DOI: https://doi.org/10.1016/j.cma.2026.118981
تاريخ النشر: 2026-04-12
المؤلف: Bahador Bahmani
الموضوع الرئيسي: الشبكات العصبية والتطبيقات
نظرة عامة
تقدم البحث إطار عمل جديد قائم على البيانات، probabilistic، لنمذجة المواد البيولوجية اللينة غير المتجانسة، مع معالجة التباين الكبير بين الأفراد والعشوائية الكامنة لهذه المواد. غالبًا ما تتجاهل النماذج الحتمية التقليدية عدم اليقين التنبؤي، مما قد يؤثر على موثوقيتها في التحليلات الميكانيكية. يستخدم الإطار المقترح الانحدار الكمي المتوافق المطبق على مجالات ذات قيم موترية، مما يضمن الاتساق الديناميكي الحراري من خلال صياغة متعددة التقوس غير المتغيرة. يسمح هذا النهج بأداء تنبؤي قوي، حتى في السيناريوهات الاستقرائية، وهو مصمم ليكون سهل الدمج في النماذج الحتمية الحالية دون الحاجة إلى افتراضات حول توزيع البيانات الأساسي.
يستخدم الإطار الشبكات العصبية الأحادية لتحديد الوظائف الكمية غير المعروفة اللازمة لتقييم الإجهاد، مما يعزز التدريب المستقر ويحافظ على الاتساق الديناميكي الحراري عبر التنبؤات الاحتمالية. بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم تمديد ذو قيم موترية للانحدار الكمي المتوافق لتعزيز معايرة تقديرات عدم اليقين المستمدة من مجموعات البيانات المحدودة. تجعل كفاءة الطريقة الحاسوبية، وقابليتها للتوسع، وتجنب أخذ عينات مونت كارلو عند الاستدلال منها مناسبة بشكل خاص لمحاكاة ميكانيكية على نطاق واسع. تُظهر التحقق ضد مجموعات البيانات المرجعية فعالية الإطار في تقديم أداء تنبؤي دقيق وتقدير عدم اليقين في كل من سياقات الاستيفاء والاستقراء.
مقدمة
تتناول مقدمة هذه الورقة البحثية التباين الكبير بين الأفراد في المواد البيولوجية اللينة، مما يبرز ضرورة نمذجة حتمية آلية لتسهيل التحليلات والتصاميم الخاصة بالمرضى. تظهر هذه المواد سلوكًا غير خطي معقد وعشوائية داخلية بسبب هياكلها الدقيقة غير المتجانسة. بينما أظهرت التطورات الأخيرة في نمذجة المواد الحتمية القائمة على البيانات، وخاصة تلك التي تستخدم الشبكات العصبية، وعدًا، لا تزال معظم الطرق الحالية حتمية ولا تقيم عدم اليقين التنبؤي بشكل كافٍ، مما يحد من قابليتها للتطبيق في التحليلات الميكانيكية.
استجابةً لهذه التحديات، يقترح المؤلفون نموذجًا حتميًا قائمًا على البيانات غير المتجانسة مشفرًا فيزيائيًا يتضمن موترات هيكلية لتمثيل تماثلات المواد. يستخدم النموذج شكلًا قائمًا على عدم التغير القابل للفصل الإضافي لطاقة التشوه، مما يضمن تعدد التقوس من خلال تحديدات الشبكة العصبية للتدرجات المطلوبة بدلاً من كثافة طاقة التشوه نفسها. يعزز هذا النهج قابلية التدريب ويقلل من التكاليف الحاسوبية. لتوسيع هذه النماذج إلى إطار عمل احتمالي، يستخدم المؤلفون الانحدار الكمي، مما يسمح بتقدير عدم اليقين دون تعقيدات الاستدلال البايزي عبر فضاءات المعلمات عالية الأبعاد. يمكّن هذا الأسلوب من فرض قيود ديناميكية حرارية مع الحفاظ على القبول الفيزيائي، مما يجعله مناسبًا بشكل خاص للتطبيقات في الأنظمة الميكانيكية غير الخطية حيث يكون تقدير عدم اليقين أمرًا حاسمًا. تم تصميم النموذج المقترح للسيناريوهات التي تحتوي على بيانات نادرة وصاخبة، مع التركيز على تقدير عدم اليقين الموثوق به الضروري لاتخاذ قرارات وتصميمات قوية.
