DOI: https://doi.org/10.19139/soic-2310-5070-3164
تاريخ النشر: 2026-04-07
المؤلف: Amit Gangwar وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية النقاط الثابتة والتحليل
نظرة عامة
في هذا القسم، يتناول المؤلفون تأثير أخطاء المسافة على دقة القياس، مشددين على أنه بينما قد تكون الأخطاء الفردية صغيرة، فإن تأثيرها التراكمي يمكن أن يؤدي إلى تفاوتات كبيرة. لمواجهة هذه المشكلة، يقدمون فضاءات S-metric المضطربة ويعرضون تعميماً لنظريات النقاط الثابتة ضمن هذا الإطار. بالإضافة إلى ذلك، يثبتون وجود وحيدة الحلول للمعادلات التفاضلية الضمنية من الرتبة الكسرية القابلة للتشويه.
في الخاتمة، يلخص المؤلفون نتائجهم، مشددين على إثبات نظريات النقاط الثابتة لتقلصات باناش في سياق فضاءات S-metric المضطربة، التي تتأثر بدالة قياس المسافة التجريبية. كما يقدمون أمثلة وتطبيقات تتعلق بالمعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية القابلة للتشويه، موضحين أنه يمكن الحصول على حل فريد عدديًا من خلال حل المعادلة التفاضلية الضمنية المرتبطة.
مقدمة
تسلط مقدمة ورقة البحث الضوء على المساهمات الأساسية لباناش وفريشيت في نظرية النقاط الثابتة وفضاءات القياس، على التوالي. يتم التأكيد على “مبدأ تقلص باناش” لدوره الحاسم في إثبات وجود وحيدة الحلول عبر مختلف البنى الرياضية، بما في ذلك المعادلات التفاضلية والتكاملية. توضح تطورات فضاءات القياس، لا سيما من خلال تقديم فضاءات S-metric بواسطة سيدغي وآخرين في عام 2012 والمفهوم الحديث لفضاءات القياس المضطربة بواسطة جليلي وسامت في عام 2024، التوسع المستمر في هذا المجال. لقد مهدت هذه التقدمات الطريق لنظريات جديدة للنقاط الثابتة ومنهجيات، لا سيما في سياق المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs)، التي يتم التعرف عليها بشكل متزايد لقدرتها على نمذجة الظواهر المعقدة في مجالات متنوعة.
تناقش الورقة أيضًا أهمية المعادلات التفاضلية الكسرية، التي تتضمن مشتقات غير صحيحة، مما يسمح بنمذجة تأثيرات الذاكرة والانتشار الشاذ الذي لا يمكن للنماذج التقليدية التقاطه بشكل كافٍ. يشير المؤلفون إلى أن مجموعة كبيرة من الأبحاث قد ركزت على وجود وحيدة واستقرار الحلول للمعادلات التفاضلية الكسرية، مما يساهم في إطار نظري قوي لتطبيقها. في ضوء هذه التطورات، تقترح الورقة تقديم فضاء S-metric مضطرب وتعرف تقلصًا من نوع باناش ضمن هذا السياق. يهدف المؤلفون إلى إثبات نتائج النقاط الثابتة لهذا التقلص، مما يثبت في النهاية وجود وحيدة الحلول للمعادلات التفاضلية الضمنية من الرتبة الكسرية القابلة للتشويه، وبالتالي تعزيز المشهد النظري المحيط بالمعادلات التفاضلية الكسرية.
نقاش
في هذا القسم، يؤسس المؤلفون مفاهيم أساسية تتعلق بفضاءات القياس المضطربة وفضاءات S-metric، والتي تعتبر حاسمة لنتائجهم اللاحقة. يعرفون مقياسًا مضطربًا $D – P$ على مجموعة $U$ ويقدمون الخصائص التي تميزها كمقياس مضطرب. بالإضافة إلى ذلك، يعرفون مقياس S $S$ والشروط التي تتقارب تحتها المتتاليات ضمن هذا الإطار. يقدم المؤلفون أيضًا مفهوم المشتقات والتكاملات القابلة للتشويه، مشددين على أهميتها في تحليل المعادلات التفاضلية.
