DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-44311-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/42135359
تاريخ النشر: 2026-05-14
المؤلف: K. Aruna وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، تم استخدام طريقتين هجينتين للتحويل، وهما طريقة الاضطراب الهوموتوبي الطبيعي (NHPM) وطريقة تحليل التحويل الهوموتوبي q (q-HATM)، لاشتقاق حلول تحليلية لمعادلات كورتويغ-دي فريس المرتبطة ذات الترتيب الزمني الكسري ومعادلات كيرستن-كراسيلششيك المرتبطة KdV-mKdV ذات الترتيب الزمني الكسري، باستخدام إطار مشتق أتانغانا-بالينو. تدمج NHPM طريقة التحويل الطبيعي مع طريقة الاضطراب الهوموتوبي، بينما تدمج q-HATM طريقة تحليل الهوموتوبي q مع طريقة تحويل لابلاس. تستخدم كلتا الطريقتين نهجًا تكراريًا لإنتاج حلول سلسلة متقاربة بسرعة.
تظهر فعالية هذه الطرق من خلال مجموعة متنوعة من المشاكل الاختبارية، مع الحصول على نتائج عددية لطلب كسري $\rho = 1$. تتم مقارنة هذه النتائج مع الحلول الدقيقة، مما يكشف عن تقريبات قريبة ويوفر تقديرات للخطأ لكل حالة اختبار. تمثل الرسوم البيانية في كل من 2D و3D السلوكيات الديناميكية لملفات الموجات ومخططات السطح لقيم مختلفة من المعلمات الكسرية، مما يبرز بساطة الطرق وقابليتها للتطبيق على الأنظمة الزمنية غير الخطية المعقدة ذات الصلة بالعمليات الواقعية.
مقدمة
تعتبر معادلات التطور غير الخطية (NLEEs) محورية في نمذجة ظواهر فيزيائية متنوعة عبر مجالات مثل ديناميكا السوائل الجيوفيزيائية، وفيزياء البلازما، والبصريات غير الخطية. تشمل الأمثلة البارزة معادلة كورتويغ-دي فريس غير الخطية (KdV)، المعطاة بواسطة
\[
\Theta_\eta + \Theta_{\vartheta\vartheta\vartheta} – 6\Theta\Theta_\vartheta = 0,
\]
ومعادلة كورتويغ-دي فريس المعدلة (mKdV)،
\[
\Xi_\eta + \Xi_{\vartheta\vartheta\vartheta} – 3\Xi^2\Xi_\vartheta = 0.
\]
تقوم معادلة KdV بنمذجة تفاعلات الموجات الطويلة غير الخطية بشكل ضعيف، بينما تعالج معادلة mKdV، التي تتميز بعدم خطية مكعبة، التفاعلات الأقوى وحلول التنفس في السوائل ذات الطبقتين. يمكن دمج كلا المعادلتين عبر تحويل التشتت العكسي وترتبطان من خلال تحويل ميوارا، الذي يسهل اشتقاق قوانين الحفظ.
أدت التقدمات الحديثة إلى صياغة NLEEs كسرية من خلال دمج المشتقات الكسرية، التي تلتقط بشكل أفضل تأثيرات الذاكرة في العمليات الواقعية. تم استكشاف مجموعة متنوعة من المشتقات الكسرية، بما في ذلك مشتقات كابوتو، كابوتو-فابريزيو، وأتانغانا-بالينو-كابوتو، للتغلب على قيود النماذج التقليدية. تركز هذه الدراسة على استخدام طريقة الاضطراب الهوموتوبي الطبيعي (NHPM) وطريقة تحليل التحويل الهوموتوبي q (q-HATM) لاشتقاق حلول تحليلية للإصدارات الزمنية الكسرية من معادلات KdV المرتبطة ومعادلات KdV-mKdV المرتبطة بكيرستن-كراسيلششيك، والتي تعتبر أساسية لفهم ظواهر الموجات المعقدة في مكونات متعددة تتفاعل.
