DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.79895
تاريخ النشر: 2026-03-29
المؤلف: RAHUL MUNAVALLI وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
تهدف هذه الورقة إلى اشتقاق صيغ صريحة لمؤشر سومبور لتقسيم k للرسوم البيانية للتحولات العامة، والذي يُشار إليه بـ \( \text{spl}_k G_{ab} \). يقوم المؤلفون بتطوير تعبيرات تحليلية لمؤشر سومبور تتعلق بمعلمات الرسم البياني الأصلي وعامل التقسيم \( k \). بالإضافة إلى ذلك، تؤسس الدراسة صيغًا مماثلة لمكملات \( \text{spl}_k G_{ab} \)، مما يوفر توصيفًا شاملاً لخصائصها الهيكلية. تسهم هذه العمل في فهم مؤشر سومبور في سياق تحولات الرسوم البيانية ومكملاتها.
مقدمة
تستعرض المقدمة المفاهيم الأساسية للرسوم البيانية الجزيئية، حيث تمثل الرؤوس الذرات وتدل الحواف على الروابط التساهمية. تقدم المؤشرات الطوبولوجية كمتغيرات رسومية تعين أرقامًا حقيقية فريدة للرسوم البيانية الجزيئية، مما يبرز أهميتها في الكيمياء النظرية، لا سيما في علاقة الهيكل الكمي بالنشاط (QSAR) وعلاقة الهيكل الكمي بالخاصية (QSPR). تصنف هذه القسم المؤشرات الطوبولوجية إلى مؤشرات قائمة على الدرجة ومؤشرات قائمة على المسافة، مع التركيز على المؤشرات القائمة على الدرجة مثل المؤشرين زغرب الأول والثاني، اللذان حظيا باهتمام أكاديمي كبير منذ تقديمهما من قبل غوتمان وآخرين في عام 1972.
تشير النص أيضًا إلى تطوير المؤشرين المساعدين زغرب الأول والثاني من قبل دوشليتش في عام 2008 وتناقش التقدم في عمليات الرسوم البيانية، بما في ذلك التحولات العامة التي قدمها باسافاناغود وآخرون في عام 2015 وعمليات التقسيم k التي اقترحها فيديا وآخرون في عام 2017. تهدف الدراسة الحالية إلى اشتقاق صيغ صريحة للمؤشر المنسي المتعلق بتقسيم k للرسوم البيانية للتحولات العامة، والذي يُشار إليه بـ $spl_k G_{ab}$، وإقامة تعبيرات مماثلة لمكملاتها.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون خصائص الرسوم البيانية غير الموجهة، البسيطة، والمحدودة، مع التركيز على التعريفات والآثار المترتبة على مختلف المؤشرات الطوبولوجية، لا سيما مؤشر سومبور ومؤشرات زغرب. يُعتبر مؤشر زغرب الأول، الذي يُشار إليه بـ \( M_1(G) = \sum_{u \in V(G)} d_G(u)^2 \)، ومؤشر زغرب الثاني، \( M_2(G) = \sum_{uv \in E(G)} d_G(u) d_G(v) \)، أساسيين في فهم هيكل الرسم البياني. يتم تقديم مؤشر سومبور كـ \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} [\deg(u)^2 + \deg(v)^2] \)، مما يوفر منظورًا جديدًا حول الاتصال في الرسوم البيانية وعلاقات الرؤوس.
تتفصل القسم أكثر في مفهوم الرسم البياني لتقسيم k، \( \text{spl}_k(G) \)، الذي يتضمن زيادة كل رأس في الرسم البياني \( G \) بـ \( k \) رؤوس إضافية، كل منها متصل بالرؤوس المجاورة الأصلية. يقدم المؤلفون عدة مقترحات ونظريات تحدد درجة الرؤوس والحواف في الرسم البياني لتقسيم k، بالإضافة إلى ترتيب وحجم هذه الرسوم البيانية. من الجدير بالذكر أنهم اشتقوا تعبيرات لمؤشر سومبور للرسوم البيانية لتقسيم k \( \text{spl}_k(G^{++}) \)، \( \text{spl}_k(G^{+-}) \)، \( \text{spl}_k(G^{-+}) \)، و \( \text{spl}_k(G^{–}) \)، مما يكشف كيف تؤثر هذه التحولات على الخصائص العامة للرسم البياني ومؤشراته. تؤكد النتائج على العلاقات المعقدة بين تحولات الرسوم البيانية ومؤشراتها الطوبولوجية، مما يسهم في الفهم الأوسع لنظرية الرسوم البيانية.
DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.79895
Publication Date: 2026-03-29
Author(s): RAHUL MUNAVALLI et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
This paper aims to derive explicit formulas for the Sombor index of the k-splitting of generalized transformation graphs, denoted as \( \text{spl}_k G_{ab} \). The authors systematically develop analytical expressions for the Sombor index that relate to the parameters of the original graph and the splitting factor \( k \). In addition, the study establishes analogous formulas for the complements of \( \text{spl}_k G_{ab} \), thereby offering a thorough characterization of their structural properties. This work contributes to the understanding of the Sombor index in the context of graph transformations and their complements.
Introduction
The introduction outlines the foundational concepts of molecular graphs, where vertices represent atoms and edges denote covalent bonds. It introduces topological indices as graph invariants that assign unique real numbers to molecular graphs, highlighting their significance in theoretical chemistry, particularly in Quantitative Structure-Activity Relationship (QSAR) and Quantitative Structure-Property Relationship (QSPR). The section categorizes topological indices into degree-based and distance-based indices, with a focus on degree-based indices such as the first and second Zagreb indices, which have received considerable scholarly attention since their introduction by Gutman et al. in 1972.
The text also references the development of the first and second Zagreb coindices by Došlić in 2008 and discusses advancements in graph operations, including generalized transformations introduced by Basavanagoud et al. in 2015 and the k-splitting operation proposed by Vaidya et al. in 2017. The current study aims to derive explicit formulations for the forgotten index related to the k-splitting of generalized transformation graphs, denoted as $spl_k G_{ab}$, and to establish similar expressions for their complements.
Discussion
In this section, the authors explore the properties of undirected, simple, and finite graphs, focusing on the definitions and implications of various topological indices, particularly the Sombor index and the Zagreb indices. The first Zagreb index, denoted as \( M_1(G) = \sum_{u \in V(G)} d_G(u)^2 \), and the second Zagreb index, \( M_2(G) = \sum_{uv \in E(G)} d_G(u) d_G(v) \), are foundational in understanding graph structure. The Sombor index is introduced as \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} [\deg(u)^2 + \deg(v)^2] \), providing a new perspective on graph connectivity and vertex relationships.
The section further details the concept of the k-splitting graph, \( \text{spl}_k(G) \), which involves augmenting each vertex in a graph \( G \) with \( k \) additional vertices, each connected to the original adjacent vertices. The authors present several propositions and theorems that quantify the degree of vertices and edges in the k-splitting graph, as well as the order and size of these graphs. Notably, they derive expressions for the Sombor index of the k-splitting graphs \( \text{spl}_k(G^{++}) \), \( \text{spl}_k(G^{+-}) \), \( \text{spl}_k(G^{-+}) \), and \( \text{spl}_k(G^{–}) \), revealing how these transformations affect the overall graph properties and indices. The findings underscore the intricate relationships between graph transformations and their topological indices, contributing to the broader understanding of graph theory.