طرق
في هذا القسم، يناقش المؤلفون آثار ظروف التحميل التجريبية على معايرة نماذج المواد الهيبرليستية. بينما يكون النموذج نفسه مستقلًا عن المسار، فإن بيانات الإجهاد والانفعال التي تم جمعها خلال التجارب تتأثر بالمسارات التحميل المحددة المستخدمة. يؤدي ذلك إلى ارتباطات قوية بين حالات الإجهاد ضمن مسار واحد، مما قد يعقد تطبيق إطار التنبؤ المتوافق الذي يفترض تبادل الملاحظات. يجادل المؤلفون بأن اعتبار قياسات الإجهاد الفردية كقابلة للتبادل يمكن أن يؤدي إلى تقديرات عدم يقين متفائلة بشكل مفرط، خاصة عندما يتم جمع البيانات على طول مسارات تحميل منظمة.
لمعالجة هذه المشكلة، يقترح المؤلفون استراتيجية معايرة متوافقة على مستوى المسار، تعترف بالارتباطات داخل المسار من خلال اعتبار مسارات التحميل الكاملة كوحدات قابلة للتبادل. يحسبون درجات عدم التوافق النقطية لكل مسار معايرة ويطبقون تعديلات متوافقة على هذه الدرجات المجمعة بدلاً من القياسات الفردية. يضمن هذا النهج أن مجموعة عدم اليقين المعايرة تعكس بدقة استجابة الإجهاد على طول مسارات تحميل جديدة، مع الحفاظ على احتمال لا يقل عن \(1 – \alpha\) بأن يتضمن نطاق الإجهاد المتوقع الاستجابة الكاملة. من المهم أن هذه الطريقة في المعايرة لا تعدل النموذج الهيبرليستي الأساسي ولكن تعزز بروتوكول التقييم لأخذ الارتباطات الناتجة عن عملية جمع البيانات المنظمة في الاعتبار.
مناقشة
في قسم المناقشة، يستعرض المؤلفون مختلف الأساليب لنمذجة سلوك المواد تحت عدم اليقين، مع تسليط الضوء على تطوير نماذج هيبرليستية عشوائية بواسطة ميهاي وآخرين التي تعالج المعلمات الحتمية كمتغيرات عشوائية. تعتبر هذه النماذج، على الرغم من فعاليتها للمواد المتجانسة، محدودة في لحظات إحصائية منخفضة الترتيب. كما يشير المؤلفون إلى التحديات الحاسوبية المرتبطة بالعلاجات البايزية الكاملة لمعاملات النموذج، والتي يمكن أن تصبح مرهقة مع زيادة فضاء المعلمات. يتم مناقشة طرق بديلة، مثل الانحدار باستخدام العمليات الغاوسية وإطارات المعايرة الاحتمالية، لكنها تواجه قيودًا من حيث قابلية التوسع والقدرة على التعامل مع الاستجابات غير الخطية للغاية.
تم هيكلة الورقة لتقديم نموذج حتمي أولاً، ثم يتم توسيعه إلى إطار عمل احتمالي باستخدام الانحدار الكمي والانحدار الكمي المتوافق لتقدير عدم اليقين. تم تصميم النموذج الحتمي لفرض قيود فيزيائية للمواد غير المتجانسة، مما يضمن خصائص مثل تماثل المواد والاتساق الديناميكي الحراري. يقترح المؤلفون استراتيجية تحديد باستخدام الشبكات العصبية الأحادية لالتقاط استجابة الإجهاد بشكل فعال، مما يظهر من خلال أمثلة عددية أن هذا النهج يعزز الكفاءة الحاسوبية والدقة في ملاءمة الهيكل التدرجي الأساسي. يهدف النموذج الاحتمالي إلى أخذ التباين في البيانات التجريبية في الاعتبار، مما يوفر إطارًا لبناء فترات تنبؤية تعكس عدم اليقين في استجابات الإجهاد بناءً على تدرجات التشوه.
