DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026224
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Ekber Girgin وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية النقاط الثابتة والتحليل
نظرة عامة
تقدم الدراسة فضاءات المترية التداخلية (IMS) المتحكم بها (α، c) كامتداد للأطر التداخلية الحالية، مع التركيز على خصائصها التحليلية وتطبيقها على نتائج النقاط الثابتة من نوع باناش. من خلال استخدام هذه البنية المترية الجديدة، يقوم المؤلفون ببناء مشغل نقطة ثابتة داخل فضاء باناش \( C([0، T]؛ \mathbb{R}^3) \) لتحليل نموذج الجاذب تشين من رتبة كسرية المحدد بواسطة مشتق أتانغانا-باليانو-كابوتو (ABC). تؤسس البحث شروط انكماش كافية تضمن وجود وحيدة الحلول، موضحة من خلال المحاكاة أن الصيغة العددية المقترحة تظهر حساسية محسنة وسلوك فوضوي أغنى مقارنة بالنماذج التقليدية ذات الرتبة الصحيحة.
الهدف الرئيسي من هذا العمل هو تقديم (α، c)-IMS المتحكم بها، والتي تتضمن دالة تحكم، مما يوفر إطارًا تحليليًا متعدد الاستخدامات لفحص خرائط الانكماش ونتائج النقاط الثابتة مع افتراضات أقل صرامة من تلك الخاصة بالفضاءات المترية الكلاسيكية. يثبت تطبيق نظرية النقطة الثابتة من نوع باناش التناسق الداخلي وفائدة هذه الفضاء المترية الجديدة. ومن الجدير بالذكر أن النتائج تؤكد أن إطار (α، c)-IMS المتحكم به لا يسهل فقط وجود وحيدة الحلول التوازنية لنموذج الجاذب تشين من رتبة كسرية، بل يقدم أيضًا نهجًا بنائيًا لتحليل الاستقرار والديناميات الفوضوية للأنظمة الكسرية غير الخطية. يمثل دمج مفهوم المترية الجديدة مع نظام تشين تقدمًا كبيرًا في التحليل الديناميكي الكسر.
مقدمة
تحدد المقدمة الدور الأساسي لنظرية النقاط الثابتة المترية في مجالات مختلفة، مع التأكيد على أهمية نظرية خرائط الانكماش لباناش، التي توفر طريقة لإثبات وجود وحيدة النقاط الثابتة في الفضاءات المترية الكاملة. لقد حفزت هذه النظرية تطوير هياكل مترية عامة، مثل فضاءات المترية b وفضاءات المترية b الممتدة، التي تخفف القيود التقليدية وتوسع تطبيق نظرية النقاط الثابتة. لقد وسعت التطورات الأخيرة، بما في ذلك مفهوم فضاءات المترية التداخلية، الإطار النظري بشكل أكبر، مما يسمح باستكشاف الخرائط ذات السلوك الانكماشي الأضعف.
بالإضافة إلى ذلك، تسلط المقدمة الضوء على جاذب تشين، وهو نموذج بارز في الديناميات غير الخطية ونظرية الفوضى، والذي يظهر ديناميات معقدة تختلف عن جاذب لورينز. كشفت الدراسات الأخيرة عن السلوك الفوضوي لجاذب تشين في فضاءات مشتقة مختلفة، مما يبرز أهميته في أبحاث الفوضى. تختتم هذه الفقرة بتعريف مفهوم فضاء المترية التداخلية $(α، c)$، الذي يوسع الهياكل التقليدية للمسافة تحت ظروف انكماش أضعف، ويقدم نتيجة انكماش باناش المقابلة، مما يمهد الطريق لمزيد من التحليل في هذا المشهد النظري الغني.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون فضاء المترية التداخلية المتحكم بها $(α، c)$-IM المسمى $(\mathcal{Y}، C_\mu)$، الذي يوسع $(α، c)$-IM المحدد مسبقًا من خلال دمج دالة تحكم $\mu$. يسمح هذا التعديل بتحليل فئة أوسع من الخرائط الانكماشية، مما يسهل إقامة نظريات النقاط الثابتة من نوع باناش في إطار أكثر مرونة. تشمل النتائج الرئيسية الاقتراح 2.1، الذي يظهر أنه إذا كانت $\mu \equiv 1$، فإن $(\mathcal{Y}، C_\mu)$ يحتفظ بخصائص $(α، c)$-IM، والاقتراح 2.2، الذي يوضح أن وجود دالة $\theta$ التي تلبي شروط معينة يؤدي إلى تصنيف $(\mathcal{Y}، C_\mu)$ كـ $(α، c)$-IM الممتد.
