DOI: https://doi.org/10.28924/2291-8639-23-2025-129
تاريخ النشر: 2025-05-26
المؤلف: T. Alzkari وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه المقالة، يقدم المؤلفون تحديثًا حول طريقة الوظيفة المساعدة المثلى (OAFM)، التي تستخدم مشغل المشتق الكسرية كابوتو (FOAFM) لمعالجة معادلات التفاضل من الرتبة الكسرية. يتم التحقق من كفاءة الطريقة وموثوقيتها من خلال تطبيقها على نماذج العرض المتساوي المعدلة (MEW).
تدرس الدراسة بشكل خاص النماذج الزمنية الكسرية لمعادلات الموجات ذات العرض المتساوي (EW) وMEW باستخدام OAFM. يبرز المؤلفون أن النهج المقترح بسيط وسهل الفهم. لإظهار فعاليته، تم حل مشكلتين اختباريتين، مع نتائج المحاكاة التي تشير إلى أن OAFM يقترب بشكل كبير من الحلول المثالية لمعادلات الرتبة الكسرية مقارنة بنظيراتها من الرتبة الصحيحة. تشير النتائج إلى أن هذه الطريقة قابلة للتطبيق على كل من الحلول العددية والتحليلية لمعادلات التفاضل الجزئي الكسرية، مما يجعلها ذات صلة لمجموعة متنوعة من التطبيقات العلمية والهندسية.
مقدمة
تسلط المقدمة الضوء على الاهتمام المتزايد في معادلات التقييم الكسرية على مدار العقد الماضي، مدفوعًا بتطبيقاتها المتنوعة في المجالات العلمية والتكنولوجية. أثبتت المعادلات الزمنية الكسرية فعاليتها في نمذجة ظواهر فيزيائية مختلفة ومعالجة مشاكل معقدة عبر تخصصات مثل اللدونة المرنة، وعلم الأحياء الرياضي، وميكانيكا السوائل. من الجدير بالذكر أن المشتق الكسرية كابوتو قد تم تحديده كأداة فعالة بشكل خاص لحل المشاكل الزمنية الكسرية، حيث يحتفظ بالمعلمات الأولية التي غالبًا ما تكون غائبة في نماذج أخرى. تشير الأدبيات إلى أن حساب التفاضل الكسر يمكن أن ينتج نماذج تركيبية أكثر معنى مقارنة بالطرق التقليدية.
تناقش هذه الفقرة أيضًا دور المعادلات غير الخطية من الرتبة الكسرية في وصف العمليات المعقدة في ميكانيكا السوائل، وفيزياء الحالة الصلبة، وفيزياء البلازما، من بين أمور أخرى. تذكر تقنيات مختلفة يستخدمها الباحثون لمواجهة معادلات التفاضل الكسرية غير الخطية، بما في ذلك استراتيجية تحليل أدوماين وطرق الاضطراب. تقدم الدراسة طريقة الوظيفة المساعدة المثلى الكسرية (FAOFM) وطريقة التماثل المثلى (OHAM)، التي تظهر تقاربًا سريعًا نحو الحلول الفعلية. تم هيكلة المخطوطة لتوفير حساب كسر أساسي، وتفصيل نظرية FAOFM، وتقييم الطريقة المقترحة في سياق النماذج الزمنية الكسرية، مع الانتهاء من ملخص للنتائج.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطبيق طريقة الوظيفة المساعدة المثلى (OAFM) على معادلات الموجات ذات العرض المتساوي (EW) وذات العرض المتساوي المعدل (MEW)، باستخدام المشتق الكسرية كابوتو. تشير النتائج إلى أن الحلول من الرتبة الأولى المستمدة من هذه الطريقة تقترب بشكل كبير من الحلول الدقيقة للنماذج، مما يظهر تحسنًا كبيرًا مقارنة بطرق الحل التقليدية. من الجدير بالذكر أن الطريقة تظهر تقاربًا سريعًا مع اقتراب الرتبة الكسرية من القيم الصحيحة، مما يثبت فعاليتها عبر مختلف الرتب الكسرية.
تؤكد الأبحاث على بساطة ووضوح النهج المقترح، الذي تم تطبيقه على مشكلتين اختباريتين. تكشف النتائج، المدعومة برسوم بيانية للمحاكاة، أن OAFM ينتج حلولًا قريبة بشكل ملحوظ من الحلول الدقيقة لكل من معادلات EW وMEW. وهذا يشير إلى أن الطريقة ليست فعالة فقط في حل معادلات التفاضل الجزئي الكسرية ولكن لديها أيضًا تطبيقات محتملة في سياقات علمية وهندسية أوسع. بشكل عام، تبرز الدراسة قدرة OAFM على تقديم حلول دقيقة وفعالة لمشاكل الرتبة الكسرية المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.28924/2291-8639-23-2025-129
Publication Date: 2025-05-26
Author(s): T. Alzkari et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this article, the authors present an update on the optimal auxiliary function method (OAFM), which employs the Caputo fractional derivative operator (FOAFM) to address fractional order differential equations. The method’s efficiency and reliability are validated through its application to modified equal-width models (MEW).
The study specifically investigates the time-fractional models of the equal-width (EW) and MEW wave equations using OAFM. The authors highlight that the proposed approach is straightforward and comprehensible. To demonstrate its effectiveness, two test problems were solved, with simulation results indicating that the OAFM closely approximates the ideal solutions for fractional-order equations compared to their integer-order counterparts. The findings suggest that this method is applicable to both numerical and analytical solutions of fractional partial differential equations, making it relevant for various scientific and engineering applications.
Introduction
The introduction highlights the growing interest in fractional assessment equations over the past decade, driven by their diverse applications in scientific and technological fields. Time-fractional equations have proven effective in modeling various physical phenomena and addressing complex problems across disciplines such as viscoelasticity, mathematical biology, and fluid mechanics. Notably, the fractional Caputo derivative has been identified as a particularly efficient tool for solving time-fractional problems, as it retains initial parameters often absent in other models. The literature suggests that fractional calculus can yield more meaningful synthetic models compared to traditional methods.
The section further discusses the role of fractional-order nonlinear equations in describing complex processes in fluid mechanics, solid-state physics, and plasma physics, among others. It mentions various techniques employed by researchers to tackle nonlinear fractional differential equations, including the Adomian decomposition strategy and perturbation methods. The study introduces the fractional optimal auxiliary function method (FAOFM) and the Optimal Homotopy Asymptotic Method (OHAM), which demonstrate rapid convergence to actual solutions. The manuscript is structured to provide foundational fractional computation, detail the FAOFM theory, and evaluate the proposed method in the context of time-fractional models, concluding with a summary of findings.
Discussion
In this section, the authors discuss the application of the Optimal Auxiliary Function Method (OAFM) to the Equal Width (EW) and Modified Equal Width (MEW) wave equations, utilizing the Caputo fractional derivative. The findings indicate that the first-order solutions derived from this method closely approximate the exact solutions of the models, demonstrating a significant improvement over traditional series solution methods. Notably, the method exhibits rapid convergence as the fractional order approaches integer values, validating its effectiveness across various fractional orders.
The research emphasizes the simplicity and clarity of the proposed approach, which was applied to two test problems. The results, supported by simulation graphs, reveal that the OAFM yields solutions that are remarkably close to the exact solutions for both the EW and MEW equations. This suggests that the method is not only effective for solving fractional partial differential equations but also has potential applications in broader scientific and engineering contexts. Overall, the study highlights the OAFM’s capability to provide accurate and efficient solutions to complex fractional-order problems.