DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-46268-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41912741
تاريخ النشر: 2026-03-31
المؤلف: Faten H. Damag وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة طريقتين هجينتين شبه تحليليتين، وهما طريقة التوسع الجديدة التكرارية (ENIM) وطريقة التوسع الهوموتوبية الاضطرابية (EHPM)، مصممتين لحل معادلات ويتهم-بروير-كوب الكسرية (WBKEs) باستخدام المشتق الكسرية إردلي-كوبير (EK). تم اختيار مشتق EK لقدرته على دمج خصائص القياس وتأثيرات الذاكرة غير المحلية، مما يجعله مناسبًا لنمذجة موجات المياه الضحلة. تؤسس الدراسة عدة خصائص تحليلية لمشغلات EK وتفاعلاتها مع توسعات السلسلة الكسرية، والتي تدعم الطرق المقترحة. يُظهر كل من ENIM وEHPM أنهما يوفران حلولًا تقريبية لمعادلات التفاضل الجزئي غير الخطية الكسرية، مع نتائج عددية تشير إلى أن EHPM عمومًا ينتج أخطاء مطلقة أصغر مقارنة بـ ENIM، خاصة في الحالات الكسرية (α < 1). تؤكد النتائج فعالية الطرق في تحقيق دقة عددية عالية لنمذجة ديناميات موجات المياه الضحلة المتعلقة بالتسونامي، على الرغم من أنه يُلاحظ أن النتائج لا تتنبأ مباشرة بأحداث تسونامي حقيقية. تؤكد الدراسة على دور الترتيب الكسرية α كمعامل قابل للتعديل يؤثر على الانتقال بين سلوكيات الموجات الانتشارية والكلاسيكية. بشكل عام، تُظهر ENIM وEHPM الاستقرار والموثوقية والكفاءة الحسابية، مما يؤكد إمكاناتها في معالجة معادلات التفاضل الجزئي غير الخطية الكسرية في سياق نمذجة التسونامي.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث نظرية حساب التفاضل والتكامل الكسرية (FC)، التي تعمم التفاضل والتكامل التقليدي من خلال السماح لمشغلات من ترتيب غير صحيح. على الرغم من أن المفهوم نشأ في القرن السابع عشر من خلال المراسلات بين لايبنيز ولوبتال، إلا أنه لم يكن حتى القرن التاسع عشر أن أسس علماء الرياضيات مثل ريمان، وليوفييل، وغرينوالد أسسه الصارمة. قدمت أعمالهم أدوات تحليلية أساسية لنمذجة الأنظمة التي تتميز بعدم المحلية، والذاكرة، وتأثيرات الوراثة.
مع مرور الوقت، تطور حساب التفاضل والتكامل الكسرية إلى إطار رياضي شامل يصف بفعالية الظواهر التي تتضمن تفاعلات بعيدة المدى والنقل الشاذ عبر مقاييس زمنية ومكانية متنوعة. في العقود الأخيرة، حظي هذا المجال باهتمام كبير، مما يبرز قابليته للتطبيق ومرونته في معالجة الأنظمة الديناميكية المعقدة.
طرق
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تقنيتين شبه تحليليتين هجينتين، تُعرفان باسم ENIM وEHPM، اللتين تدمجان توسعات السلسلة القوة مع الإجراءات التكرارية والمعتمدة على الهوموتوبيا. تم تصميم هذه الطرق لتعزيز كل من الكفاءة والدقة في حل الأنظمة الكسرية غير الخطية، وخاصة تلك التي تتضمن مشغلات كسرية EK. تسهل الأطر التي تم تطويرها من خلال هذه التقنيات البناء المنهجي لحلول السلاسل المتقاربة بسرعة، مما يمهد الطريق للتطبيقات التي تم مناقشتها في القسم التالي.
مناقشة
تسلط قسم المناقشة في الورقة الضوء على الأهمية المتزايدة لمعادلات التفاضل الكسرية (FDEs) في نمذجة العمليات الديناميكية المعقدة بدقة عبر مجالات متنوعة، بما في ذلك الهندسة والفيزياء والعلوم التطبيقية. لقد حسنت إدخال مشغلات كسرية مختلفة، مثل صيغ كابوتو ورمان-ليوفييل، من تمثيل الظواهر التي تتميز بالانتشار الشاذ وتأثيرات الذاكرة. يؤدي دمج المشتقات الكسرية في معادلات التفاضل الجزئي (PDEs) إلى معادلات التفاضل الجزئي الكسرية (FPDEs)، التي تلتقط بفعالية السلوكيات غير المحلية والوراثية، مما يعزز نمذجة الأنظمة في ديناميات السوائل، والكهرومغناطيسية، والعمليات البيولوجية.
