DOI: https://doi.org/10.19139/soic-2310-5070-3255
تاريخ النشر: 2026-01-18
المؤلف: Abdelali Ezzebsa وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون توزيع Square New XLindley (SNXL)، وهو نموذج عمر ذو معلمة واحدة مستمد من تحويل مربع لتوزيع New XLindley (NXL). تم تصميم توزيع SNXL لنمذجة البيانات المائلة إيجابياً بفعالية مع معدل فشل متزايد، وهو شائع في سياقات الموثوقية وقوة المواد. تتناول الورقة خصائص إحصائية متنوعة لتوزيع SNXL، بما في ذلك اللحظات، وظائف الكمية، الترتيب العشوائي، وخصائص الموثوقية الضبابية. يتم فحص طرق تقدير المعلمات مثل تقدير الاحتمالية القصوى (MLE)، تقدير الحد الأقصى لمنتج الفجوات (MPSE)، وتقدير المربعات الصغرى الموزونة (WLSE)، مع دراسة محاكاة مونت كارلو التي توضح اتساق وأداء المقدرات، مع تسليط الضوء بشكل خاص على مزايا MLE وMPSE لأحجام العينات الأكبر.
تم التحقق من التطبيق العملي لتوزيع SNXL من خلال تحليلات لمجموعات بيانات هندسية وبيولوجية حقيقية، حيث تفوق على عدة نماذج منافسة بناءً على معايير مثل معيار معلومات أكايك (AIC) ومعيار معلومات بايزي (BIC). تشير النتائج إلى أن نموذج SNXL فعال بشكل خاص للبيانات التي تتميز بمعدلات خطر أحادية الاتجاه، مما يجعله بديلاً قيمًا في تحليل البقاء. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية تطوير إصدارات متعددة المعلمات من توزيع SNXL، وبناء نماذج انحدار تتضمن معلومات متغيرة، واستكشاف تقنيات الاستدلال بايزي، وتوسيع النموذج ليأخذ في الاعتبار هياكل البيانات المعتمدة. بشكل عام، يقدم توزيع SNXL خيارًا مقتصدًا وقابلًا للتحليل ضمن نماذج العمر من نوع ليندلي، مما يمهد الطريق لمزيد من الأبحاث النظرية والتطبيقية.
مقدمة
تسلط مقدمة الورقة الضوء على أهمية نمذجة البيانات الإيجابية والمائلة ضمن مجالات متنوعة مثل نظرية الموثوقية، تحليل البقاء، العلوم الاكتوارية، والهندسة. بينما تعتبر التوزيعات العمرية الكلاسيكية مثل النماذج الأسية، وويبول، وليندلي شائعة بسبب بساطتها التحليلية، إلا أنها غالبًا ما تفشل في تمثيل الخصائص التجريبية للبيانات الحقيقية بدقة، خاصة تلك التي تظهر ذيولًا صحيحة متوسطة إلى ثقيلة، ومعدلات خطر غير خطية، وأشكال كثافة مميزة بعيدة عن الأصل. لقد حظي توزيع ليندلي وامتداداته باهتمام بسبب مرونته وقابليته للتفسير، مما أدى إلى تطوير عدة تعميمات، بما في ذلك توزيع ليندلي شبه، وليندلي غاما، وزغدودي، وXLindley، وNew XLindley (NXL). ومع ذلك، تتضمن العديد من هذه النماذج معلمات متعددة، مما يعقد التقدير ويزيد من خطر الإفراط في التخصيص، خاصة مع أحجام العينات المتوسطة.
تم توضيح هيكل الورقة، مشيرًا إلى أن القسم 2 سيقدم توزيع SNXL وخصائصه الأساسية، بينما سيتناول القسم 3 خصائصه الإحصائية والموثوقية. سيتم مناقشة مقاييس الموثوقية الضبابية في القسم 4، تليها تقدير المعلمات ونتائج المحاكاة في القسم 5. ستقدم الورقة أيضًا تطبيقات لمجموعات بيانات حقيقية في القسم 6، مختتمة بملاحظات واتجاهات البحث المستقبلية في القسم 7.
مناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون توزيع Square New XLindley (SNXL)، المستمد من توزيع New XLindley (NXL) من خلال تحويل مربع، مما يعزز مرونة الذيل مع الحفاظ على هيكل ذو معلمة واحدة. يتم تعريف دالة كثافة الاحتمال (PDF) على أنها
\[
f_{\text{SNXL}}(t; \beta) = \beta t (\beta t^2 + 1) e^{-\beta t^2}, \quad t > 0, \, \beta > 0.
\]
يعرض هذا التوزيع تمثيلًا مختلطًا يتضمن مكونات ويبول وغاما العامة، مما يسهل اشتقاق خصائص إحصائية متنوعة. يتم إعطاء دالة التوزيع التراكمي (CDF) ودالة البقاء (SF) على النحو التالي
\[
F_{\text{SNXL}}(t; \beta) = 1 – \frac{1}{2} \beta t^2 e^{-\beta t^2}, \quad S_{\text{SNXL}}(t; \beta) = 1 + \frac{1}{2} \beta t^2 e^{-\beta t^2}.
\]
تكون دالة معدل الخطر (HRF) في تزايد صارم، مما يشير إلى أن توزيع SNXL مناسب لنمذجة معدلات الفشل المتزايدة، وهي خاصية مرغوبة في الموثوقية وتحليل البقاء.