يحدد القسم أيضًا تسلسلات كوشي والتقارب ضمن $(α، c)$-IM المتحكم بها، مما يضع معايير الاكتمال. ومن الجدير بالذكر أن المؤلفين يقدمون أمثلة توضح تطبيق إطارهم، بما في ذلك حالة محددة حيث تكون $\mathcal{Y}$ هي مجموعة الأعداد الطبيعية و$C_\mu$ محددة بواسطة $C_\mu(x، y) = (x – y)^2$. يختتم المؤلفون بإثبات نتيجة انكماش من نوع باناش، مما يضمن وجود وحيدة النقاط الثابتة للخرائط الانكماشية المناسبة المعرفة على $(\mathcal{Y}، C_\mu)$، مما يعزز قوة مساهماتهم النظرية.
المناقشة
في هذا القسم من المناقشة، يثبت المؤلفون أن أي خريطة ذاتية تلبي شرط الانكماش ضمن $(α، c)$-IMS المتحكم بها الكاملة تضمن وجود وحيدة نقطة توازن مستقرة، تُفسر كنقطة ثابتة. يربط هذا الإطار النظري بفعالية نظرية النقاط الثابتة المجردة بالتطبيقات العملية، لا سيما في تحليل استقرار الأنظمة الكسرية غير الخطية. يطبق المؤلفون هذا الإطار على جاذب تشين من رتبة كسرية الذي تحكمه مشتق أتانغانا-باليانو، مما يوضح فائدته في التحقيق في الأنظمة الكسرية الفوضوية.
يعيد المؤلفون صياغة نظام تشين في شكل تكاملي مناسب لتحليل النقاط الثابتة، باستخدام مشتق أتانغانا-باليانو-كابوتو. يستخرجون صيغة تكرارية لتقريب الحلول ويضعون شرط انكماش يضمن حسن التوافق المحلي للنظام. يتم استكشاف هيكل القبول من خلال المحاكاة العددية، مما يكشف أن التغيرات في الرتبة الكسرية تؤثر على الميزات الكمية للجاذب مع الحفاظ على هيكله النوعي. تؤكد النتائج فعالية $(α، c)$-IMS المتحكم بها في توفير إطار تحليلي قوي لدراسة ديناميات الأنظمة الكسرية غير الخطية وتقترح سبلًا للبحث المستقبلي، بما في ذلك توسيعه إلى الإعدادات العشوائية وأنظمة فوضوية أخرى.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026224
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Ekber Girgin et al.
Primary Topic: Fixed Point Theorems Analysis
Overview
The study introduces controlled (α, c)-interpolative metric spaces (IMS) as an extension of existing interpolative frameworks, focusing on their analytical properties and their application to Banach-type fixed-point results. By employing this new metric structure, the authors construct a fixed-point operator within the Banach space \( C([0, T]; \mathbb{R}^3) \) to analyze the fractional-order Chen attractor model defined by the Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) derivative. The research establishes sufficient contraction conditions that guarantee the existence and uniqueness of solutions, demonstrating through simulations that the proposed numerical formulation exhibits enhanced sensitivity and richer chaotic behavior compared to traditional integer-order models.
