DOI: https://doi.org/10.1111/str.70031
تاريخ النشر: 2026-02-01
المؤلف: Denislav P. Nikolov وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقليل النماذج والشبكات العصبية
نظرة عامة
تتناول هذه الورقة البحثية التحديات المتعلقة بالتعرف بدقة على معلمات المواد غير الخطية من بيانات تشوه ثلاثية الأبعاد في ميكانيكا التجارب. يعزز المؤلفون الصياغة المنفصلة لأسلوب الحقول الافتراضية المعتمدة على الحساسية (SBVF) من خلال تطوير ومقارنة الحقول الافتراضية المعتمدة على التباين (vSBVFs) والحقول الافتراضية المعتمدة على المشتقات التحليلية (aSBVFs) ضمن إطار عمل نمذجة غير متغيرة للشد. تستخدم هذه الأساليب المشتقات الاتجاهية Gâteaux والتفاضيل التحليلية لإنشاء حقول إزاحة افتراضية مصممة خصيصًا، مما يحسن بشكل كبير من قوة وكفاءة معايرة نموذج المادة. توضح الدراسة أن هذه الأساليب الجديدة SBVF تسمح بالبناء الآلي للحقول الافتراضية المثلى، مما يعزز قابلية تحديد المعلمات، خاصة في وجود ضوضاء القياس.
تشير النتائج إلى أن كل من vSBVFs و aSBVFs تتفوق على استراتيجيات الحقول الافتراضية التقليدية، لا سيما بالنسبة للمعلمات غير الخطية العالية وفي البيئات المليئة بالضوضاء. يثبت المؤلفون أن زيادة ثراء البيانات الحركية – التي تم تحقيقها من خلال تصميم عينات محسنة وزيادة الشد على الماكرو – تؤدي إلى تحسين قابلية تحديد المعلمات. توفر هذه الدراسة إطارًا مرنًا لتوصيف المواد بشكل قوي وآلي ومتحمل للضوضاء، مما يقلل من الاعتماد على اختيار الحقول اليدوي ويمهد الطريق نحو الأتمتة المستقبلية في سير العمل في ميكانيكا التجارب. بينما تركز الدراسة على الحقول الافتراضية المبنية تحليليًا، فإنها تعترف بالحاجة إلى مزيد من التطوير لمعالجة سلوكيات المواد الأكثر تعقيدًا، مثل التباين واللزوجة. بشكل عام، تمثل هذه الأبحاث تقدمًا كبيرًا في هذا المجال، حيث تقدم طريقًا نحو تحديد معلمات المواد بدقة وكفاءة.
مقدمة
تناقش المقدمة التقدم في تقنيات القياس الشامل، مثل ارتباط الصور الرقمية (DIC) ورسم الخرائط بالرنين المغناطيسي المشفر بالإزاحة (MR-u)، والتي تعتبر ضرورية لالتقاط الحركيات لمشكلات القيمة الحدية المعقدة (BVPs). تعتبر هذه التقنيات حاسمة لمعايرة المواد ذات المعلمات غير الخطية، والتباينية، والمتداخلة، لكنها تقدم تحديات في تصميم العينات التي تظهر ثراء حركيًا كافيًا مع الالتزام بالقيود التجريبية. تشمل الجهود الأخيرة لتعزيز تصميم الاختبار استخدام عينات على شكل “Σ” وتحسين طوبولوجي لمعالجة هذه التعقيدات.
تسلط الورقة الضوء على الحاجة إلى أساليب استخراج معلمات متطورة تتجاوز ببساطة ملاءمة منحنيات القوة-التمدد، داعية إلى استخدام الأساليب العكسية مثل أسلوب الحقول الافتراضية (VFM) وتحديث نموذج العناصر المحدودة (FEMU). يُلاحظ أن VFM يتميز بكفاءته الحاسوبية، حيث يحسب الضغوط مباشرة من التمددات المقاسة دون الحاجة إلى محاكاة أمامية. يقترح المؤلفون تحسينًا لـ VFM من خلال تقديم الحقول الافتراضية المعتمدة على الحساسية (SBVFs) لتعزيز معايرة نماذج المواد، لا سيما بالنسبة للمواد المطاطية. يهدفون إلى تطوير خط أنابيب يدمج بيانات حركية ثلاثية الأبعاد كاملة، ونماذج غير متغيرة للشد الطبيعية، وطريقة SBVF محسنة لتحسين معايرة معلمات المواد. يتم إثبات فعالية هذا النهج من خلال مقارنات تقارب المعلمات بين الحقول الافتراضية المحددة من قبل المستخدم والحقول الافتراضية المعتمدة على الحساسية، مما يبرز الإمكانية لتحسين القوة في تحليل البيانات التجريبية.