القيود
تسلط القيود المفروضة على الصياغة المقترحة الضوء على عدة جوانب حاسمة تستدعي مزيدًا من التحقيق. بينما يتفوق الأسلوب في البساطة وكفاءة التدريب وسرعة الاستدلال دون افتراضات توزيع، فإنه يعالج بشكل أساسي عدم اليقين العشوائي المرتبط بتباين البيانات. من الجدير بالذكر أنه لا يأخذ في الاعتبار عدم اليقين المعرفي، الذي ينشأ من عدم كفاية النموذج أو البيانات، مما يشير إلى فجوة ينبغي أن تهدف الأبحاث المستقبلية إلى سدها.
بالإضافة إلى ذلك، على الرغم من أن النهج يلتقط بفعالية مجموعة متنوعة من السلوكيات غير المتجانسة، بما في ذلك التماثل العرضي والتماثلات الثلاثية، إلا أنه يقصر في تمثيل بعض فئات التماثل، مثل التماثلات الثلاثية والسداسية. سيتطلب معالجة هذه القيود إدراج موترات هيكلية من رتبة أعلى، مثل الموترات من الرتبة الرابعة والسادسة، والتي تقترح كاتجاه للأعمال المستقبلية. علاوة على ذلك، فإن اعتماد الإطار الحالي على الفصل الإضافي في تمثيل الطاقة القابلة للتغيير يقيد قدرته على نمذجة تأثيرات الربط المتقاطع، مما يشير إلى أن تطوير صيغ متعددة المتغيرات مرتبطة بالكامل هو طريق مهم للبحث اللاحق.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.cma.2026.118981
Publication Date: 2026-04-12
Author(s): Bahador Bahmani
Primary Topic: Neural Networks and Applications
Overview
The research presents a novel probabilistic, data-driven framework for constitutive modeling of anisotropic biological soft tissues, addressing the significant inter-subject variability and inherent stochasticity of these materials. Traditional deterministic models often overlook predictive uncertainty, which can compromise their reliability in mechanical analyses. The proposed framework utilizes conformalized quantile regression applied to tensor-valued fields, ensuring thermodynamic consistency through a strain-invariant, polyconvex formulation. This approach allows for robust predictive performance, even in extrapolative scenarios, and is designed to be easily integrated into existing deterministic models without requiring assumptions about the underlying data distribution.
The framework employs monotone neural networks to parameterize unknown quantile functions necessary for stress evaluation, promoting stable training and maintaining thermodynamic consistency across probabilistic predictions. Additionally, a tensor-valued extension of conformalized quantile regression is introduced to enhance the calibration of uncertainty estimates derived from finite datasets. The method’s computational efficiency, scalability, and avoidance of Monte Carlo sampling at inference make it particularly suitable for large-scale mechanical simulations. Validation against benchmark datasets demonstrates the framework’s effectiveness in providing accurate predictive performance and uncertainty quantification in both interpolation and extrapolation contexts.
Introduction
The introduction of this research paper addresses the significant inter-subject variability in biological soft tissues, highlighting the necessity for automated constitutive modeling to facilitate patient-specific analyses and designs. These materials exhibit complex nonlinear behavior and intrinsic stochasticity due to their heterogeneous microstructures. While recent advancements in data-driven constitutive modeling, particularly those utilizing neural networks, have shown promise, most existing methods remain deterministic and do not adequately quantify predictive uncertainty, which limits their applicability in mechanical analyses.
