DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-026-01349-x
تاريخ النشر: 2026-02-27
المؤلف: Zhenyun Du وآخرون
الموضوع الرئيسي: الهويات الرياضية المتقدمة
نظرة عامة
تناقش هذه القسم العلاقة بين دوال زيتا المتعددة (MZFs) ودوال زيتا النجمية المتعددة (MZSFs) عند الأعداد الصحيحة غير الإيجابية، مشددة على أن قيم حدودها الاتجاهية يمكن التعبير عنها من حيث أعداد برنولي. يقدم المؤلفون صيغًا صريحة للقيم العكسية لكل من MZFs وMZSFs عند هذه الأعداد، مستخدمين كثيرات ستيرلنج كأداة رئيسية في اشتقاقهم.
بالإضافة إلى ذلك، تستكشف الورقة بحثًا عن رابطين هامين: أولاً، العلاقة بين MZFs وMZSFs عند الأعداد الصحيحة غير الإيجابية، وثانيًا، الرابط بين القيم العكسية لهذه الدوال ومعاملات غريغوري المعممة، كما تم دراستها سابقًا من قبل ماتسوساكا، مورهارا، وأونوذوكا. تسهم هذه النتائج في فهم أعمق لخصائص وترابطات هذه البنى الرياضية.
مقدمة
في المقدمة، تؤسس الورقة تعريفات وأساليب أساسية ذات صلة بدراسة دالة زيتا المتعددة لأويلر-زاير (MZF)، والتي يرمز لها بـ $\zeta_r(s_1, \ldots, s_r)$. تُعرف MZF لعدد صحيح إيجابي $r$ ومتغيرات مركبة $s = (s_1, \ldots, s_r) \in \mathbb{C}^r$، معبرًا عنها من خلال جمع على الأعداد الصحيحة الإيجابية $n_1, \ldots, n_r$. على وجه التحديد، تُعطى الدالة بواسطة:
\[
\zeta_r(s_1, \ldots, s_r) = \sum_{0 < n_1 < \ldots < n_r} \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_r^{s_r}} = \sum_{m_1, \ldots, m_r \in \mathbb{N}} \frac{1}{m_1^{s_1} \cdots (m_1 + \ldots + m_r)^{s_r}}.
\]
تضمن تقارب MZF في المجال $D_r = \{(s_1, \ldots, s_r) \in \mathbb{C}^r \mid \text{Re}(s_{r-k+1} + \ldots + s_r) > k, k = 1, \ldots, r\}$. تختتم هذه القسم بالإشارة إلى أن النتائج الرئيسية للورقة، التي تم توضيحها في الأقسام اللاحقة، ستبني على هذه التعريفات وخصائص MZF.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الاستمرار الميرومورفي لدوال زيتا المتعددة (MZFs) وخصائصها، بناءً على الأعمال السابقة التي قام بها تشاو وأكياما وآخرون. يثبتون أن MZFs لها استمرار ميرومورفي إلى المستوى المركب، مع تحديد خصائص معينة عند الأعداد الصحيحة غير الإيجابية. يقدم المؤلفون مفاهيم القيم العادية والعكسية لـ MZFs عند هذه النقاط، المعرفة من خلال الحدود عندما تقترب المتغيرات من الأعداد الصحيحة غير الإيجابية. يقدمون صيغًا صريحة لهذه القيم من حيث أعداد برنولي وأعداد ستيرلنج، مشددين على اعتماد MZFs على عملية الحد عند الأعداد الصحيحة غير الإيجابية.
تشمل النتائج الرئيسية للورقة نظريات تعمم الصيغ الموجودة للقيم العادية والعكسية لـ MZFs على مؤشرات عشوائية. يستمد المؤلفون هذه النتائج باستخدام علاقات التكرار وخصائص كثيرات ستيرلنج. كما يستكشفون المعاملات التقاربية لـ MZFs، موفرين إطارًا لفهم سلوكها عند الأعداد الصحيحة غير الإيجابية. تسهم النتائج في الدراسة المستمرة لـ MZFs وتطبيقاتها في نظرية الأعداد والتركيبات، مع التأكيد على العلاقات المعقدة بين هذه الدوال والهياكل التركيبية.
DOI: https://doi.org/10.1007/s11139-026-01349-x
Publication Date: 2026-02-27
Author(s): Zhenyun Du et al.
Primary Topic: Advanced Mathematical Identities
Overview
This section discusses the relationship between multiple zeta functions (MZFs) and multiple zeta star functions (MZSFs) at non-positive integers, highlighting that their directional limit values can be expressed in terms of Bernoulli numbers. The authors present explicit formulas for the reverse values of both MZFs and MZSFs at these integers, utilizing Stirling polynomials as a key tool in their derivation.
Additionally, the paper explores two significant connections: first, the relationship between MZFs and MZSFs at non-positive integers, and second, the link between reverse values of these functions and generalized Gregory coefficients, as previously studied by Matsusaka, Murahara, and Onozuka. These findings contribute to a deeper understanding of the properties and interrelations of these mathematical constructs.
Introduction
In the introduction, the paper establishes foundational definitions and notations relevant to the study of the Euler-Zagier multiple zeta function (MZF), denoted as $\zeta_r(s_1, \ldots, s_r)$. The MZF is defined for a positive integer $r$ and complex variables $s = (s_1, \ldots, s_r) \in \mathbb{C}^r$, expressed through a summation over positive integers $n_1, \ldots, n_r$. Specifically, the function is given by:
\[
\zeta_r(s_1, \ldots, s_r) = \sum_{0 < n_1 < \ldots < n_r} \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_r^{s_r}} = \sum_{m_1, \ldots, m_r \in \mathbb{N}} \frac{1}{m_1^{s_1} \cdots (m_1 + \ldots + m_r)^{s_r}}.
\]
The convergence of the MZF is guaranteed in the domain $D_r = \{(s_1, \ldots, s_r) \in \mathbb{C}^r \mid \text{Re}(s_{r-k+1} + \ldots + s_r) > k, k = 1, \ldots, r\}$. The section concludes by indicating that the main results of the paper, which are elaborated in subsequent sections, will build upon these definitions and properties of the MZF.
Discussion
In this section, the authors discuss the meromorphic continuation of multiple zeta functions (MZFs) and their singularities, building on previous work by Zhao and Akiyama et al. They establish that MZFs have a meromorphic continuation to the complex plane, with specific singularities identified at non-positive integers. The authors introduce the concepts of regular and reverse values of MZFs at these points, defined through limits as the variables approach non-positive integers. They present explicit formulas for these values in terms of Bernoulli numbers and Stirling numbers, highlighting the dependence of MZFs on the limiting process at non-positive integers.
The paper’s main results include theorems that generalize existing formulas for regular and reverse values of MZFs to arbitrary indices. The authors derive these results using recurrence relations and properties of Stirling polynomials. They also explore the asymptotic coefficients of MZFs, providing a framework for understanding their behavior at non-positive integers. The findings contribute to the ongoing study of MZFs and their applications in number theory and combinatorics, emphasizing the intricate relationships between these functions and combinatorial structures.