طرق
في هذا القسم، يحدد المؤلفون الإطار النظري والأساليب المستخدمة لتحليل تشوه عينة مادة. يتم تعريف العينة في البداية في تكوين مرجعي، يُشار إليه بـ $\Omega_0$، مع إحداثيات داخلية $X \in \Omega_0$. مع تعرض العينة للتشوه مع مرور الوقت $t$، تشغل منطقة جديدة $\Omega$، حيث تتوافق نقطة المادة $X$ مع إحداثية مكانية $x \in \Omega$. يتم إنشاء العلاقة بين الإحداثيات المرجعية والمشوهة من خلال خريطة التشوه $\phi$، مما يؤدي إلى تعريف حقل الإزاحة $u(X, t) = x – X$.
يتم قياس التشوه المحلي عند أي نقطة مادة باستخدام موتر تدرج التشوه $F(X, t)$، المعبر عنه كـ $F = \nabla_X \phi = \nabla_X u + I$، حيث $I$ هو موتر الهوية و $\nabla_X(\cdot)$ يدل على مشغل التدرج المادي. يوفر محدد جاكوب $J(X, t) = \det(F(X, t))$ نظرة ثاقبة على التغيرات الحجمية المحلية. يتم تقسيم حدود العينة في تكوينها المرجعي إلى جزئين متميزين: سطح التحميل الذي يتحمل الشد $ \partial \Omega_t^0$، الذي يتعرض لشدود مطبقة $t(X, t)$، وسطح الإزاحة المحددة $ \partial \Omega_u^0$، الذي يتعرض لإزاحات محددة $u(X, t)$. يشير المؤلفون إلى أنه في التطبيقات العملية، غالبًا ما يتم تحديد إزاحات الحواف، بينما عادة ما تكون الشدود معروفة فقط في شكل إجمالي، ممثلة بـ $P = \int_{\partial \Omega_t^0} t \, dA$. يتم بعد ذلك أخذ عينة من حقل الإزاحة بشكل منفصل عند نقاط مرجعية محددة لمزيد من التحليل.
نتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج مهمة تتعلق بأداء الحقول الافتراضية المعتمدة على الشكل (SBVFs) مقارنة بالحقول الافتراضية ذات الإزاحة الموحدة (UDVFs) في سياق مشكلات القيمة الحدية (BVPs) ذات التعقيدات الحركية المتنوعة. تظهر النتائج أن SBVFs تظهر باستمرار قمم دالة تكلفة أكثر حدة، مما يشير إلى خصائص تقارب أفضل عبر نماذج المواد المختلفة، بما في ذلك نماذج Mooney-Rivlin ونماذج الشد الطبيعية. على وجه التحديد، وُجد أن قيم الحدة للـ SBVFs كانت تقريبًا 2-3 مرات أكبر من تلك الخاصة بـ UDVFs، مما يبرز مزايا SBVFs في تقدير خصائص المواد بدقة.
تستكشف الدراسة أيضًا تأثير الضوضاء على تقارب خصائص المواد، كاشفة أن SBVFs تتفوق على UDVFs من حيث الدقة والوضوح في ظل ظروف ضوضائية. تم إدخال ضوضاء غاوسية بشكل منهجي إلى موتر تدرج التشوه، وأظهرت النتائج أن SBVFs حافظت على أداء متفوق عبر مختلف سعات الضوضاء. شمل التحليل مقارنة انتقائية المعلمات بين هندسات العينات المختلفة، مما يدل على أن العينات ذات التمثيلات الحركية الأكثر تعقيدًا أسفرت عن قيم حدة أفضل للمعلمات المادية. بشكل عام، تؤكد النتائج على قوة SBVFs في كل من الإعدادات التجريبية الخالية من الضوضاء والمليئة بالضوضاء، مما يجعلها أداة قيمة لتقدير خصائص المواد في ميكانيكا الحاسوب.
