DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026384
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Chenyan Liu وآخرون
الموضوع الرئيسي: الأنظمة الضبابية والتحسين
نظرة عامة
تناقش هذه القسم تطبيق الإنتروبيا في المجموعات غير المؤكدة، مع تسليط الضوء على أهميتها في مجالات مثل المالية غير المؤكدة، والاستدلال غير المؤكد، والمنطق متعدد القيم. يقترح المؤلفون مبدأ الإنتروبيا القصوى (MaxEnt) للمجموعات غير المؤكدة، مما يسهل اختيار دوال العضوية المناسبة. باستخدام معادلة أويلر من حساب التفاضل والتكامل، يستنتجون دالة العضوية التي تعظم الإنتروبيا للمجموعات غير المؤكدة، مما يمثل تقدمًا كبيرًا في نظرية عدم اليقين.
تشير النتائج إلى أن هذه هي المرة الأولى التي يتم فيها تأسيس مبدأ MaxEnt بشكل خاص للإنتروبيا للمجموعات غير المؤكدة. يؤكد المؤلفون على الآثار العملية لعملهم، مشيرين إلى أنه سيساعد في الاختيار الفعال لدوال العضوية في تطبيقات متنوعة. كما يحددون ثلاثة مسارات محتملة للبحث المستقبلي، بما في ذلك استكشاف مبادئ MaxEnt لأنواع مختلفة من الإنتروبيا، مثل الإنتروبيا الجيبية، والإنتروبيا التربيعية، والإنتروبيا البيضاوية، مما يوسع الإطار النظري والتطبيقات العملية للمجموعات غير المؤكدة.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يناقش المؤلفون تطوير وتطبيقات نظرية عدم اليقين، التي اقترحها ليو في عام 2007، والتي توفر إطارًا بديهيًا لمعالجة عدم اليقين البشري. تم تطبيق هذه النظرية عبر مجالات متنوعة، بما في ذلك الإحصاءات غير المؤكدة، والبرمجة، وتحليل الموثوقية، والمالية. يعتبر التقدم الكبير ضمن هذا الإطار هو تقديم المجموعات غير المؤكدة من قبل ليو في عام 2010، والتي تختلف جوهريًا عن المجموعات الضبابية من خلال استخدام مقاييس غير مؤكدة بدلاً من مقاييس الاحتمالية. تسلط الورقة الضوء على تطور مفاهيم الإنتروبيا، من إنتروبيا كلاوزيوس الديناميكية الحرارية إلى إنتروبيا المعلومات لشانون وتوسعاتها، بما في ذلك إنتروبيا اللوغاريتم التي قدمها ليو في عام 2009، والتي تقيس تعقيد التنبؤ بالمتغيرات غير المؤكدة.
يهدف المؤلفون إلى استكشاف مبدأ الإنتروبيا القصوى (MaxEnt) في سياق المجموعات غير المؤكدة، مع مقارنة نتائجهم بالأعمال السابقة التي ركزت على المتغيرات غير المؤكدة. يؤكدون أن نهجهم يستخدم معادلة أويلر لاستنتاج دالة العضوية التي تحقق أقصى إنتروبيا للمجموعات غير المؤكدة، وهو موضوع لم يتم تناوله سابقًا في الأدبيات. تم هيكلة الورقة لمراجعة المفاهيم الضرورية المتعلقة بالمجموعات غير المؤكدة أولاً، تليها مناقشة صيغ الإنتروبيا، وتأسيس مبدأ MaxEnt لإنتروبيا اللوغاريتم، واختتامها بتوصيات للبحث المستقبلي.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية للمجموعات غير المؤكدة ومقاييسها المرتبطة، كما قدمها ليو. يتم تعريف فضاء عدم اليقين كزوج مرتب $(\Gamma, B, M)$، حيث $\Gamma$ هو المجموعة الشاملة، و$B$ هو σ-جبر من المجموعات الفرعية، و$M$ هو مقياس غير مؤكد يفي بخصائص مثل الطبيعية، والثنائية، والتحتية. يوضح المؤلفون مفهوم المجموعات غير المؤكدة كدوال ذات قيم مجموعات التي نمذجة المفاهيم غير الدقيقة، والتي تتميز بدوال العضوية التي تقيس درجة العضوية للعناصر داخل هذه المجموعات. بشكل ملحوظ، يقدمون أمثلة على المجموعات غير المؤكدة مثل المجموعات مثلثية الشكل والمجموعات الغاوسية، بالإضافة إلى تعريفات لدوال العضوية العادية والعكسية.
