DOI: https://doi.org/10.1007/s44245-025-00179-3
تاريخ النشر: 2026-01-15
المؤلف: Anass Moukhliss وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل وهندسة الهياكل المركبة
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة نموذجًا ميكانيكيًا منفصلًا لتحليل الاهتزازات الحرة ذات السعة الكبيرة للأشعة ذات الدرجتين من المواد المدروسة وظيفيًا، حيث تنتقل خصائص المواد عبر السماكة وفقًا لتوزيع قانون القوة بين المراحل المعدنية والسيراميكية. يتم نمذجة الشعاع المستمر كنظام ذو N درجات من الحرية يتكون من كتل مركزة ونوابض، مع اشتقاق المعادلات الجبرية غير الخطية الحاكمة باستخدام مبدأ هاملتون. يتم استخدام نهج أحادي الوضع (SMA) لتأسيس علاقات التردد-السعة غير الخطية. بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم نموذج بديل قائم على الشبكات العصبية الاصطناعية (ANN) للتنبؤ بكفاءة بنسبة التردد غير الخطي إلى الخطي كدالة للمعلمات الحرجة، مثل نسبة الخطوة، وموقع الخطوة، وظروف الحدود، ومؤشر قانون القوة، مما يقلل بشكل كبير من وقت الحساب مع الحفاظ على الدقة.
تشير النتائج إلى أن استجابة التردد-السعة تظهر سلوكًا صلبًا عبر جميع ظروف الحدود، مع ترتيب محدد لنسب التردد. الحساسية لنسبة السماكة غير متناظرة، حيث تظهر حساسية أكبر للنسب الأقل من واحد. علاوة على ذلك، يؤدي انخفاض في الكسر الطولي المركزي إلى زيادة في نسبة التردد، مما يعكس التغيرات في الصلابة وتوزيع الكتلة. يؤدي مؤشر التدرج إلى تغيير غير أحادي ضعيف في نسبة التردد، يتأثر بظروف الحدود. تلتقط الشبكة العصبية الاصطناعية هذه الاتجاهات بفعالية، مما يسهل رسم الخرائط البارامترية السريعة وتحسين التصميم. ستوسع الأبحاث المستقبلية هذا الإطار ليشمل الربط متعدد الأوضاع، والهندسيات البديلة، وتقدير عدم اليقين، مع استكشاف الهياكل المستندة إلى الفيزياء والتعلم الانتقالي للتكوينات ذات الصلة.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يناقش المؤلفون تطور وأهمية المواد المدروسة وظيفيًا (FGMs) في التصميم الهيكلي المتقدم. توفر المواد المدروسة وظيفيًا، التي تتميز بانتقال سلس بين المراحل المعدنية والسيراميكية، تباينات مستمرة في الخصائص الميكانيكية والحرارية، مما يعالج القضايا الشائعة المرتبطة بالمركبات التقليدية المصفحة، مثل الانفصال وعدم التوافق الحراري. تعتبر هذه المواد مفيدة بشكل خاص في التطبيقات ذات الطلب العالي عبر مجالات الطيران، وأنظمة الطاقة، والتقنيات الذكية بسبب تحسين نسب الصلابة إلى الوزن والاستقرار الحراري. يبرز المؤلفون قابلية تعديل المواد المدروسة وظيفيًا، مما يسمح بإجراء تعديلات في السلوك الديناميكي دون تغيير الهندسيات الخارجية، وبالتالي تصنيفها كمواد هيكلية ذكية.
تؤكد الورقة أيضًا على الحاجة إلى نمذجة الاهتزازات غير الخطية بدقة للمواد المدروسة وظيفيًا، خاصة في الهندسيات غير المنتظمة، للتنبؤ بسعات الرنين وحدود الاستقرار تحت ظروف تحميل واقعية. بينما كانت الدراسات المبكرة تركز بشكل أساسي على الاستجابات الخطية، انتقلت الأبحاث الحديثة نحو فهم السلوكيات غير الخطية، مع مساهمات كبيرة في تطوير النماذج التحليلية والعددية. يحدد المؤلفون فجوة في الأدبيات الحالية بشأن الكفاءة الحسابية لهذه النماذج، خاصة للهندسيات المعقدة. لمعالجة ذلك، تقترح الدراسة صياغة كتلة نابض منفصلة لتحليل الاهتزاز الحر غير الخطي للأشعة ذات الدرجتين من المواد المدروسة وظيفيًا، تم التحقق منها مقابل المعايير المعتمدة. بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم نموذج بديل قائم على التعلم الآلي يعتمد على الشبكات العصبية الاصطناعية (ANNs) لتسهيل التقدير السريع لنسبة التردد غير الخطي إلى الخطي، مما يعزز عمليات التصميم والتحسين لهياكل الأشعة المدروسة وظيفيًا.
