DOI: https://doi.org/10.56947/gjom.v22i2.4065
تاريخ النشر: 2026-03-20
المؤلف: Kawther Mammeri وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية النقاط الثابتة والتحليل
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة البحثية في وجود وتجمع النقاط الثابتة للخرائط الذاتية غير التوسعية الكلية المتزايدة ضمن فضاءات باناش الجزئية المرتبة. يقوم المؤلفون بتوسيع وتعزيز النتائج الحالية، وخاصة تلك التي قدمها رشوان وآخرون، والفريدان وخمسي، وشو، من خلال تطبيق عملية تكرار فيبوناتشي-مان في فضاءات باناش المحدبة بشكل موحد. يسمح هذا التعميم بالنظر في فئة أوسع من الخرائط، مما يثري نظرية النقاط الثابتة في هذا السياق.
تشمل المساهمات الرئيسية للدراسة إنشاء نظريات الوجود للنقاط الثابتة (النظريتان 2.2 و2.3) ونتائج التجمع لعملية تكرار فيبوناتشي-مان (اللممات 2.5 و2.6 والنظريات ذات الصلة). بالإضافة إلى ذلك، يوضح المؤلفون أهمية نتائجهم بالنسبة لمعادلات فولتيرا التكاملية، مشيرين إلى أن مشغلات الحل تحت ظروف معينة تقع ضمن فئة الخرائط غير التوسعية الكلية المتزايدة. تم تقديم مثال محدد، \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \)، لتوضيح التجمع السريع تحت تكرار فيبوناتشي-مان. لا تعمم النتائج العمل السابق فحسب، بل تقترح أيضًا طرقًا للبحث المستقبلي، بما في ذلك استكشاف فضاءات مترية أكثر تعقيدًا وطرق تكرارية.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يناقش المؤلفون تطوير الخرائط غير التوسعية الكلية المتزايدة، وهو مفهوم قدمه ألبر وآخرون في عام 2006، والذي يعمم عدة فئات خرائط موجودة، بما في ذلك الخرائط غير التوسعية تقريبًا. تم تأسيس نظرية النقاط الثابتة الأساسية للخرائط غير التوسعية تقريبًا بواسطة غوبل وكيرك في عام 1972، وأعمال لاحقة من قبل الفريدان وخمسي وسعت هذه النتائج إلى فضاءات باناش الجزئية المرتبة، مع التركيز على وجود النقاط الثابتة وخصائص التجمع لطريقة تكرار فيبوناتشي-مان. يبرز المؤلفون أهمية الخرائط المتزايدة ليبشيتز في التطبيقات، خاصة في السياقات التي تتضمن المعادلات التفاضلية والتحسين، حيث يكون التفاعل بين الترتيب الجزئي والمسافة المترية حاسمًا.
تهدف الورقة إلى توسيع نظرية الخرائط غير التوسعية الكلية من خلال دمج تكرار فيبوناتشي-مان، مما يوفر ضمانات جديدة للتجمع تحت ظروف غير تكرارية أضعف مما تم استكشافه سابقًا. تم توضيح هيكل الورقة، حيث يقدم القسم 2 النتائج الرئيسية حول وجود النقاط الثابتة للخرائط غير التوسعية الكلية المتزايدة، ويستعرض القسم 3 نتائج التجمع باستخدام تكرار فيبوناتشي-مان، ويعرض القسم 4 التطبيقات العملية لمعادلات فولتيرا التكاملية. يؤكد المؤلفون على أهمية نتائجهم في نمذجة الظواهر غير الخطية وتعزيز نتائج التجمع في فضاءات باناش الجزئية المرتبة.
