DOI: https://doi.org/10.17776/csj.1728252
تاريخ النشر: 2026-02-27
المؤلف: Hanefi GEZER وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
تقدم هذه القسم نظرة عامة على تطبيق توزيع رايلي في تحليلات العمر والموثوقية، خاصةً للمكونات أو الأنظمة ذات معدلات الفشل المتزايدة. يبرز أهمية نظام التقدير التقدمي من النوع الثاني المحسن (IAT-II PCS)، الذي يسمح بإجراء الاختبارات لاستنتاج النتائج ضمن إطار زمني محدد. تتناول الدراسة التحدي المتمثل في تحديد عدد الوحدات التي تمت إزالتها في كل وقت فشل بشكل غير متوقع، داعيةً إلى نموذج يتضمن إزالات عشوائية.
لتقدير معامل المقياس وخصائص الموثوقية لتوزيع رايلي تحت نظام IAT-II PCS مع الإزالات العشوائية، تستخدم البحث مقدرات الاحتمالية القصوى (ML) ومقدرات بايزيان استنادًا إلى دالة خسارة الخطأ المربع. تم إجراء محاكاة مونت كارلو واسعة النطاق لتقييم أداء هذه المقدرات. تكشف النتائج أن مقدرات بايزيان التي تستخدم معلومات سابقة تظهر أداءً متفوقًا من حيث متوسط مربع الخطأ عند تطبيقها على نظام IAT-II PCS مع إزالات عشوائية ثنائية، مما يبرز الأهمية العملية للمنهجيات المقترحة من خلال تطبيق بيانات حقيقية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة توزيع رايلي، الذي يُستخدم على نطاق واسع في هندسة الموثوقية، خاصةً لنمذجة الأنظمة ذات معدلات الفشل المتزايدة. يتم تقديم دالة كثافة الاحتمال (pdf) ودالة التوزيع التراكمي (cdf) لتوزيع رايلي، المعلمة بواسطة $\sigma$، كما يلي:
\[
f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0, \, \sigma > 0
\]
\[
F(x; \sigma) = 1 – e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0.
\]
تُعرف دالة الموثوقية $R(t)$ ودالة معدل المخاطر $h(t)$ كما يلي:
\[
R(t) = e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}, \quad t > 0
\]
\[
h(t) = \frac{t}{\sigma^2}, \quad t > 0.
\]
تسلط الورقة الضوء على الطبيعة المتزايدة لدالة معدل المخاطر، مما يجعل توزيع رايلي مناسبًا لنمذجة الفشل في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك المكونات الإلكترونية والأجهزة الطبية. يشير المؤلفون إلى وجود فجوة كبيرة في الأدبيات بشأن تطبيق توزيع رايلي تحت نظام التقدير التقدمي من النوع الثاني المحسن (IAT-II PCS)، خاصةً عندما يتبع عدد الوحدات المزالة في كل مرحلة توزيعًا ثنائيًا. تهدف هذه الدراسة إلى معالجة هذه الفجوة من خلال استخدام طرق تقدير الاحتمالية القصوى (ML) وبايزيان لتحليل توزيع رايلي تحت IAT-II PCS مع إزالات ثنائية، مدعومة بمحاكاة مونت كارلو وتحليل بيانات حقيقية. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى التركيز على إجراءات التقدير، ونتائج المحاكاة، والتطبيقات العملية.
نقاش
في هذا القسم، تناقش الورقة اشتقاق مقدرات الاحتمالية القصوى (ML) ومقدرات بايزيان للمعلمات ودوال الموثوقية لتوزيع رايلي، تحديدًا في سياق عينات IAT-II PC مع إزالات ثنائية. يتم اشتقاق مقدر ML لمعامل المقياس $\sigma$ من دالة الاحتمالية الشرطية، مما يؤدي إلى التعبير عن مقدر الاحتمالية القصوى (MLE) المعطى بواسطة:
\[
\hat{\sigma}_{MLE} = \sqrt{\frac{1}{2D_2} \left( \sum_{i=1}^{D_2} x_i^2 + \sum_{i=1}^{D_1} d_i x_i^2 + d^* T^*^2 \right)}.
\]
تعامل الطريقة البايزية $\sigma$ كمتغير عشوائي مع توزيع سابق محدد، وهو توزيع الجاما العكسية الجذرية (SRIG)، الذي يتوافق مع توزيع رايلي. يُظهر التوزيع البعدي أنه يتبع أيضًا توزيع SRIG، مما يسمح بحساب مقدر بايزيان (BE) تحت دالة خسارة الخطأ المربع (SELF):
\[
\hat{\sigma}_{BEM} = \frac{\sum_{i=1}^{D_2} x_i^2 + \sum_{i=1}^{D_1} d_i x_i^2 + d^* T^*^2}{2 \Gamma(b + R_2 – 0.5) / \Gamma(b + R_2)}.