طرق
تحدد قسم المنهجية أساليب الحل لطريقة التحويل الطبيعي و q-HATM (طريقة تحليل الهوموتوبي الكمي) المطبقة على نظام من المعادلات. تبدأ طريقة التحويل الطبيعي بتحويل المعادلات (15) تحت ظروف ابتدائية محددة، مما يؤدي إلى سلسلة من المعادلات التي تتضمن الدوال $\Theta(ϑ, η)$ و $\Xi(ϑ, η)$. يتم معالجة المعادلات باستخدام خصائص من الأقسام السابقة، مما يؤدي إلى تعبيرات لـ $\Theta(ϑ, η)$ و $\Xi(ϑ, η)$ التي تتضمن مصطلحات المصدر وظروف ابتدائية، ممثلة كـ $M(ϑ, η)$ و $K(ϑ, η)$، على التوالي.
في نهج q-HATM، يتم تطبيق تحويل لابلاس على كلا جانبي النظام (15)، باستخدام خاصية معينة لاشتقاق معادلتين تصفان سلوك $\Theta(ϑ, η)$ و $\Xi(ϑ, η)$. تبرز هذه المعادلات تأثير مصطلحات المصدر وظروف الابتداء على الحلول. تؤكد المنهجية على التطبيق المنهجي للتحويلات والخصائص لاشتقاق الحلول، التي يتم التعبير عنها كامتدادات سلسلة لكل من الدالتين، مما يشير إلى نهج منظم لحل النظام المعقد من المعادلات.
نتائج
تناقش قسم النتائج الحلول التقريبية لأنظمة TF-cKdV و TF-KK-cKdV-mKdV، المستمدة باستخدام تقنيتين هجينتين للتحويل تدمج المشتقات الكسرية بمعنى ABC. يتم تقديم الحلول بشكل منهجي في جداول لمجموعة متنوعة من الإحداثيات المكانية والزمنية، مع اختلافات في مؤشر الترتيب الكسري. توضح التمثيلات المرئية، بما في ذلك المحاكاة ثنائية وثلاثية الأبعاد، الحلول التحليلية. بالنسبة للمشكلة 1، تقارن الجداول 1 و 2 الحلول الدقيقة لـ $\Theta(\vartheta, \eta)$ و $\Xi(\vartheta, \eta)$ مع تلك التي تم الحصول عليها عبر طريقة الاضطراب الهوموتوبي ناغومو (NHPM) وطريقة تحليل التحويل الهوموتوبي q (q-HATM). يتم أيضًا الإبلاغ عن الأخطاء المطلقة عند $\rho = 1$، مما يظهر أن تقديرات الخطأ من كلا التقنيتين تتماشى عن كثب مع تلك من طريقة التحلل الطبيعي المشار إليها في [38].
بالنسبة للمشكلة 2، تقدم الجداول 3 و 4 بالمثل مقارنات للحلول الدقيقة مقابل نتائج NHPM و q-HATM، جنبًا إلى جنب مع الأخطاء المطلقة الخاصة بها. توفر الأشكال 5 إلى 8 رؤى بصرية إضافية، بما في ذلك ملفات تعريف ثنائية الأبعاد وتمثيلات ثلاثية الأبعاد للحلول، مما يبرز سلوك التقارب مع اقتراب مؤشر الترتيب الكسري من 1. من الجدير بالذكر أن حلول q-HATM تظهر تقاربًا أسرع بسبب المصطلح $(1/n) \kappa$. بشكل عام، تشير النتائج إلى أن كل من NHPM و q-HATM تحقق دقة متطابقة تقريبًا، مما يشير إلى أنه على الرغم من منهجياتهما المختلفة، إلا أنهما تنتجان نتائج قابلة للمقارنة للنماذج قيد التحقيق.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون معادلات كورتويغ-دي فريس (KdV) وكورتويغ-دي فريس المعدلة (mKdV) المرتبطة، مع التركيز بشكل خاص على نظام KK-cKdV-mKdV، الذي له تطبيقات عبر مجالات مختلفة مثل فيزياء البلازما وديناميكا السوائل. يتميز النظام بقابليته للتكامل ووجود حلول موجات منعزلة، مع مساهمات كبيرة من الدراسات السابقة التي تناولت خصائصه الرياضية، بما في ذلك التفردات وقوانين الحفظ. استكشفت التقدمات الحديثة الإصدارات الزمنية الكسرية من هذه المعادلات، باستخدام طرق هجينة مثل طريقة الاضطراب الهوموتوبي الطبيعي (NHPM) وطريقة تحليل التحويل الهوموتوبي q (q-HATM) لاشتقاق حلول تحليلية.