النتائج
يقدم القسم نظريتين هامتين بشأن وجود النقاط الثابتة للخرائط غير التوسعية الكلية المتزايدة المستمرة المعرفة على مجموعات غير فارغة، محدبة، ومغلقة من الفضاءات المحدبة بشكل موحد. تثبت النظرية 2.2 أنه إذا كانت الخريطة \( S: F \to F \) تلبي شروطًا معينة، بما في ذلك حدود سلسلة \( \{S^n(x_0)\} \) ووجود نقطة \( x_0 \) بحيث \( x_0 \leq S(x_0) \)، فإن \( S \) تمتلك نقطة ثابتة. يعتمد الإثبات على تزايدية \( S \) وخصائص الفضاءات المحدبة بشكل موحد لإظهار أن هناك نقطة فريدة \( z \) حيث تصل دالة النوع \( \tau \) إلى الحد الأدنى، مما يؤدي إلى الاستنتاج بأن \( z = S(z) \).
توسع النظرية 2.3 هذه النتائج تحت الافتراض الإضافي بأن الفضاء يلبي شرط أوبال الضعيف المتزايد. يظهر بالمثل أنه إذا كانت السلسلة \( \{S^n(x_0)\} \) محدودة و \( x_0 \leq S(x_0) \)، فإن نقطة ثابتة فريدة موجودة. يتضمن الإثبات بناء مجموعة محدبة مغلقة غير فارغة جديدة \( F \) وتطبيق خصائص شرط أوبال الضعيف المتزايد لإثبات تجمع السلسلة \( \{S^n(x)\} \) إلى النقطة الثابتة \( x \).
بالإضافة إلى ذلك، يشير القسم إلى تعديل تسلسل تكرار شو بواسطة الفريدان وخمسي، الذي يستخدم تسلسل فيبوناتشي لتعريف مخطط تكرار جديد. يسمح هذا التكرار فيبوناتشي-مان بتوسيع نتائج شو إلى الخرائط غير التوسعية المتزايدة في فضاءات باناش المحدبة بشكل موحد، مما يعزز نتائج التجمع في هذا السياق.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون النتائج الهامة المتعلقة بنظرية النقاط الثابتة في سياق الخرائط غير التوسعية الكلية المتزايدة ضمن فضاءات باناش الجزئية المرتبة. يثبتون أن مثل هذه الخرائط تمتلك نقاط ثابتة تحت ظروف معينة، خاصة في فضاءات باناش المحدبة بشكل موحد، كما هو موضح في النظريتين 2.2 و2.3. كما يثبت المؤلفون نتائج التجمع لعملية تكرار فيبوناتشي-مان المطبقة على هذه الخرائط، كما هو موضح في اللممات 2.5 و2.6، والتي تعتبر حاسمة لضمان فعالية هذه الطريقة التكرارية.
علاوة على ذلك، يتم تسليط الضوء على قابلية تطبيق النظرية المطورة على معادلات فولتيرا التكاملية، مما يظهر أن مشغلات الحل يمكن تصنيفها كخرائط غير توسعية كلية متزايدة تحت ظروف طبيعية. تم تقديم مثال محدد يتضمن الدالة \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \) لتوضيح التجمع السريع عند استخدام تكرار فيبوناتشي-مان. يستنتج المؤلفون أن نتائجهم لا تعمم الأدبيات الحالية فحسب، بل تعزز أيضًا الأدوات الحسابية المتاحة لتقريب النقاط الثابتة في سياقات رياضية متنوعة. قد تشمل اتجاهات البحث المستقبلية توسيع هذه النتائج إلى فئات أوسع من الفضاءات المترية واستكشاف مخططات تكرارية إضافية.
DOI: https://doi.org/10.56947/gjom.v22i2.4065
Publication Date: 2026-03-20
Author(s): Kawther Mammeri et al.
Primary Topic: Fixed Point Theorems Analysis
Overview
This research paper investigates the existence and convergence of fixed points for monotone total asymptotically nonexpansive self-mappings within partially ordered Banach spaces. The authors extend and enhance existing results, particularly those by Rashwan et al., Alfuraidan and Khamsi, and Schu, by applying the Fibonacci-Mann iteration process in uniformly convex Banach spaces. This generalization allows for a broader class of mappings to be considered, thereby enriching the fixed point theory in this context.