يستكشف القسم أيضًا الخصائص الإحصائية لتوزيع SNXL، بما في ذلك سلوكه اللانهائي، واللحظات، والترتيب العشوائي. تظهر دالة PDF أنها أحادية القمة مع قمة فريدة عند \( t_0 = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \)، وتؤكد دالة معدل الخطر خاصية معدل الفشل المتزايد. يتم اشتقاق دالة الكمية باستخدام دالة لامبرت W، ويتم التعبير عن اللحظات من حيث التمثيل المختلط، مما يوفر حلولًا مغلقة للمتوسط والانحراف المعياري. يناقش المؤلفون أيضًا تداعيات هذه الخصائص للتطبيقات العملية، مؤكدين على قابلية تحليل التوزيع ومرونته في التقاط سلوكيات العمر المختلفة. بشكل عام، يتم وضع توزيع SNXL كبديل مقتصد للنماذج الأكثر تعقيدًا، خاصة في السياقات التي يُتوقع فيها معدلات خطر متزايدة.
DOI: https://doi.org/10.19139/soic-2310-5070-3255
Publication Date: 2026-01-18
Author(s): Abdelali Ezzebsa et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
In this paper, the authors introduce the Square New XLindley (SNXL) distribution, a one-parameter lifetime model derived from a square transformation of the New XLindley (NXL) distribution. The SNXL distribution is designed to effectively model positively skewed data with an increasing failure rate, which is prevalent in reliability and materials strength contexts. The paper details various statistical properties of the SNXL distribution, including moments, quantile functions, stochastic ordering, and fuzzy reliability characteristics. Parameter estimation methods such as maximum likelihood estimation (MLE), maximum product of spacings estimation (MPSE), and weighted least squares estimation (WLSE) are examined, with a Monte Carlo simulation study demonstrating the estimators’ consistency and performance, particularly highlighting the advantages of MLE and MPSE for larger sample sizes.
The practical application of the SNXL distribution is validated through analyses of real engineering and biomedical datasets, where it outperformed several competing models based on criteria such as Akaike Information Criterion (AIC) and Bayesian Information Criterion (BIC). The findings suggest that the SNXL model is particularly effective for data characterized by monotone hazard rates, making it a valuable alternative in survival analysis. Future research directions include developing multi-parameter versions of the SNXL distribution, constructing regression models incorporating covariate information, exploring Bayesian inference techniques, and extending the model to account for dependent data structures. Overall, the SNXL distribution offers a parsimonious and analytically tractable option within the Lindley-type lifetime models, paving the way for further theoretical and applied research.
Introduction
The introduction of the paper highlights the significance of modeling positive and skewed data within various fields such as reliability theory, survival analysis, actuarial science, and engineering. While classical lifetime distributions like the exponential, Weibull, and Lindley models are prevalent due to their analytical simplicity, they often fall short in accurately representing the empirical characteristics of real datasets, particularly those exhibiting moderate to heavy right tails, nonlinear hazard rates, and peaked density shapes away from the origin. The Lindley distribution and its extensions have garnered attention for their flexibility and interpretability, leading to the development of several generalizations, including the quasi Lindley, gamma Lindley, Zeghdoudi, XLindley, and New XLindley (NXL) distributions. However, many of these models involve multiple parameters, complicating estimation and increasing the risk of overfitting, especially with moderate sample sizes.
The structure of the paper is outlined, indicating that Section 2 will introduce the SNXL distribution and its fundamental characteristics, while Section 3 will delve into its statistical and reliability properties. Fuzzy reliability measures will be discussed in Section 4, followed by parameter estimation and simulation results in Section 5. The paper will also present applications to real datasets in Section 6, concluding with remarks and future research directions in Section 7.
Discussion
In this section, the authors introduce the Square New XLindley (SNXL) distribution, derived from the New XLindley (NXL) distribution through a square transformation, enhancing tail flexibility while maintaining a single-parameter structure. The probability density function (PDF) is defined as
\[
f_{\text{SNXL}}(t; \beta) = \beta t (\beta t^2 + 1) e^{-\beta t^2}, \quad t > 0, \, \beta > 0.
\]
This distribution exhibits a mixture representation involving Weibull and generalized gamma components, facilitating the derivation of various statistical properties. The cumulative distribution function (CDF) and survival function (SF) are given by
\[
F_{\text{SNXL}}(t; \beta) = 1 – \frac{1}{2} \beta t^2 e^{-\beta t^2}, \quad S_{\text{SNXL}}(t; \beta) = 1 + \frac{1}{2} \beta t^2 e^{-\beta t^2}.
\]
The hazard rate function (HRF) is strictly increasing, indicating that the SNXL distribution is suitable for modeling increasing failure rates, a characteristic desirable in reliability and survival analysis.
The section further explores the statistical properties of the SNXL distribution, including its asymptotic behavior, moments, and stochastic ordering. The PDF is shown to be unimodal with a unique mode at \( t_0 = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \), and the hazard rate function confirms the increasing failure rate property. The quantile function is derived using the Lambert W function, and the moments are expressed in terms of the mixture representation, providing closed-form solutions for mean and variance. The authors also discuss the implications of these properties for practical applications, emphasizing the distribution’s analytical tractability and flexibility in capturing various lifetime behaviors. Overall, the SNXL distribution is positioned as a parsimonious alternative to more complex models, particularly in contexts where increasing hazard rates are expected.