلى مذيب نيوتوني يمكن أن تغير بشكل كبير خصائص التدفق بسبب توليد الضغوط المرنة إلى جانب الضغوط اللزجة. تم إجراء أبحاث واسعة حول التدفقات المدفوعة بالضغط للسوائل اللزجة المرنة، بشكل أساسي من خلال المحاكاة العددية والقياسات التجريبية، مع إيلاء اهتمام خاص للانكماش المفاجئ وقنوات الانكماش-التوسع، والتي أصبحت مشاكل مرجعية في ميكانيكا السوائل غير النيوتونية الحاسوبية.
على الرغم من ثراء الدراسات، لا يزال الاسترخاء المكاني للضغوط والضغط في هذه الأشكال الهندسية غير مفهوم جيدًا، مما يؤدي إلى تحديدات تعسفية لطول قنوات الخروج في المحاكاة. تحفز هذه الحالة الحاجة إلى تطوير نظري لحساب انخفاضات الضغط الكلي بدقة عبر التكوينات، بما في ذلك قنوات الدخول والخروج. كما تشير المقدمة إلى أن العديد من الأساليب النظرية الحالية تعتمد على توسعات الاضطراب في الحد الضعيف اللزج، والتي قد لا تعالج بشكل كافٍ سيناريوهات أرقام ديبورا أو ويسنبرغ العالية. يهدف المؤلفون إلى تقديم نتائج تحليلية ونصف تحليلية للحد الفائق التخفيف عند أرقام ديبورا العالية، والتي يمكن أن تؤكد توقعات المحاكاة وتعزز فهم معادلات النموذج التأسيسية.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج نظرية تتعلق بانخفاض الضغط وتوزيع موتر التكوين لسائل Oldroyd-B في الحد الفائق التخفيف، كما تم تطويره في الأقسام السابقة. يركزون على شكل انكماش محدد يعرف بواسطة دالة الشكل \( H(Z) = 1 – (1 – H_\ell)Z^2(2 – Z)^2 \) لـ \( 0 \leq Z \leq 1 \)، حيث \( H_\ell = \frac{H(1)}{H(0)} = \frac{h_\ell}{h_0} \) يمثل نسبة ارتفاعات الخروج إلى الدخول، مع \( H_\ell < 1 \) للانكماش. يتم إجراء التحليل لـ \( H_\ell = 0.5 \) و \( \beta = 0.05 \)، مع الاعتراف بأن الدراسات السابقة استكشفت نسب انكماش متعددة أدت إلى اختلافات كبيرة في الضغوط المرنة العادية. لاشتقاق حلول نصف تحليلية لانخفاض الضغط ومكونات موتر التكوين، استخدم المؤلفون روتينات MATLAB، وبشكل خاص `cumtrapz` لحساب مكونات موتر التكوين و `trapz` لتحديد انخفاض الضغط. تم تعيين حجم الشبكة إلى \( Z = 10^{-4} \) و \( \eta = 0.005 \). تشير النتائج إلى وجود فرق ضئيل في انخفاض الضغط بين قيم مختلفة لـ \( c \) عند رقم ديبورا محدد، \( De = 0.8 \)، مما يبرز قوة تحليلهم لقنوات ذات أشكال غير منتظمة تتغير ببطء تحت الظروف \( 1 \) و \( \beta < 1 \).
المناقشة
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون التدفق الثابت غير القابل للضغط لسائل Oldroyd-B اللزج المرن من خلال انكماش متماثل ثنائي الأبعاد. تركز الدراسة على انخفاض الضغط عبر منطقة الانكماش والاسترخاء المكاني للضغط والضغوط المرنة في قناة الخروج. يتم اشتقاق المعادلات الحاكمة باستخدام كل من الإحداثيات الكارتيزية والإحداثيات المنحنية المتعامدة، مع التأكيد على تدفقات الأعداد المنخفضة حيث تكون القصور الذاتي غير ملحوظة. يتم استخدام نموذج Oldroyd-B لالتقاط السلوك اللزج المرن للسائل، مع دمج كل من الضغوط اللزجة والمرنة.
يقوم المؤلفون بإجراء تحليل مقياسي وتخفيض الأبعاد بناءً على نظرية التشحيم، مع تقديم معلمات خالية من الأبعاد ذات صلة مثل رقم ديبورا (De) ورقم ويسنبرغ (Wi). يتم تبسيط المعادلات الحاكمة تحت تقريب التشحيم، مما يؤدي إلى مجموعة من المعادلات غير البعدية التي تصف ديناميات التدفق في الانكماش. يتم التعبير عن انخفاض الضغط من حيث المساهمات من الضغوط اللزجة والمرنة، مع تسليط الضوء على تأثير شكل القناة على خصائص التدفق. يكشف التحليل أن انخفاض الضغط يتأثر بفارق الضغوط المرنة العادية وضغوط القص، مع مساهمات متميزة تنشأ من التغيرات المكانية في شكل القناة. تؤكد النتائج على التفاعل المعقد بين مرونة السائل وشكل التدفق في تحديد ديناميات الضغط في السوائل اللزجة المرنة.
DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2024.223
Publication Date: 2024-05-31
Author(s): Evgeniy Boyko et al.
Primary Topic: Rheology and Fluid Dynamics Studies
Overview
This section of the research paper investigates the pressure-driven flows of viscoelastic fluids, specifically the Oldroyd-B fluid, in narrow and non-uniform geometries, which are relevant in both physiological and industrial contexts. The primary focus is on establishing the relationship between flow rate ($q$) and pressure drop ($p$) through a theoretical framework that employs lubrication theory under the ultra-dilute limit. This approach allows for a parabolic velocity profile and a one-way coupling between the velocity and the polymer conformation tensor, leading to closed-form expressions for both the conformation tensor and the $q-p$ relation across various Deborah numbers (De).
The findings indicate that the pressure drop decreases monotonically with increasing De, exhibiting linear scaling at high Deborah numbers. The authors also identify the underlying physical mechanisms responsible for this reduction in pressure drop, emphasizing the spatial relaxation of elastic stresses and pressure gradients in the exit channel post-contraction. Notably, the distance required for this relaxation is shown to scale linearly with De, providing insights into the dynamics of viscoelastic flows in contracting geometries.
Introduction
The introduction discusses the significance of viscoelastic fluid flows in non-uniform geometries, particularly in physiological contexts like arterial flows and various industrial applications. A primary focus is the relationship between pressure drop ($p$) and flow rate ($q$), highlighting how the addition of polymers to a Newtonian solvent can significantly alter flow characteristics due to the generation of elastic stresses alongside viscous stresses. Extensive research has been conducted on pressure-driven flows of viscoelastic fluids, primarily through numerical simulations and experimental measurements, with particular attention given to abrupt contractions and contraction-expansion channels, which have become benchmark problems in computational non-Newtonian fluid mechanics.
Despite the wealth of studies, the spatial relaxation of stresses and pressure in these geometries remains poorly understood, leading to arbitrary determinations of exit channel lengths in simulations. This lack of clarity motivates the need for theoretical development to accurately account for total pressure drops across configurations, including entry and exit channels. The introduction also notes that many existing theoretical approaches rely on perturbation expansions in the weakly viscoelastic limit, which may not adequately address high Deborah or Weissenberg number scenarios. The authors aim to provide analytical and semi-analytical results for the ultra-dilute limit at high Deborah numbers, which could validate simulation predictions and enhance understanding of model constitutive equations.
Results
In this section, the authors present theoretical findings regarding the pressure drop and conformation tensor distribution of the Oldroyd-B fluid in the ultra-dilute limit, as developed in previous sections. They focus on a specific contraction geometry defined by the shape function \( H(Z) = 1 – (1 – H_\ell)Z^2(2 – Z)^2 \) for \( 0 \leq Z \leq 1 \), where \( H_\ell = \frac{H(1)}{H(0)} = \frac{h_\ell}{h_0} \) represents the ratio of exit to entry heights, with \( H_\ell < 1 \) for the contraction. The analysis is conducted for \( H_\ell = 0.5 \) and \( \beta = 0.05 \), while acknowledging that previous studies explored multiple contraction ratios leading to significant variations in elastic normal stresses. To derive semi-analytical solutions for the pressure drop and conformation tensor components, the authors utilized MATLAB routines, specifically `cumtrapz` for calculating the conformation tensor components and `trapz` for determining the pressure drop. The grid size was set to \( Z = 10^{-4} \) and \( \eta = 0.005 \). The results indicate a minimal difference in pressure drop between different values of \( c \) at a specific Deborah number, \( De = 0.8 \), highlighting the robustness of their analysis for slowly varying arbitrarily shaped channels under the conditions \( 1 \) and \( \beta < 1 \).
Discussion
In this section, the authors investigate the incompressible steady flow of a viscoelastic Oldroyd-B fluid through a two-dimensional symmetric contraction. The study focuses on the pressure drop across the contraction region and the spatial relaxation of pressure and elastic stresses in the exit channel. The governing equations are derived using both Cartesian and orthogonal curvilinear coordinates, emphasizing low-Reynolds-number flows where inertia is negligible. The Oldroyd-B model is employed to capture the viscoelastic behavior of the fluid, incorporating both viscous and elastic stresses.
The authors perform a scaling analysis and non-dimensionalization based on lubrication theory, introducing relevant dimensionless parameters such as the Deborah number (De) and the Weissenberg number (Wi). The governing equations are simplified under the lubrication approximation, leading to a set of dimensionless equations that describe the flow dynamics in the contraction. The pressure drop is expressed in terms of contributions from viscous and elastic stresses, highlighting the influence of the channel geometry on the flow characteristics. The analysis reveals that the pressure drop is affected by the elastic normal stress difference and shear stresses, with distinct contributions arising from the spatial variations in channel shape. The findings underscore the complex interplay between fluid elasticity and flow geometry in determining pressure dynamics in viscoelastic fluids.