Key contributions of the study include the establishment of existence theorems for fixed points (Theorems 2.2 and 2.3) and convergence results for the Fibonacci-Mann iteration process (Lemmas 2.5, 2.6, and related theorems). Additionally, the authors demonstrate the relevance of their findings to Volterra integral equations, indicating that solution operators under certain conditions fall within the category of monotone total asymptotically nonexpansive mappings. A specific example, \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \), is provided to illustrate rapid convergence under the Fibonacci-Mann iteration. The results not only generalize prior work but also suggest avenues for future research, including the exploration of more complex metric spaces and iterative methods.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors discuss the development of total asymptotically nonexpansive mappings, a concept introduced by Alber et al. in 2006, which generalizes several existing mapping classes, including nearly asymptotically nonexpansive mappings. The foundational fixed point theory for asymptotically nonexpansive mappings was established by Goebel and Kirk in 1972, and subsequent work by Alfuraidan and Khamsi expanded these results to partially ordered Banach spaces, focusing on fixed point existence and convergence properties of the Fibonacci-Mann iteration method. The authors highlight the significance of monotone Lipschitzian mappings in applications, particularly in contexts involving differential equations and optimization, where the interplay of partial order and metric distance is crucial.
The paper aims to extend the theory of total asymptotically nonexpansive mappings by incorporating the Fibonacci-Mann iteration, offering new convergence guarantees under weaker asymptotic conditions than previously explored. The structure of the paper is outlined, with Section 2 presenting main results on fixed point existence for monotone total asymptotically nonexpansive mappings, Section 3 detailing convergence results using the Fibonacci-Mann iteration, and Section 4 illustrating practical applications to Volterra integral equations. The authors emphasize the relevance of their findings in modeling nonlinear phenomena and enhancing convergence results in partially ordered Banach spaces.
Results
The section presents two significant theorems regarding the existence of fixed points for continuous monotone total asymptotically nonexpansive mappings defined on nonempty, convex, and closed subsets of uniformly convex spaces. Theorem 2.2 establishes that if a mapping \( S: F \to F \) satisfies certain conditions, including boundedness of the sequence \( \{S^n(x_0)\} \) and the existence of a point \( x_0 \) such that \( x_0 \leq S(x_0) \), then \( S \) possesses a fixed point. The proof leverages the monotonicity of \( S \) and the properties of uniformly convex spaces to demonstrate that a unique point \( z \) exists where the type function \( \tau \) reaches its minimum, leading to the conclusion that \( z = S(z) \).
Theorem 2.3 extends these results under the additional assumption that the space satisfies the monotone weak Opial condition. It similarly shows that if the sequence \( \{S^n(x_0)\} \) is bounded and \( x_0 \leq S(x_0) \), then a unique fixed point exists. The proof involves constructing a new nonempty closed convex subset \( F \) and applying the properties of the monotone weak Opial condition to establish the convergence of the sequence \( \{S^n(x)\} \) to the fixed point \( x \).
Additionally, the section references a modification of Schu’s iteration sequence by Alfuraidan and Khamsi, which utilizes the Fibonacci sequence to define a new iteration scheme. This Fibonacci-Mann iteration allows for the extension of Schu’s results to monotone asymptotically nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces, thereby enhancing the convergence results in this context.
Discussion
In this section, the authors discuss significant findings related to fixed point theory in the context of monotone total asymptotically nonexpansive mappings within partially ordered Banach spaces. They establish that such mappings possess fixed points under certain conditions, particularly in uniformly convex Banach spaces, as demonstrated in Theorems 2.2 and 2.3. The authors also prove convergence results for the Fibonacci-Mann iteration process applied to these mappings, as outlined in Lemmas 2.5 and 2.6, which are crucial for ensuring the effectiveness of this iterative method.
Furthermore, the applicability of the developed theory to Volterra integral equations is highlighted, showing that solution operators can be classified as monotone total asymptotically nonexpansive mappings under natural conditions. A specific example involving the function \( f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \) is provided, illustrating rapid convergence when employing the Fibonacci-Mann iteration. The authors conclude that their results not only generalize existing literature but also enhance the computational tools available for approximating fixed points in various mathematical contexts. Future research directions may include extending these findings to broader classes of metric spaces and exploring additional iterative schemes.