تستكشف القسم أيضًا إنتروبيا المجموعات غير المؤكدة، المعرفة من خلال مقياس لوغاريتمي، وتسلط الضوء على الخصائص الرئيسية مثل التماثل والخطية الإيجابية. يستنتج المؤلفون دالة عضوية ذات إنتروبيا قصوى تحت ظروف معينة، مما يوضح تطبيقها في نظرية عدم اليقين. ويختتمون بالتأكيد على أهمية نتائجهم في التطبيقات العملية عبر مجالات متنوعة، بما في ذلك المالية غير المؤكدة والاستدلال، ويحددون اتجاهات البحث المستقبلية التي تهدف إلى توسيع مبدأ MaxEnt ليشمل أشكال أخرى من الإنتروبيا.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026384
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Chenyan Liu et al.
Primary Topic: Fuzzy Systems and Optimization
Overview
This section discusses the application of entropy in uncertain sets, highlighting its relevance in fields such as uncertain finance, uncertain inference, and multivalued logic. The authors propose a maximum entropy (MaxEnt) principle for uncertain sets, which facilitates the selection of appropriate membership functions. Utilizing the Euler equation from the calculus of variations, they derive the membership function that maximizes entropy for uncertain sets, marking a significant advancement in uncertain theory.
The findings indicate that this is the first instance of establishing a MaxEnt principle specifically for the entropy of uncertain sets. The authors emphasize the practical implications of their work, suggesting that it will aid in the effective selection of membership functions in various applications. They also outline three potential avenues for future research, including the exploration of MaxEnt principles for different types of entropy, such as sine, quadratic, and elliptic entropy, thereby expanding the theoretical framework and practical applications of uncertain sets.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors discuss the development and applications of uncertainty theory, initially proposed by Liu in 2007, which provides an axiomatic framework to address human uncertainty. This theory has been applied across various domains, including uncertain statistics, programming, reliability analysis, and finance. A significant advancement within this framework is the introduction of uncertain sets by Liu in 2010, which differ fundamentally from fuzzy sets by employing uncertain measures instead of possibility measures. The paper highlights the evolution of entropy concepts, from Clausius’s thermodynamic entropy to Shannon’s information entropy and its extensions, including logarithm entropy introduced by Liu in 2009, which quantifies the complexity of predicting uncertain variables.
The authors aim to explore the maximum entropy (MaxEnt) principle within the context of uncertain sets, contrasting their findings with previous works that focused on uncertain variables. They emphasize that their approach utilizes the Euler equation to derive the membership function that achieves maximum entropy for uncertain sets, a topic that has not been previously addressed in the literature. The paper is structured to first review necessary concepts related to uncertain sets, followed by a discussion of entropy formulas, the establishment of the MaxEnt principle for logarithm entropy, and concluding with recommendations for future research.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts of uncertain sets and their associated measures, as introduced by Liu. An uncertainty space is defined as a triplet $(\Gamma, B, M)$, where $\Gamma$ is the universal set, $B$ is a σ-algebra of subsets, and $M$ is an uncertain measure satisfying properties such as normality, duality, and subadditivity. The authors elaborate on the concept of uncertain sets as set-valued functions that model imprecise concepts, characterized by membership functions that quantify the degree of membership of elements within these sets. Notably, they present examples of triangular and Gaussian uncertain sets, along with definitions for regular and inverse membership functions.
The section further explores the entropy of uncertain sets, defined through a logarithmic measure, and highlights key properties such as symmetry and positive linearity. The authors derive a maximum entropy membership function under specific conditions, demonstrating its application in uncertain theory. They conclude by emphasizing the significance of their findings in practical applications across various fields, including uncertain finance and inference, and outline future research directions aimed at extending the MaxEnt principle to other forms of entropy.