تُبرز NHPM و q-HATM لفعاليتها في حل المعادلات التفاضلية غير الخطية دون الحاجة إلى التقطيع أو افتراضات المعلمات الصغيرة، مما يجعلها مناسبة للأنظمة المعقدة. تنتج هذه الطرق حلول سلسلة متقاربة بسرعة توفر رؤى حول السلوك النوعي للأنظمة قيد الدراسة. ومع ذلك، يتم الاعتراف بالقيود مثل عدم فعاليتها للأنظمة عالية الأبعاد ونقص التحليل الصارم للخطأ. تختتم القسم بتحديد تنظيم الورقة، الذي يتضمن تعريفات للمشتقات الكسرية، ومنهجيات الحل، والمحاكاة العددية للتحقق من الأساليب المقترحة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-44311-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/42135359
Publication Date: 2026-05-14
Author(s): K. Aruna et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this study, two hybrid transform methods, namely the natural homotopy perturbation method (NHPM) and the q-homotopy analysis transform method (q-HATM), are employed to derive analytical solutions for the time-fractional coupled Korteweg-de Vries equations and the time-fractional Kersten-Krasil’shchik coupled KdV-mKdV equations, utilizing the time-fractional Atangana-Baleanu derivative framework. The NHPM integrates the natural transform method with the homotopy perturbation method, while the q-HATM merges the q-homotopy analysis method with the Laplace transform method. Both methodologies utilize an iterative approach to produce rapidly convergent series solutions.
The effectiveness of these methods is demonstrated through various test problems, with numerical results obtained for a fractional order $\rho = 1$. These results are compared to exact solutions, revealing close approximations and providing error estimates for each test case. The graphical representations in both 2D and 3D illustrate the dynamic behaviors of wave profiles and surface plots for different fractional parameter values, highlighting the methods’ simplicity and applicability to complex nonlinear time-fractional systems relevant to real-world processes.
Introduction
Nonlinear evolution equations (NLEEs) are pivotal in modeling various physical phenomena across disciplines such as geophysical fluid dynamics, plasma physics, and nonlinear optics. Notable examples include the nonlinear Korteweg-de Vries (KdV) equation, given by
\[
\Theta_\eta + \Theta_{\vartheta\vartheta\vartheta} – 6\Theta\Theta_\vartheta = 0,
\]
and the modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation,
\[
\Xi_\eta + \Xi_{\vartheta\vartheta\vartheta} – 3\Xi^2\Xi_\vartheta = 0.
\]
The KdV equation models weakly nonlinear long wave interactions, while the mKdV equation, characterized by cubic nonlinearity, addresses stronger interactions and breather solutions in two-layer fluids. Both equations are integrable via the inverse scattering transform and are interconnected through the Miura transformation, which facilitates the derivation of conservation laws.