النتائج
في قسم النتائج، يتم تقييم أربعة تكوينات متميزة (الحالة A: (0.35، 0.24، 3.2)، الحالة B: (1.25، 0.25، 4.3)، الحالة C: (1.35، 0.21، 3.37)، والحالة D: (0.35، 0.205، 2.4)) باستخدام نموذج منفصل وشبكة عصبية اصطناعية (ANN) على شبكة موحدة $A^* \in [0، 1.2]$. من الجدير بالذكر أن هذه التكوينات لم تُدرج في مراحل التدريب أو التحقق أو التوقف المبكر، مما يضمن أن التقييم يعكس قدرة النموذج على التعميم على البيانات غير المرئية.
تشير النتائج، الملخصة في الجدول 1، إلى أن الشبكة العصبية الاصطناعية تقترب بشكل كبير من نموذج المرجع المنفصل، محققة معاملات تحديد ($R^2 \geq 0.9988$) وأخطاء مطلقة طفيفة عبر التكوينات. تُظهر الحالة C أعلى دقة مع $R^2 = 0.99994$ ومتوسط خطأ مطلق (MAE) قدره $3.91 \times 10^{-4}$، بينما تقدم الحالة D أكبر تحدٍ، مع MAE قدره $2.82 \times 10^{-3}$، وخطأ الجذر التربيعي المتوسط (RMSE) قدره $3.20 \times 10^{-3}$، ومتوسط نسبة الخطأ المطلق (MAPE) قدره 0.248%. توفر هذه النتائج تقديرًا قويًا لأداء الشبكة العصبية الاصطناعية على تكوينات جديدة ضمن النطاق المحدد.
مناقشة
في قسم المناقشة من الورقة، يحدد المؤلفون تنظيم وأهم النتائج لأبحاثهم حول إطار نمذجة منفصل لتحليل الاستجابة الديناميكية لشعاع من المواد المدروسة وظيفيًا (FGM) ذو ثلاثة مقاطع. تتكون الورقة من عدة أقسام: الأول يستخرج المعادلات الحاكمة ويحدد موترات الكتلة والصلابة؛ الثاني يتحقق من صحة النموذج المنفصل مقابل الحلول المرجعية؛ الثالث يستكشف الاتجاهات البارامترية ويحدد مساحة التصميم؛ والرابع يناقش الآثار المتعلقة بالنمذجة البديلة باستخدام الشبكات العصبية الاصطناعية (ANNs). تسلط الاستنتاجات الضوء على النتائج الرئيسية وتقترح اتجاهات البحث المستقبلية، بما في ذلك استكشاف التمديدات متعددة الخطوات وتأثيرات التخميد.
يستخدم النموذج المنفصل نهجًا جديدًا لالتقاط السلوك الديناميكي لشعاع FGM تحت الإزاحات الكبيرة، مع دمج عدم الخطية الهندسية من خلال الشد المحوري. يتم اشتقاق معلمات النموذج، بما في ذلك موترات الكتلة والصلابة، من الخصائص الفيزيائية للشعاع، مع التركيز على تأثيرات التكوينات الهندسية مثل نسب الارتفاع وأطوال المقاطع. يظهر المؤلفون أن التغيرات في هذه المعلمات تؤثر بشكل كبير على استجابة التردد غير الخطية، مع نتائج تشير إلى أن نسبة التردد تظهر اعتمادًا غير أحادي على نسبة السماكة ونسبة الخطوة، مما يبرز التفاعل بين الخطية وعدم الخطية الهندسية. تؤكد التحقق من النتائج المرجعية دقة النموذج واستقراره، مما يؤسس أساسًا لمزيد من التحقيقات في الخصائص الديناميكية لأشعة FGM.
DOI: https://doi.org/10.1007/s44245-025-00179-3
Publication Date: 2026-01-15
Author(s): Anass Moukhliss et al.
Primary Topic: Composite Structure Analysis and Optimization
Overview
This study presents a discrete mechanical model for analyzing large-amplitude free vibrations of two-stepped functionally graded beams, where material properties transition through thickness according to a power-law distribution between metallic and ceramic phases. The continuous beam is modeled as an N-degree-of-freedom system comprising lumped masses and springs, with governing nonlinear algebraic equations derived using Hamilton’s principle. A single-mode approach (SMA) is employed to establish nonlinear frequency-amplitude relationships. Additionally, an Artificial Neural Network (ANN)-based surrogate model is introduced to efficiently predict the nonlinear-to-linear frequency ratio as a function of critical parameters, such as step ratio, step position, boundary conditions, and the power-law index, significantly reducing computation time while maintaining accuracy.