\]
تشير دراسة المحاكاة إلى أن مقدرات بايزيان تتفوق عمومًا على مقدرات ML من حيث متوسط مربع الخطأ (MSE)، خاصةً عند دمج المعلومات السابقة. تقترح النتائج أن احتمالات الإزالة الثنائية المنخفضة تعزز كفاءة التقدير، وأن اختيار أوقات القطع يؤثر بشكل كبير على أداء كلا طريقتي التقدير. تدعو النتائج إلى استخدام تقدير بايزي في التطبيقات العملية التي تتضمن معلمات توزيع رايلي تحت عينات IAT-II PC مع إزالات ثنائية.
DOI: https://doi.org/10.17776/csj.1728252
Publication Date: 2026-02-27
Author(s): Hanefi GEZER et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
The section provides an overview of the application of the Rayleigh distribution in lifetime and reliability analyses, particularly for components or systems with increasing failure rates. It highlights the significance of the improved adaptive Type-II progressive censoring scheme (IAT-II PCS), which allows testing to conclude within a specified timeframe. The study addresses the challenge of unpredictably determining the number of units removed at each failure time, advocating for a model that incorporates random removals.
To estimate the scale parameter and reliability characteristics of the Rayleigh distribution under the IAT-II PCS with random removals, the research employs maximum likelihood (ML) estimators and Bayesian estimators based on a squared error loss function. An extensive Monte Carlo simulation is conducted to evaluate the performance of these estimators. The findings reveal that Bayesian estimators utilizing informative priors demonstrate superior performance in terms of mean square error when applied to the IAT-II PCS with binomial random removals, underscoring the practical relevance of the proposed methodologies through a real data application.
Introduction
The introduction of the paper discusses the Rayleigh distribution, which is widely utilized in reliability engineering, particularly for modeling systems with increasing failure rates. The probability density function (pdf) and cumulative distribution function (cdf) of the Rayleigh distribution, parameterized by $\sigma$, are presented as follows:
\[
f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0, \, \sigma > 0
\]
\[
F(x; \sigma) = 1 – e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0.
\]
The reliability function $R(t)$ and hazard rate function $h(t)$ are defined as:
\[
R(t) = e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}, \quad t > 0
\]
\[
h(t) = \frac{t}{\sigma^2}, \quad t > 0.
\]
The paper highlights the increasing nature of the hazard rate function, making the Rayleigh distribution suitable for modeling failures in various applications, including electronic components and medical devices. The authors note a significant gap in the literature regarding the application of the Rayleigh distribution under the Improved Adaptive Type-II Progressive Censoring Scheme (IAT-II PCS), particularly when the number of units removed at each stage follows a binomial distribution. This study aims to address this gap by employing maximum likelihood (ML) and Bayesian estimation methods to analyze the Rayleigh distribution under IAT-II PCS with binomial removals, supported by a Monte Carlo simulation and real-data analysis. The structure of the paper is outlined, indicating a focus on estimation procedures, simulation results, and practical applications.
Discussion
In this section, the paper discusses the derivation of Maximum Likelihood (ML) and Bayesian estimators for the parameters and reliability functions of the Rayleigh distribution, specifically under the context of IAT-II PC samples with binomial removals. The ML estimator for the scale parameter $\sigma$ is derived from the conditional likelihood function, leading to the expression for the maximum likelihood estimator (MLE) given by:
\[
\hat{\sigma}_{MLE} = \sqrt{\frac{1}{2D_2} \left( \sum_{i=1}^{D_2} x_i^2 + \sum_{i=1}^{D_1} d_i x_i^2 + d^* T^*^2 \right)}.
\]
The Bayesian approach treats $\sigma$ as a random variable with a specified prior distribution, specifically the square root inverse gamma (SRIG) distribution, which is conjugate to the Rayleigh distribution. The posterior distribution is shown to also follow the SRIG distribution, allowing for the computation of the Bayesian estimator (BE) under the squared error loss function (SELF):
\[
\hat{\sigma}_{BEM} = \frac{\sum_{i=1}^{D_2} x_i^2 + \sum_{i=1}^{D_1} d_i x_i^2 + d^* T^*^2}{2 \Gamma(b + R_2 – 0.5) / \Gamma(b + R_2)}.
\]
The simulation study indicates that Bayesian estimators generally outperform ML estimators in terms of mean squared error (MSE), particularly when prior information is incorporated. The results suggest that lower binomial removal probabilities enhance estimation efficiency, and the choice of truncation times significantly impacts the performance of both estimation methods. The findings advocate for the use of Bayesian estimation in practical applications involving Rayleigh distribution parameters under IAT-II PC samples with binomial removals.