Recent advancements have led to the formulation of fractional NLEEs by incorporating fractional derivatives, which better capture memory effects in real-world processes. Various fractional derivatives, including the Caputo, Caputo-Fabrizio, and Atangana-Baleanu-Caputo derivatives, have been explored to overcome limitations of traditional models. This study focuses on employing the natural homotopy perturbation method (NHPM) and the q-homotopy analysis transform method (q-HATM) to derive analytical solutions for the time-fractional versions of the coupled KdV equations and the Kersten-Krasil’shchik coupled KdV-mKdV equations, which are essential for understanding complex wave phenomena in multiple interacting components.
Methods
The methodology section outlines the solution approaches for the natural transform and the q-HATM (quantum Homotopy Analysis Transform Method) applied to a system of equations. The natural transform method begins with the transformation of equations (15) under specified initial conditions, leading to a series of equations involving functions $\Theta(ϑ, η)$ and $\Xi(ϑ, η)$. The equations are manipulated using properties from previous sections, resulting in expressions for $\Theta(ϑ, η)$ and $\Xi(ϑ, η)$ that incorporate source terms and initial conditions, represented as $M(ϑ, η)$ and $K(ϑ, η)$, respectively.
In the q-HATM approach, the Laplace transform is applied to both sides of the system (15), utilizing a specific property to derive two equations that describe the behavior of $\Theta(ϑ, η)$ and $\Xi(ϑ, η)$. These equations highlight the influence of the source terms and the initial conditions on the solutions. The methodology emphasizes the systematic application of transforms and properties to derive solutions, which are expressed as series expansions for both functions, indicating a structured approach to solving the complex system of equations.
Results
The results section discusses the approximate solutions for the TF-cKdV and TF-KK-cKdV-mKdV systems, derived using two hybrid transform techniques that incorporate fractional derivatives in the ABC sense. The solutions are systematically presented in tables for various spatial and temporal coordinates, with variations in the fractional order index. Visual representations, including 2D and 3D simulations, illustrate the analytical solutions. For Problem 1, Tables 1 and 2 compare the exact solutions for $\Theta(\vartheta, \eta)$ and $\Xi(\vartheta, \eta)$ with those obtained via the Nagumo Homotopy Perturbation Method (NHPM) and the q-Homotopy Analysis Transform Method (q-HATM). The absolute errors at $\rho = 1$ are also reported, demonstrating that the error estimates from both techniques closely align with those from the natural decomposition method referenced in [38].
For Problem 2, Tables 3 and 4 similarly present comparisons of exact solutions against NHPM and q-HATM results, along with their respective absolute errors. Figures 5 through 8 provide additional visual insights, including 2D profiles and 3D representations of the solutions, highlighting the convergence behavior as the fractional order index approaches 1. Notably, the q-HATM solutions exhibit a more rapid convergence due to the term $(1/n) \kappa$. Overall, the findings indicate that both NHPM and q-HATM yield nearly identical accuracy, suggesting that despite their distinct methodologies, they produce comparable results for the models under investigation.
Discussion
In this section, the authors discuss the coupled Korteweg-de Vries (KdV) and modified KdV (mKdV) equations, particularly focusing on the KK-cKdV-mKdV system, which has applications across various fields such as plasma physics and fluid dynamics. The system is characterized by its integrability and the existence of solitary wave solutions, with significant contributions from previous studies addressing its mathematical properties, including singularities and conservation laws. Recent advancements have explored time-fractional versions of these equations, employing hybrid methods like the homotopy perturbation method (NHPM) and the q-homotopy analysis transform method (q-HATM) to derive analytical solutions.
The NHPM and q-HATM are highlighted for their effectiveness in solving nonlinear differential equations without requiring discretization or small-parameter assumptions, making them suitable for complex systems. These methods yield rapidly convergent series solutions that provide insights into the qualitative behavior of the systems under study. However, limitations such as their ineffectiveness for high-dimensional systems and lack of rigorous error analysis are acknowledged. The section concludes by outlining the organization of the paper, which includes definitions of fractional derivatives, solution methodologies, and numerical simulations to validate the proposed approaches.