DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026371
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Doha A. Abulhamil
الموضوع الرئيسي: نظرية النقاط الثابتة والتحليل
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يثبت المؤلف وجود ونوعية النقاط الثابتة داخل فضاءات b-metric الممتدة الكاملة، وخاصة بالنسبة لتقلصات كانان وتشاترجي في سياق ذو قيمة واحدة. تسهم النتائج في فهم نظرية النقاط الثابتة من خلال إثبات أن هذه التقلصات تنتج نقاط ثابتة محددة بشكل جيد تحت الظروف المحددة.
بالإضافة إلى ذلك، تمتد الورقة إلى تحليل الإعدادات متعددة القيم، مثبتة وجود نقاط ثابتة لتقلصات من نوع نادلر وكانان في فضاءات b-metric الممتدة الكاملة. تعزز هذه النتائج الإطار النظري المحيط بالنقاط الثابتة في هياكل رياضية متنوعة، مقدمة رؤى قيمة لمزيد من البحث في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث أهمية نظرية النقاط الثابتة في التحليل الرياضي، مع التأكيد على دورها الحاسم في تحديد الوجود، والنوعية، والاستقرار للحلول عبر نماذج رياضية متنوعة. تعتبر تقنيات النقاط الثابتة ذات قيمة خاصة في تحويل المعادلات التفاضلية والتكاملية إلى معادلات مشغل، مما يسهل قابليتها للحل ضمن أطر وظيفية مناسبة. تمتد تطبيقات هذه التقنيات إلى مجموعة من المشكلات، بما في ذلك المعادلات التفاضلية الاندفاعية ومشكلات القيمة الحدية، حيث تعتبر مبادئ النقاط الثابتة من نوع التقلص أساسية في ضمان القابلية للحل وتقارب الطرق التكرارية.
لقد وسعت التطورات الأخيرة من قابلية تطبيق نظرية النقاط الثابتة إلى ما هو أبعد من الفضاءات المترية التقليدية، وخاصة من خلال استكشاف الهياكل المترية العامة وظروف التقلص المريحة. ومن الجدير بالذكر أن فضاءات b-metric قد ظهرت كعمومية مرنة للفضاءات المترية، مع الحفاظ على خصائص التقارب الأساسية بينما تسمح بهيكل مسافة أكثر تنوعًا. تبرز الورقة المساهمات المهمة في هذا المجال، مثل عمل كوليفا وزلاتانوف على تقلصات من نوع تشاترجي في فضاءات b-metric الكاملة، ودراسات هونغ حول الخرائط غير التوسعية العامة، والتي تمتد مجتمعة مبادئ النقاط الثابتة الكلاسيكية وتثري المشهد النظري. تختتم المقدمة بتعريف فضاءات b-metric وتوضيح أهميتها من خلال أمثلة، مما يمهد الطريق لمزيد من استكشاف مشكلات النقاط الثابتة في هذا السياق العام.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون خصائص وآثار فضاءات b-metric الممتدة، وخاصة فيما يتعلق بنظريات النقاط الثابتة. يبرزون أنه عندما يكون المعامل \( p > 1 \)، فإن المسافة المعرفة تلتزم بمسألة مثلث الكلاسيكية، مما يشكل فضاءً متريًا قياسيًا، مما يجعل إطار b-metric العام غير قابل للتطبيق. يشير المؤلفون إلى المساهمات المهمة في هذا المجال، بما في ذلك نظرية النقاط الثابتة لباناش لفضاءات b-metric وتقديم فضاءات b-metric الممتدة من قبل كامران وآخرين في عام 2017. يعرفون فضاء b-metric الممتد كزوج \( (V, \delta_\theta) \) الذي يلبي شروطًا محددة، بما في ذلك التماثل ومثلث عام.
يستعرض المؤلفون أيضًا مفهوم فضاءات b-metric الممتدة من خلال أمثلة وتعريفات، بما في ذلك معايير التقارب والكمال. يثبتون وجود ونوعية النقاط الثابتة للخرائط التي تلبي شروط تقلص كانان وتشاترجي ضمن هذه الفضاءات. يختتم القسم بتقديم نظريات تمتد النتائج الكلاسيكية إلى سياق فضاءات b-metric الممتدة، مما يوضح القابلية الأوسع لهذه المفاهيم في التحليل الرياضي، وخاصة بالنسبة للخرائط متعددة القيم. تؤكد النتائج على أهمية إطار b-metric الممتد في تعزيز نظرية النقاط الثابتة وإمكاناتها عبر مختلف التخصصات الرياضية.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026371
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Doha A. Abulhamil
Primary Topic: Fixed Point Theorems Analysis
Overview
In this study, the author establishes the existence and uniqueness of fixed points within complete extended b-metric spaces specifically for Kannan and Chatterjea contractions in a single-valued context. The findings contribute to the understanding of fixed point theory by demonstrating that these contractions yield well-defined fixed points under the specified conditions.
Additionally, the paper extends the analysis to multi-valued settings, proving the existence of fixed points for Nadler and Kannan-type contractions in complete extended b-metric spaces. These results enhance the theoretical framework surrounding fixed points in various mathematical structures, offering valuable insights for further research in the field.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the significance of fixed-point theory in mathematical analysis, emphasizing its crucial role in determining the existence, uniqueness, and stability of solutions across various mathematical models. Fixed-point techniques are particularly valuable for transforming differential and integral equations into operator equations, facilitating their solvability within suitable functional frameworks. The application of these techniques spans a range of problems, including impulsive differential equations and boundary value problems, where contraction-type fixed-point principles are instrumental in ensuring solvability and convergence of iterative methods.
Recent advancements have broadened fixed-point theory’s applicability beyond traditional metric spaces, particularly through the exploration of generalized metric structures and relaxed contractive conditions. Notably, b-metric spaces have emerged as a flexible generalization of metric spaces, maintaining essential convergence properties while allowing for a more versatile distance structure. The paper highlights significant contributions to the field, such as the work of Koleva and Zlatanov on Chatterjea-type contractions in complete b-metric spaces, and Hong’s studies on generalized non-expansive mappings, which collectively extend classical fixed-point principles and enrich the theoretical landscape. The introduction concludes by defining b-metric spaces and illustrating their relevance through examples, thereby setting the stage for further exploration of fixed-point problems in this generalized context.
Discussion
In this section, the authors discuss the properties and implications of extended b-metric spaces, particularly in relation to fixed-point theorems. They highlight that when the parameter \( p > 1 \), the distance defined adheres to the classical triangle inequality, thus forming a standard metric space, which renders the generalized b-metric framework inapplicable. The authors reference significant contributions to the field, including Banach’s fixed-point theorem for b-metric spaces and the introduction of extended b-metric spaces by Kamran et al. in 2017. They define an extended b-metric space as a pair \( (V, \delta_\theta) \) that satisfies specific conditions, including symmetry and a generalized triangle inequality.
The authors further illustrate the concept of extended b-metric spaces through examples and definitions, including convergence and completeness criteria. They establish the existence and uniqueness of fixed points for mappings that satisfy Kannan and Chatterjea contraction conditions within these spaces. The section culminates in the presentation of theorems that extend classical results to the context of extended b-metric spaces, demonstrating the broader applicability of these concepts in mathematical analysis, particularly for multi-valued mappings. The findings underscore the significance of the extended b-metric framework in advancing fixed-point theory and its potential applications across various mathematical disciplines.