The findings indicate that the frequency-amplitude response demonstrates a hardening behavior across all boundary conditions, with a specific ordering of frequency ratios. The sensitivity to the thickness ratio is asymmetric, showing greater sensitivity for ratios less than one. Furthermore, a decrease in the central length fraction leads to an increase in the frequency ratio, reflecting changes in stiffness and mass distribution. The gradation index results in a weakly nonmonotonic variation of the frequency ratio, influenced by boundary conditions. The ANN surrogate effectively captures these trends, facilitating rapid parametric mapping and design optimization. Future research will expand this framework to include multi-mode coupling, alternative geometries, and uncertainty quantification, while exploring physics-informed architectures and transfer learning for related configurations.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors discuss the evolution and significance of functionally graded materials (FGMs) in advanced structural design. FGMs, which feature a smooth transition between metallic and ceramic phases, offer continuous variations in mechanical and thermal properties, thereby addressing common issues associated with traditional laminated composites, such as delamination and thermal mismatch. These materials are particularly advantageous in high-demand applications across aerospace, energy systems, and smart technologies due to their enhanced stiffness-to-weight ratios and thermal stability. The authors highlight the tunability of FGMs, which allows for modifications in dynamic behavior without altering external geometries, thus classifying them as smart structural materials.
The paper further emphasizes the need for accurate nonlinear vibration modeling of FGMs, particularly in non-uniform geometries, to predict resonance amplitudes and stability limits under realistic loading conditions. While early studies primarily focused on linear responses, recent research has shifted towards understanding nonlinear behaviors, with significant contributions made in the development of analytical and numerical models. The authors identify a gap in the existing literature regarding the computational efficiency of these models, particularly for complex geometries. To address this, the study proposes a discrete spring-mass formulation for analyzing the geometrically nonlinear free vibration of two-stepped FG beams, validated against established benchmarks. Additionally, a machine-learning surrogate model based on artificial neural networks (ANNs) is introduced to facilitate rapid estimation of the nonlinear-to-linear frequency ratio, enhancing the design and optimization processes for functionally graded beam structures.
Results
In the results section, four distinct configurations (case A: (0.35, 0.24, 3.2), case B: (1.25, 0.25, 4.3), case C: (1.35, 0.21, 3.37), and case D: (0.35, 0.205, 2.4)) are evaluated using a discrete model and an artificial neural network (ANN) on a uniform grid $A^* \in [0, 1.2]$. Notably, these configurations were not included in the training, validation, or early stopping phases, ensuring that the evaluation reflects the model’s ability to generalize to unseen data.
The findings, summarized in Table 1, indicate that the ANN closely approximates the discrete reference model, achieving coefficients of determination ($R^2 \geq 0.9988$) and minimal absolute errors across the configurations. Case C demonstrates the highest accuracy with $R^2 = 0.99994$ and a mean absolute error (MAE) of $3.91 \times 10^{-4}$, while case D presents the most significant challenge, with an MAE of $2.82 \times 10^{-3}$, root mean square error (RMSE) of $3.20 \times 10^{-3}$, and mean absolute percentage error (MAPE) of 0.248%. These results provide a robust estimate of the ANN’s performance on new configurations within the specified range.
Discussion
In the discussion section of the paper, the authors outline the organization and key findings of their research on a discrete modeling framework for analyzing the dynamic response of a three-segment functionally graded material (FGM) beam. The paper is structured into several sections: the first derives governing equations and details mass and stiffness tensors; the second validates the discrete model against reference solutions; the third explores parametric trends and defines the design space; and the fourth discusses implications for surrogate modeling using artificial neural networks (ANNs). The conclusions highlight the main findings and suggest future research directions, including the exploration of multi-stepped extensions and damping effects.
The discrete model employs a novel approach to capture the dynamic behavior of the FGM beam under large displacements, incorporating geometric nonlinearity through axial stretching. The model’s parameters, including mass and stiffness tensors, are derived from the beam’s physical properties, with a focus on the effects of geometric configurations such as height ratios and segment lengths. The authors demonstrate that variations in these parameters significantly influence the nonlinear frequency response, with findings indicating that the frequency ratio exhibits a nonmonotonic dependence on the thickness ratio and step ratio, emphasizing the interplay between linear and geometric nonlinearities. The validation against benchmark results confirms the model’s accuracy and stability, establishing a foundation for further investigations into the dynamic characteristics of FGM beams.