تناقش الورقة أيضًا تطوير طرق تحليلية وعددية لحل FPDEs، مع التأكيد على مرونة التقنيات شبه التحليلية. تشمل التطبيقات البارزة نمذجة ديناميات فيروس زيكا، وانتشار الموجات في المواد المرنة، وديناميات التسونامي باستخدام المشتق الكسرية إردلي-كوبير (EK). يقترح المؤلفون طرق شبه تحليلية هجين، تحديدًا طريقة التكرار غير الخطية المعززة (ENIM) وطريقة الاضطراب الهوموتوبية المعززة (EHPM)، لاشتقاق حلول تقريبية لمعادلات الموجات الكسرية EK التي تحكم سلوك التسونامي. تُظهر هذه الطرق أنها توفر تقاربًا سريعًا ودقة عالية، مما يجعلها مناسبة لمعالجة التعقيدات التي يقدمها حساب التفاضل والتكامل الكسرية في نمذجة ديناميات الموجات. تؤكد النتائج على أهمية النماذج الكسرية في التقاط السلوكيات المعقدة للأنظمة الفيزيائية، وخاصة تلك المتأثرة بالذاكرة والتأثيرات غير المحلية.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-46268-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41912741
Publication Date: 2026-03-31
Author(s): Faten H. Damag et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research presents two hybrid semi-analytical methods, the Expansion New Iterative Method (ENIM) and the Expansion Homotopy Perturbation Method (EHPM), designed to solve the fractional Whitham-Broer-Kaup equations (WBKEs) utilizing the Erdélyi-Kober (EK) fractional derivative. The EK derivative is chosen for its capacity to incorporate scaling properties and nonlocal memory effects, making it suitable for modeling shallow water waves. The study establishes several analytical properties of EK operators and their interactions with fractional power series expansions, which underpin the proposed methods. Both ENIM and EHPM are shown to provide approximate solutions to nonlinear fractional partial differential equations, with numerical results indicating that EHPM generally yields smaller absolute errors compared to ENIM, particularly in the fractional cases (α < 1). The findings underscore the methods' effectiveness in achieving high numerical accuracy for modeling the dynamics of tsunami-related shallow water waves, although it is noted that the results do not directly predict real tsunami events. The research emphasizes the role of the fractional order α as a tunable parameter that influences the transition between diffusive and classical wave behaviors. Overall, the ENIM and EHPM demonstrate stability, reliability, and computational efficiency, confirming their potential for addressing nonlinear fractional partial differential equations in the context of tsunami modeling.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the theory of fractional calculus (FC), which generalizes traditional differentiation and integration by allowing for operators of non-integer order. Although the concept originated in the seventeenth century through the correspondence between Leibniz and L’Hôpital, it was not until the nineteenth century that mathematicians such as Riemann, Liouville, and Grünwald established its rigorous foundations. Their work provided essential analytical tools for modeling systems characterized by nonlocality, memory, and hereditary effects.
Over time, fractional calculus has developed into a comprehensive mathematical framework that effectively describes phenomena involving long-range interactions and anomalous transport across various temporal and spatial scales. In recent decades, the field has garnered significant attention, highlighting its applicability and versatility in addressing complex dynamic systems.
Methods
In this section, the authors introduce two hybrid semi-analytical techniques, referred to as ENIM and EHPM, which integrate power series expansions with iterative and homotopy-based procedures. These methods are designed to enhance both the efficiency and accuracy of solving nonlinear fractional systems, particularly those that involve EK fractional operators. The frameworks developed through these techniques facilitate the systematic construction of rapidly convergent series solutions, laying the groundwork for the applications discussed in the subsequent section.
Discussion
The discussion section of the paper highlights the growing significance of fractional differential equations (FDEs) in accurately modeling complex dynamical processes across various fields, including engineering, physics, and applied sciences. The introduction of different fractional operators, such as the Caputo and Riemann-Liouville formulations, has improved the representation of phenomena characterized by anomalous diffusion and memory effects. The incorporation of fractional derivatives into partial differential equations (PDEs) results in fractional partial differential equations (FPDEs), which effectively capture nonlocal and hereditary behaviors, thereby enhancing the modeling of systems in fluid dynamics, electromagnetism, and biological processes.
The paper also discusses the development of analytical and numerical methods for solving FPDEs, emphasizing the versatility of semi-analytical techniques. Notable applications include modeling the dynamics of the Zika virus, wave propagation in elastic materials, and tsunami dynamics using the Erdelyi-Kober (EK) fractional derivative. The authors propose hybrid semi-analytical methods, specifically the Enhanced Nonlinear Iteration Method (ENIM) and the Enhanced Homotopy Perturbation Method (EHPM), to derive approximate solutions for the EK fractional wave equations governing tsunami behavior. These methods are shown to provide rapid convergence and high accuracy, making them suitable for addressing the complexities introduced by fractional calculus in modeling wave dynamics. The findings underscore the importance of fractional models in capturing the intricate behaviors of physical systems, particularly those influenced by memory and nonlocal effects.