النتيجة الرئيسية المقدمة هي نظرية نقطة ثابتة قابلة للتطبيق على فضاءات S-metric المضطربة الكاملة. تؤكد النظرية أنه إذا كانت خريطة مستمرة $T: U \to U$ تلبي شرط التقلص، فإن لها نقطة ثابتة. يتضمن الإثبات بناء تسلسل بيكارد وإظهار أنه يشكل تسلسل كوشي في فضاء S-metric المضطرب، مما يؤدي في النهاية إلى وجود نقطة ثابتة فريدة. يوضح المؤلفون قابلية تطبيق نتائجهم من خلال مثال يتضمن معادلة تفاضلية ضمنية من الرتبة الكسرية القابلة للتشويه، مؤكدين وجود حل فريد عبر طرق عددية وتكرار بيكارد. تسهم هذه العمل في الفهم النظري لنظريات النقاط الثابتة في سياق فضاءات القياس المضطربة وتطبيقاتها في المعادلات التفاضلية.
DOI: https://doi.org/10.19139/soic-2310-5070-3164
Publication Date: 2026-04-07
Author(s): Amit Gangwar et al.
Primary Topic: Fixed Point Theorems Analysis
Overview
In this section, the authors address the impact of distance errors on measurement accuracy, emphasizing that while individual errors may be minor, their cumulative effect can lead to significant discrepancies. To tackle this issue, they introduce perturbed S-metric spaces and present a generalization of fixed point theorems within this framework. Additionally, they establish the existence and uniqueness of solutions for deformable fractional order implicit differential equations.
In the conclusion, the authors summarize their findings, highlighting the proof of fixed point theorems for Banach contractions in the context of perturbed S-metric spaces, which are influenced by the experimental distance measuring function. They also provide examples and applications related to deformable fractional order differential equations, demonstrating that a unique solution can be numerically obtained by solving the associated implicit differential equation.
Introduction
The introduction of the research paper highlights the foundational contributions of Banach and Fréchet to fixed-point theory and metric spaces, respectively. Banach’s “Banach Contraction Principle” is emphasized for its critical role in establishing the existence and uniqueness of solutions across various mathematical constructs, including differential and integral equations. The evolution of metric spaces, particularly through the introduction of S-metric spaces by Sedghi et al. in 2012 and the recent concept of perturbed metric spaces by Jleli and Samet in 2024, illustrates the ongoing expansion of this field. These advancements have paved the way for new fixed-point theorems and methodologies, particularly in the context of fractional differential equations (FDEs), which are increasingly recognized for their ability to model complex phenomena in diverse disciplines.
The paper further discusses the significance of FDEs, which incorporate non-integer order derivatives, allowing for the modeling of memory effects and anomalous diffusion that traditional models cannot adequately capture. The authors note that a substantial body of research has focused on the existence, uniqueness, and stability of solutions to FDEs, contributing to a robust theoretical framework for their application. In light of these developments, the paper proposes the introduction of a perturbed S-metric space and defines a Banach-type contraction within this context. The authors aim to establish fixed-point results for this contraction, ultimately proving the existence and uniqueness of solutions for deformable fractional order implicit differential equations, thereby enhancing the theoretical landscape surrounding FDEs.
Discussion
In this section, the authors establish foundational concepts related to perturbed metric spaces and S-metric spaces, which are crucial for their subsequent findings. They define a perturbed metric $D – P$ on a set $U$ and introduce the properties that characterize it as a perturbed metric space. Additionally, they define an S-metric $S$ and the conditions under which sequences converge within this framework. The authors also introduce the concept of deformable derivatives and integrals, highlighting their relevance in the analysis of differential equations.
The main result presented is a fixed point theorem applicable to complete perturbed S-metric spaces. The theorem asserts that if a continuous map $T: U \to U$ satisfies a contraction condition, then it has a fixed point. The proof involves constructing a Picard sequence and demonstrating that it forms a Cauchy sequence in the perturbed S-metric space, ultimately leading to the existence of a unique fixed point. The authors illustrate the applicability of their results through an example involving a deformable fractional order implicit differential equation, confirming the existence of a unique solution via numerical methods and Picard iteration. This work contributes to the theoretical understanding of fixed point theorems in the context of perturbed metric spaces and their applications in differential equations.