مناقشة
يتناول قسم المناقشة في الورقة تطبيق أسلوب الحقول الافتراضية (VFM) في معايرة نماذج المواد الفائقة المرونة من خلال مبدأ العمل الافتراضي (PVW). يستخدم VFM بيانات حركية شاملة وقياسات قوة عالمية لتحسين معلمات المواد من خلال تقليل دالة التكلفة المستمدة من PVW. يؤكد المؤلفون على أهمية اختيار الحقول الافتراضية المناسبة، مشيرين إلى أن الحقول الافتراضية المعتمدة على الحساسية (SBVFs) تعزز بشكل كبير من تحديد المعلمات مقارنة بالحقول الافتراضية المحددة من قبل المستخدم (UDVFs). توضح الدراسة أن SBVFs، لا سيما الأساليب الجديدة المعتمدة على التباين (vSBVFs) والمعتمدة على المشتقات التحليلية (aSBVFs)، تحقق تقاربًا أكثر حدة وتحسنًا في قوة تقدير المعلمات، خاصة في ظل الظروف الضوضائية.
تشير النتائج إلى أن زيادة تعقيد مشكلات القيمة الحدية (BVPs) وتحسين تصميم العينات يمكن أن يعزز أيضًا من قابلية تحديد المعلمات. تظهر النتائج أنه بينما تحسن التشوهات الكبيرة على الماكرو من تحديد المعلمات غير الخطية من الدرجة الأعلى، فإن مجموعة بيانات متوازنة تشمل كل من التشوهات الصغيرة والكبيرة ضرورية للمعايرة الشاملة. يستنتج المؤلفون أن منهجياتهم توفر إطارًا مرنًا وآليًا لتوصيف المواد، وهو مفيد بشكل خاص في الإعدادات التجريبية التي تفرض قيودًا على الدقة المكانية والزمنية. ومع ذلك، فإنهم يعترفون بالحاجة إلى مزيد من التطوير لتوسيع هذه الأساليب لتشمل سلوكيات المواد الأكثر تعقيدًا، مثل التباين واللزوجة.
DOI: https://doi.org/10.1111/str.70031
Publication Date: 2026-02-01
Author(s): Denislav P. Nikolov et al.
Primary Topic: Model Reduction and Neural Networks
Overview
This research paper addresses the challenges of accurately identifying nonlinear material parameters from three-dimensional full-field deformation data in experimental mechanics. The authors enhance the discrete formulation of the sensitivity-based virtual fields (SBVF) method by developing and comparing variation-based SBVFs (vSBVFs) and analytical derivative-based SBVFs (aSBVFs) within a strain-invariant modeling framework. These methods utilize directional Gâteaux derivatives and analytical differentiation to create tailored virtual displacement fields, significantly improving the robustness and efficiency of material model calibration. The study demonstrates that these new SBVF approaches allow for automated construction of optimal virtual fields, enhancing parameter identifiability, especially in the presence of measurement noise.
The findings indicate that both vSBVFs and aSBVFs outperform traditional virtual field strategies, particularly for highly nonlinear parameters and in noisy environments. The authors establish that increasing the richness of kinematic data—achieved through optimized sample design and enhanced macroscale stretch—leads to better parameter identifiability. This work provides a flexible framework for robust, automated, and noise-tolerant material characterization, reducing reliance on manual field selection and paving the way for future automation in experimental mechanics workflows. While the study focuses on analytically constructed SBVFs, it acknowledges the need for further development to address more complex material behaviors, such as anisotropy and viscoelasticity. Overall, this research marks a significant advancement in the field, offering a pathway toward accurate and efficient material parameter identification.
Introduction
The introduction discusses the advancements in full-field measurement techniques, such as digital image correlation (DIC) and displacement-encoded magnetic resonance cartography (MR-u), which are essential for capturing the kinematics of complex boundary value problems (BVPs). These techniques are crucial for calibrating materials with nonlinear, anisotropic, and codependent parameters, but they present challenges in designing specimens that exhibit sufficient kinematic richness while adhering to experimental constraints. Recent efforts to enhance test design include the use of “Σ-shaped” specimens and topological optimization to address these complexities.