In response to these challenges, the authors propose a physics-encoded, anisotropic data-driven constitutive model that incorporates structural tensors to represent material symmetries. The model employs an additively separable invariant-based form for the strain energy, ensuring polyconvexity through neural network parameterizations of the required gradients rather than the strain energy density itself. This approach enhances trainability and reduces computational costs. To extend these models into a probabilistic framework, the authors utilize quantile regression, allowing for uncertainty quantification without the complexities of Bayesian inference over high-dimensional parameter spaces. This method enables the enforcement of thermodynamic constraints while maintaining physical admissibility, making it particularly suitable for applications in nonlinear mechanical systems where uncertainty quantification is critical. The proposed model is designed for scenarios with sparse and noisy data, focusing on reliable uncertainty quantification essential for robust decision-making and design.
Methods
In this section, the authors discuss the implications of experimental loading conditions on the calibration of hyperelastic constitutive models. While the model itself is path-independent, the stress-strain data collected during experiments are influenced by the specific loading trajectories employed. This leads to strong correlations among stress states within a single trajectory, which can complicate the application of the conformal prediction framework that assumes exchangeability of observations. The authors argue that treating individual stress measurements as exchangeable can result in overly optimistic uncertainty estimates, particularly when data are gathered along structured loading paths.
To address this issue, the authors propose a trajectory-level conformal calibration strategy, which recognizes the intra-trajectory correlations by treating entire loading trajectories as exchangeable units. They compute pointwise nonconformity scores for each calibration trajectory and apply conformal adjustments to these aggregated scores rather than to individual measurements. This approach ensures that the calibrated uncertainty set accurately reflects the stress response along new loading trajectories, maintaining a probability of at least \(1 – \alpha\) that the predicted stress interval encompasses the entire response. Importantly, this calibration method does not modify the underlying hyperelastic model but enhances the evaluation protocol to account for the correlations introduced by the structured data collection process.
Discussion
In the discussion section, the authors review various approaches to modeling material behavior under uncertainty, highlighting the development of stochastic hyperelastic models by Mihai et al. that treat constitutive parameters as random variables. These models, while effective for isotropic materials, are limited to low-order statistical moments. The authors also note the computational challenges associated with full Bayesian treatments of model parameters, which can become demanding as the parameter space increases. Alternative methods, such as Gaussian process regression and probabilistic calibration frameworks, are discussed, but they face limitations in terms of scalability and the ability to handle highly nonlinear responses.
The paper is structured to first present a deterministic constitutive model, which is then extended to a probabilistic framework using quantile regression and conformalized quantile regression for uncertainty quantification. The deterministic model is designed to enforce physical constraints for anisotropic materials, ensuring properties such as material symmetry and thermodynamic consistency. The authors propose a parameterization strategy using monotone neural networks to capture the stress response effectively, demonstrating through numerical examples that this approach enhances computational efficiency and accuracy in fitting the underlying gradient structure. The probabilistic model aims to account for variability in experimental data, providing a framework for constructing predictive intervals that reflect uncertainty in stress responses based on deformation gradients.
Limitations
The limitations of the proposed formulation highlight several critical aspects that warrant further investigation. While the method excels in simplicity, training efficiency, and rapid inference without distributional assumptions, it primarily addresses aleatoric uncertainty linked to data variability. Notably, it does not account for epistemic uncertainty, which stems from model inadequacies or insufficient data, indicating a gap that future research should aim to fill.
Additionally, although the approach effectively captures a variety of anisotropic behaviors, including transverse isotropy and triclinic symmetries, it falls short in representing certain symmetry classes, such as trigonal and hexagonal symmetries. Addressing this limitation would necessitate the incorporation of higher-order structural tensors, such as fourth- and sixth-order tensors, which is proposed as a direction for future work. Furthermore, the current framework’s reliance on additive separability in the invariant-based energy representation restricts its ability to model cross-invariant coupling effects, suggesting that the development of fully coupled multivariate formulations is an important avenue for subsequent research.