The primary objective of this work is to present the controlled (α, c)-IMS, which incorporates a control function, thereby providing a versatile analytical framework for examining contraction mappings and fixed-point results with less stringent assumptions than those of classical metric spaces. The application of the Banach-type fixed-point theorem validates the internal consistency and utility of this new metric space. Notably, the findings confirm that the controlled (α, c)-IMS framework not only facilitates the existence and uniqueness of equilibrium solutions for the fractional-order Chen attractor but also offers a constructive approach for analyzing the stability and chaotic dynamics of nonlinear fractional systems. This integration of the new metric concept with the Chen system represents a significant advancement in fractional dynamical analysis.
Introduction
The introduction outlines the foundational role of metric fixed-point theory in various fields, emphasizing the significance of the Banach contraction mapping theorem, which provides a method for establishing the existence and uniqueness of fixed points in complete metric spaces. This theorem has catalyzed the development of generalized metric structures, such as b-metric spaces and extended b-metric spaces, which relax traditional constraints and broaden the applicability of fixed-point theory. Recent advancements, including the concept of interpolative metric spaces, have further expanded the theoretical framework, allowing for the exploration of mappings with weaker contractive behavior.
Additionally, the introduction highlights the Chen attractor, a prominent model in nonlinear dynamics and chaos theory, which exhibits complex dynamics distinct from the Lorenz attractor. Recent studies have revealed the chaotic behavior of the Chen attractor in various derivative spaces, underscoring its relevance in chaos research. The section concludes by formalizing the concept of an $(\alpha, c)$-interpolative metric space, which extends classical distance structures under weaker contractive conditions, and presents a corresponding Banach contraction result, thereby setting the stage for further analysis in this enriched theoretical landscape.
Results
In this section, the authors introduce a controlled $(\alpha, c)$-interpolative metric space (IM) denoted as $(\mathcal{Y}, C_\mu)$, which extends the previously defined $(\alpha, c)$-IM by incorporating a control function $\mu$. This modification allows for a broader class of contractive mappings to be analyzed, facilitating the establishment of Banach-type fixed-point theorems in a more flexible framework. The key results include Proposition 2.1, which shows that if $\mu \equiv 1$, then $(\mathcal{Y}, C_\mu)$ retains the properties of an $(\alpha, c)$-IM, and Proposition 2.2, which demonstrates that the existence of a function $\theta$ that satisfies certain conditions leads to the classification of $(\mathcal{Y}, C_\mu)$ as an extended $(\alpha, c)$-IM.
The section further defines Cauchy sequences and convergence within the controlled $(\alpha, c)$-IM, establishing completeness criteria. Notably, the authors provide examples illustrating the application of their framework, including a specific case where $\mathcal{Y}$ is the set of natural numbers and $C_\mu$ is defined by $C_\mu(x, y) = (x – y)^2$. The authors conclude by proving a Banach-type contraction result, ensuring the existence and uniqueness of fixed points for suitable contraction mappings defined on $(\mathcal{Y}, C_\mu)$, thereby reinforcing the robustness of their theoretical contributions.
Discussion
In this discussion section, the authors establish that any self-mapping satisfying the contractive condition within a complete, controlled $(\alpha, c)$-IMS guarantees the existence and uniqueness of a stable equilibrium point, interpreted as a fixed-point. This theoretical framework effectively connects abstract fixed-point theory with practical applications, particularly in analyzing the stability of nonlinear fractional systems. The authors apply this framework to the fractional-order Chen attractor governed by the Atangana-Baleanu derivative, demonstrating its utility in investigating chaotic fractional systems.
The authors reformulate the Chen system into an integral form suitable for fixed-point analysis, utilizing the Atangana-Baleanu-Caputo derivative. They derive a recursive formulation for approximating solutions and establish a contraction condition that ensures the local well-posedness of the system. The admissibility structure is explored through numerical simulations, revealing that variations in the fractional order affect the quantitative features of the attractor while preserving its qualitative structure. The findings underscore the effectiveness of the controlled $(\alpha, c)$-IMS in providing a robust analytical framework for studying the dynamics of nonlinear fractional systems and suggest avenues for future research, including its extension to stochastic settings and other chaotic systems.