The paper highlights the need for sophisticated parameter extraction methods that go beyond simple force-extension curve fitting, advocating for inverse methods like the virtual fields method (VFM) and finite element model updating (FEMU). The VFM is particularly noted for its computational efficiency, as it directly calculates stresses from measured strains without requiring forward simulations. The authors propose an improvement to the VFM by introducing sensitivity-based virtual fields (SBVFs) to enhance the calibration of material models, particularly for elastomers. They aim to develop a pipeline that integrates full 3D kinematic data, natural strain invariant models, and an optimized SBVF method to improve material parameter calibration. The effectiveness of this approach is demonstrated through comparisons of parameter convergence between user-defined and sensitivity-based virtual fields, emphasizing the potential for enhanced robustness in experimental data analysis.
Methods
In this section, the authors outline the theoretical framework and methods employed to analyze the deformation of a material sample. The sample is initially defined in a reference configuration, denoted as $\Omega_0$, with internal coordinates $X \in \Omega_0$. As the sample undergoes deformation over time $t$, it occupies a new region $\Omega$, where a material point $X$ corresponds to a spatial coordinate $x \in \Omega$. The relationship between the reference and deformed coordinates is established through a deformation mapping $\phi$, leading to the definition of the displacement field $u(X, t) = x – X$.
The local deformation at any material point is quantified using the deformation gradient tensor $F(X, t)$, expressed as $F = \nabla_X \phi = \nabla_X u + I$, where $I$ is the identity tensor and $\nabla_X(\cdot)$ denotes the material gradient operator. The Jacobian determinant $J(X, t) = \det(F(X, t))$ provides insight into the local volumetric changes. The boundary of the sample in its reference configuration is partitioned into two distinct parts: the traction-bearing surface $\partial \Omega_t^0$, which experiences applied tractions $t(X, t)$, and the displacement-prescribed surface $\partial \Omega_u^0$, subjected to specific displacements $u(X, t)$. The authors note that in practical applications, edge displacements are often prescribed, while the tractions are typically known only in aggregate form, represented by $P = \int_{\partial \Omega_t^0} t \, dA$. The displacement field is then sampled discretely at designated reference points for further analysis.
Results
In this section, the authors present significant findings regarding the performance of Shape-Based Virtual Fields (SBVFs) compared to Uniform Displacement Virtual Fields (UDVFs) in the context of boundary value problems (BVPs) with varying kinematic complexities. The results demonstrate that SBVFs consistently exhibit sharper cost function peaks, indicating better convergence properties across different material models, including Mooney-Rivlin and natural strain invariant models. Specifically, sharpness values for SBVFs were found to be approximately 2-3 times greater than those for UDVFs, highlighting the advantages of SBVFs in accurately estimating material properties.
The study also explores the impact of noise on the convergence of material properties, revealing that SBVFs outperform UDVFs in terms of both accuracy and precision under noisy conditions. Gaussian noise was systematically introduced to the deformation gradient tensor, and the results showed that SBVFs maintained superior performance across various noise amplitudes. The analysis included a comparison of parameter selectivity between different sample geometries, demonstrating that samples with more complex kinematic representations yielded better sharpness values for material parameters. Overall, the findings underscore the robustness of SBVFs in both noise-free and noisy experimental settings, making them a valuable tool for material property estimation in computational mechanics.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the application of the virtual fields method (VFM) in calibrating hyperelastic material models through the principle of virtual work (PVW). The VFM utilizes full-field kinematic data and global force measurements to optimize material parameters by minimizing the cost function derived from the PVW. The authors emphasize the importance of selecting appropriate virtual fields, noting that sensitivity-based virtual fields (SBVFs) significantly enhance parameter identification compared to user-defined virtual fields (UDVFs). The study demonstrates that SBVFs, particularly the newly developed variation-based (vSBVFs) and analytical derivative-based (aSBVFs) methods, yield sharper convergence and improved robustness in parameter estimation, especially under noisy conditions.
The findings indicate that increasing the complexity of boundary value problems (BVPs) and optimizing sample design can further enhance parameter identifiability. The results show that while larger macroscale deformations improve the identification of higher-order nonlinear parameters, a balanced dataset encompassing both small and large deformations is essential for comprehensive calibration. The authors conclude that their methodologies provide a flexible and automated framework for material characterization, which is particularly beneficial in experimental settings with constraints on spatial and temporal resolution. However, they acknowledge the need for further development to extend these methods to more complex material behaviors, such as anisotropy and viscoelasticity.