DOI: https://doi.org/10.3934/mmc.2026009
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: K. Yogalakshmi وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
في هذا القسم، يستكشف البحث تطبيق نظرية الشبكات الذاتية التشابه عبر مجالات مختلفة، مع التأكيد على فائدتها في نمذجة الأنظمة المعقدة التي تتميز بالهياكل الهرمية. تركز الدراسة على الشبكات الفراكتالية الماسية (DFNs) والشبكات الفراكتالية المربعة (SFNs)، مستخدمة الأبعاد الفراكتالية العامة (GFD) المستمدة من مؤشرات الطوبولوجيا المعتمدة على درجة الجوار. تشمل المؤشرات الرئيسية التي تم فحصها مؤشر درجة الجوار المعتمد على الجوار الثالث (NDₑ)، مؤشر هايبر-زيغريب للجوار، مؤشر الطوبولوجيا المنسي للجوار، مؤشر سانسكريتي، ومؤشر مجموع الجوار العكسي.
يحسب المؤلفون الأبعاد متعددة الفراكتلات لهذه المؤشرات ويقدمون رسومات مقارنة توضح العلاقات بين المؤشرات وGFD عبر التكرارات (k ≥ 3). تكشف التحليلات عن رؤى حول تعقيد الشبكات، مع تمثيلات رسومية لمنحنيات طيف GFD متعددة الفراكتلات مما يسهل فهمًا أعمق لخصائص التشابه الذاتي في سياق DFN وSFN. بشكل عام، تؤكد النتائج على أهمية مؤشرات الطوبولوجيا المعتمدة على درجة الجوار في قياس الهياكل المعقدة للشبكات الذاتية التشابه.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية الهندسة الفراكتالية كأداة قوية لوصف الهياكل الطبيعية المعقدة التي تتميز بالتشابه الذاتي. نشأت من عمل مانديبروت في عام 1975، تُعرف الفراكتلات بأنها مجموعات لها بعد هاوسدورف أكبر من بعد الطوبولوجيا الخاص بها، مما يسمح بتحليل الأشكال غير المنتظمة والمجزأة التي لا يمكن للهندسة التقليدية تمثيلها بشكل كافٍ. تؤكد الورقة على فائدة الأبعاد الفراكتالية في تعزيز قياس وتصنيف الشكل والملمس عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك البيولوجيا والاقتصاد وعلوم الحاسوب.
علاوة على ذلك، تسلط المقدمة الضوء على مفهوم الفراكتلات المتعددة، التي تظهر تعقيدًا أكبر من الفراكتلات القياسية بسبب أنماطها الهندسية المحلية. تقدم الورقة تحليل الفراكتلات المتعددة (MFA) كنهج منهجي لدراسة التباين المكاني في الهياكل الفراكتالية، مستخدمة الأبعاد الفراكتالية العامة (GFD) لتصنيف وتقييم الشبكات المعقدة. كما يتم الإشارة إلى أهمية نظرية الرسم الكيميائي (CGT)، خاصة في سياق مؤشرات الطوبولوجيا التي تتنبأ بخصائص وسلوكيات الجزيئات. توضح الورقة هيكلها، مشيرة إلى أن الأقسام التالية ستتناول المفاهيم الأساسية والأساليب واستنتاج مؤشرات الطوبولوجيا المعتمدة على درجة الجوار لشبكات الفراكتلات الماسية والمربعة.
طرق
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون طرقًا رياضية متنوعة تتعلق بتحليل الشبكات المعقدة، مع التركيز بشكل خاص على البعد الفراكتالي، إنتروبيا ريني، البعد الفراكتالي العام (GFD)، والهياكل الأساسية للشبكات الفراكتالية الحتمية (DFNs) والشبكات الخالية من المقياس (SFNs). يعمل البعد الفراكتالي كمقياس لتعقيد وتشابه هياكل الشبكة، بينما توفر إنتروبيا ريني إطارًا عامًا لقياس عدم اليقين والتنوع داخل هذه الشبكات.
بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم مفهوم GFD كأداة لوصف سلوك القياس للشبكات، وهو أمر حاسم لفهم ديناميكياتها الأساسية. يؤكد المؤلفون على أهمية هذه البنى الرياضية في الكشف عن الخصائص المعقدة لـ DFNs وSFNs، مما يعزز الفهم لخصائصها الهيكلية والوظيفية في تطبيقات متنوعة.
نقاش
في هذا القسم، تناقش الورقة مفاهيم البعد الفراكتالي، إنتروبيا ريني، والأبعاد الفراكتالية العامة (GFD) في سياق الشبكات الذاتية التشابه. يقيس البعد الفراكتالي تعقيد وتشابه الأجسام الفراكتالية، مع توفر طرق متنوعة لحسابه، مثل حساب الصناديق وأبعاد هاوسدورف. يبرز بعد التشابه، الذي يُعرف بأنه \( D = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\log(N)}{\log(1/\epsilon)} \)، العلاقة بين عدد النسخ الذاتية التشابه \( N \) ونسبة القياس \( \epsilon \). تعتبر إنتروبيا ريني، وهي تعميم لإنتروبيا شانون، محورية في نظرية المعلومات وتُعبر عنها كـ \( R_q = \frac{1}{1-q} \ln\left(\sum_{i=1}^{N} p_i^q\right) \)، حيث يمثل \( p_i \) احتمالات التوزيع.
