DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-53478-4
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/42162182
تاريخ النشر: 2026-05-20
المؤلف: Mohammed Alsharafi وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة البحثية إطارًا شاملاً لثلاثة مؤشرات من نوع Prodeg لقوة الدرجة: مؤشر Prodeg العكسي \( IP(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{1/2} \)، مؤشر Misbalance Prodeg \( M(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{3/2} \)، ومؤشر Yemen Prodeg \( Y(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{5/2} \)، جنبًا إلى جنب مع إنتروبات شانون المرتبطة بها \( E_{IP}(G) \)، \( E_M(G) \)، و \( E_Y(G) \). يستنتج المؤلفون تعبيرات مغلقة لأسر متنوعة من الرسوم البيانية ويثبتون أنه بالنسبة للرسوم البيانية المتصلة مع \( n \geq 2 \)، فإن الإنتروبات محدودة بواسطة \( \log n \)، حيث تتحقق المساواة فقط للرسوم البيانية المنتظمة. كما يقدمون مبدأ حاصل ضرب التنسور، موضحين أن مجموع قوة الدرجة \( S_a(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^a \) هو مضاعف تحت حاصل ضرب كرونكر، مما يؤدي إلى إضافة الإنتروبات وعدم المساواة من نوع Nordhaus-Gaddum.
في التطبيقات العملية، تحلل الدراسة مجموعة بيانات تحتوي على 3,219 مركبًا مضادًا للبكتيريا من قاعدة بيانات ChEMBL، كاشفة أن كل من الإنتروبات الكلاسيكية وProdeg ترتبط ارتباطًا قويًا مع مقاييس التعقيد الجزيئي المعروفة، مثل BertzCT و \( \log_{10}(pIC) \). يقوم المؤلفون بإجراء تحليل علاقة هيكلية-نشاطية (QSAR) باستخدام متنبئات قائمة على الإنتروبات، ويجدون أن نماذج تجميع الأشجار تحقق أفضل أداء تنبؤي للخصائص المتعلقة بالحجم، بينما تظل إنتروبات Prodeg تنافسية على الرغم من وجود عدد أقل من الوصف. تقترح الورقة اتجاهات بحثية مستقبلية، بما في ذلك التحقيقات النظرية الأعمق في الخصائص القصوى للإنتروبات ودمج إنتروبات Prodeg مع أوصاف حساسة للكيمياء في دراسات QSPR.
نقاش
يوفر قسم النقاش في الورقة نظرة شاملة على تطور وتطبيق إنتروبات الرسوم البيانية، مع التركيز بشكل خاص على الإنتروبات المعتمدة على الدرجة وخصائصها القصوى. يتتبع أصول إنتروبات الرسوم البيانية إلى نظرية المعلومات، مسلطًا الضوء على الأعمال الأساسية لشانون والتطورات اللاحقة من قبل باحثين مثل راشيفسكي، كورنر، وسيموني. يؤكد المؤلفون على أهمية الإنتروبات المعتمدة على الدرجة، التي تستخدم احتمالات الرؤوس المستمدة من أوزان تعتمد على الدرجة، ويناقشون كيف يمكن مقارنة هذه الإنتروبات بشكل منهجي من خلال إطار موحد. يكشف هذا الإطار عن ميزات هيكلية شائعة بين إنتروبات مختلفة تعتمد على الدرجة، مثل القيم القصوى المنتظمة وإضافة المنتج.
يتناول القسم أيضًا الأسس الرياضية لمجموعات قوة الدرجة وأهميتها في نظرية الرسوم البيانية القصوى، مشيرًا إلى المساهمات الرئيسية من بولوباس ونيكيفوروف. يقدم المؤلفون مؤشرات من نوع Prodeg، التي تت correspond إلى مجموعات قوة درجة محددة، ويظهرون فائدتها في بناء مقاييس الإنتروبات. علاوة على ذلك، يناقشون دور أدوات التفضيل وعدم المساواة في تحليل هذه الإنتروبات، خصوصًا في سياق توزيعات أوزان الدرجة. يختتم المؤلفون بتحديد عملهم ضمن المشهد الأوسع لبحوث إنتروبات الرسوم البيانية، مشيرين إلى الإمكانية لدراسات مستقبلية لاستكشاف هويات إنتروبات مماثلة تحت عمليات الرسوم البيانية المختلفة، مما يوسع الفهم للإنتروبات في الشبكات المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-53478-4
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/42162182
Publication Date: 2026-05-20
Author(s): Mohammed Alsharafi et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
This research paper presents a comprehensive framework for three Prodeg-type degree-power invariants: the Inverse Prodeg index \( IP(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{1/2} \), the Misbalance Prodeg index \( M(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{3/2} \), and the Yemen Prodeg index \( Y(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^{5/2} \), along with their associated Shannon entropies \( E_{IP}(G) \), \( E_M(G) \), and \( E_Y(G) \). The authors derive closed-form expressions for various graph families and establish that for connected graphs with \( n \geq 2 \), the entropies are bounded by \( \log n \), achieving equality only for regular graphs. They also introduce a tensor-product principle, demonstrating that the degree power sum \( S_a(G) = \sum_{v \in V(G)} d_G(v)^a \) is multiplicative under the Kronecker product, leading to the additivity of the entropies and a Nordhaus-Gaddum-type inequality.
In practical applications, the study analyzes a dataset of 3,219 antibacterial compounds from the ChEMBL database, revealing that both classical and Prodeg entropies correlate strongly with established molecular complexity measures, such as BertzCT and \( \log_{10}(pIC) \). The authors conduct a quantitative structure-activity relationship (QSAR) analysis using entropy-based predictors, finding that tree ensemble models yield the best predictive performance for size-related properties, while the Prodeg entropies remain competitive despite fewer descriptors. The paper suggests future research directions, including deeper theoretical investigations into the extremal properties of the entropies and the integration of Prodeg entropies with chemistry-sensitive descriptors in QSPR studies.
Discussion
The discussion section of the paper provides a comprehensive overview of the evolution and application of graph entropy, particularly focusing on degree-based entropies and their extremal properties. It traces the origins of graph entropy to information theory, highlighting foundational works by Shannon and subsequent developments by researchers such as Rashevsky, Körner, and Simonyi. The authors emphasize the significance of degree-based entropies, which utilize vertex probabilities derived from degree-dependent weights, and discuss how these entropies can be systematically compared through a unified framework. This framework reveals common structural features among different degree-based entropies, such as regular extremals and product additivity.
The section also delves into the mathematical underpinnings of degree power sums and their relevance in extremal graph theory, referencing key contributions from Bollobás and Nikiforov. The authors introduce Prodeg-type indices, which correspond to specific degree power sums, and demonstrate their utility in constructing entropy measures. Furthermore, they discuss the role of majorization and inequality tools in analyzing these entropies, particularly in the context of degree-weight distributions. The authors conclude by positioning their work within the broader landscape of graph entropy research, noting the potential for future studies to explore analogous entropy identities under various graph operations, thereby extending the understanding of entropy in complex networks.