تقدم الورقة أيضًا GFD، المستمدة من إنتروبيا ريني، لتحليل خصائص الشبكات الفراكتالية الذاتية التشابه باستخدام مؤشرات الطوبولوجيا المعتمدة على درجة الجوار. يتم تفصيل بناء الشبكات الفراكتالية الماسية والمربعة، مع عمليات تكرارية تؤدي إلى هياكلها المعنية. يتم حساب GFD لهذه الشبكات، مما يكشف أنه مع زيادة الرتبة \( q \)، تنخفض قيم GFD، مما يشير إلى فهم دقيق لتعقيد الشبكات. تظهر النتائج أن GFD، وخاصة من مؤشرات درجة الجوار، تلتقط بفعالية التشابه الذاتي وسلوك القياس للشبكات المعقدة، مما يوفر رؤى حول خصائصها الهيكلية وسلوكياتها عبر مقاييس مختلفة.
DOI: https://doi.org/10.3934/mmc.2026009
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): K. Yogalakshmi et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
In this section, the research explores the application of self-similar network theory across various disciplines, emphasizing its utility in modeling complex systems characterized by hierarchical structures. The study focuses on diamond fractal networks (DFNs) and square fractal networks (SFNs), employing generalized fractal dimensions (GFD) derived from neighborhood degree-based topological indices. Key indices examined include the third neighborhood degree-based index (NDₑ), the neighborhood hyper-Zegreb index, the neighborhood forgotten topological index, the Sanskruti index, and the neighborhood inverse sum index.
The authors compute multifractal dimensions for these indices and present comparative graphs illustrating the relationships between the indices and the GFD across iterations (k ≥ 3). The analysis reveals insights into the complexity of the networks, with graphical representations of multifractal GFD spectral curves facilitating a deeper understanding of self-similarity properties in the context of the DFN and SFN. Overall, the findings underscore the significance of neighborhood degree-based topological indices in quantifying the intricate architectures of self-similar networks.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of fractal geometry as a powerful tool for describing complex natural structures characterized by self-similarity. Originating from Mandelbrot’s work in 1975, fractals are defined as sets with a Hausdorff dimension greater than their topological dimension, allowing for the analysis of irregular and fragmented shapes that traditional geometry cannot adequately represent. The paper emphasizes the utility of fractal dimensions in enhancing the measurement and categorization of shape and texture across various fields, including biology, economics, and computer science.
Furthermore, the introduction highlights the concept of multifractals, which exhibit more complexity than standard fractals due to their localized geometric patterns. The paper introduces multifractal analysis (MFA) as a systematic approach to studying spatial heterogeneity in fractal structures, utilizing generalized fractal dimensions (GFD) to classify and evaluate complex networks. The relevance of chemical graph theory (CGT) is also noted, particularly in the context of topological indices that predict molecular properties and behaviors. The paper outlines its structure, indicating that subsequent sections will delve into fundamental concepts, methods, and the derivation of neighborhood degree-based topological indices for diamond and square fractal networks.
Methods
In this section, the authors explore various mathematical methods pertinent to the analysis of complex networks, specifically focusing on fractal dimension, Rényi entropy, generalized fractal dimension (GFD), and the foundational structures of deterministic fractal networks (DFNs) and scale-free networks (SFNs). The fractal dimension serves as a measure of the complexity and self-similarity of network structures, while Rényi entropy provides a generalized framework for quantifying uncertainty and diversity within these networks.
Additionally, the concept of GFD is introduced as a tool for characterizing the scaling behavior of networks, which is crucial for understanding their underlying dynamics. The authors emphasize the significance of these mathematical constructs in revealing the intricate properties of DFNs and SFNs, thereby enhancing the comprehension of their structural and functional characteristics in various applications.
Discussion
In this section, the paper discusses the concepts of fractal dimension, Renyi entropy, and generalized fractal dimensions (GFD) in the context of self-similar networks. The fractal dimension quantifies the complexity and self-similarity of fractal objects, with various methods available for its calculation, such as the box-counting and Hausdorff dimensions. The similarity dimension, defined as \( D = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\log(N)}{\log(1/\epsilon)} \), highlights the relationship between the number of self-similar copies \( N \) and the scaling ratio \( \epsilon \). Renyi entropy, a generalization of Shannon entropy, is pivotal in information theory and is expressed as \( R_q = \frac{1}{1-q} \ln\left(\sum_{i=1}^{N} p_i^q\right) \), where \( p_i \) represents the probabilities of the distribution.
The paper further introduces GFD, derived from Renyi entropy, to analyze the properties of self-similar fractal networks using neighborhood degree-based topological indices. The construction of diamond and square fractal networks is detailed, with iterative processes leading to their respective structures. The GFD for these networks is computed, revealing that as the order \( q \) increases, the GFD values decrease, indicating a nuanced understanding of the networks’ complexity. The results demonstrate that the GFD, particularly from the neighborhood degree-based indices, effectively captures the self-similarity and scaling behavior of complex networks, providing insights into their structural characteristics and behaviors across different scales.