DOI: https://doi.org/10.1007/s40590-025-00843-4
تاريخ النشر: 2026-01-09
المؤلف: Alaa Abouhalaka وآخرون
الموضوع الرئيسي: الخواتم، الوحدات، والجبر
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون فئتين جديدتين من المثالي في الحلقات غير التبادلية: المثالي الضعيف (1، $\rho$)-الماص والمثالي الضعيف (1، $\rho^*$)-الماص، حيث تشير $\rho$ إلى جذر محدد. تبني هذه المفاهيم الجديدة على الأطر الموجودة للمثالي الأول الضعيف والمثالي الضعيف $\rho$. يقدم المؤلفون عدة توصيفات مكافئة لهذه المثالي، ويحللون سلوكها تحت التحولات الحلقية، ويناقشون آثارها في بناء المثالي.
يتم التركيز بشكل خاص على السيناريو الذي يكون فيه $\rho$ هو الجذر الأولي $P(R)$. في هذا السياق، تؤسس الورقة روابط مهمة بين المثالي الضعيف (1، $P$)-الماص وهياكل المثالي المعروفة الأخرى. بالإضافة إلى ذلك، يستكشف المؤلفون هذه المثالي ضمن الحلقات المحلية والحلقات المنتظمة من فون نيومان، موفرين أمثلة توضيحية توضح المفاهيم الجديدة وعلاقاتها مع الأطر النظرية المثالية الموجودة.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية تطور وأهمية تعميمات المثالي الأولي والأولي الأساسي ضمن نظرية الحلقات التبادلية وغير التبادلية. تبرز تطور فئات مثالية متنوعة، مثل المثالي الأولي الضعيف، المثالي الأولي الأساسي الضعيف، المثالي الضعيف (1-الماص)، والمثالي الأساسي (1-الماص) القوي، والتي تهدف إلى تعزيز فهم هياكل الحلقات. تقدم الورقة بشكل خاص فئتين جديدتين من المثالي في الحلقات غير التبادلية: المثالي الضعيف (1، ρ)-الماص والمثالي الضعيف (1، ρ*)-الماص. تهدف هذه المفاهيم إلى توحيد وتوسيع المفاهيم الموجودة، موفرة إطارًا مرنًا لتحليل امتصاص المثالي فيما يتعلق بجذور مختلفة.
يعرف المؤلفون المثالي الصحيح \( K \) في حلقة غير تبادلية \( R \) على أنه ضعيف (1، ρ)-ماص إذا كان لكل العناصر غير الوحدوية \( a، b، c \in R \)، فإن الشرط \( 0 = aRbRc \subseteq K \) يعني \( ab \in K \) أو \( c \in \rho(R) \). وبالمثل، فإن \( K \) هو ضعيف (1، ρ*)-ماص إذا كان \( c \in \rho^*(K) = \text{rad}(K) \) تحت نفس الشروط. توضح الورقة تنظيم الأقسام اللاحقة، والتي تشمل التعريفات الرسمية، والتوصيفات، والأمثلة التي توضح الفروق والعلاقات بين هذه المثالي الجديدة والهياكل المعروفة سابقًا. من الجدير بالذكر أن النتائج تشير إلى أن المثالي الضعيف (1، ρ)-الماص هو مجموعة فرعية من المثالي الضعيف (1، ρ*)-الماص، مع آثار على الحلقات المحلية والحلقات المنتظمة من فون نيومان، مما يوسع الأدوات التحليلية المتاحة لدراسة هياكل الحلقات غير التبادلية.
نقاش
في هذا القسم، تناقش الورقة مفاهيم المثالي الضعيف (1، ρ)-الماص والمثالي الضعيف (1، ρ*)-الماص ضمن سياق نظرية الحلقات، مع التركيز بشكل خاص على الحلقات غير التبادلية. يُعرف المثالي الصحيح \( K \) في حلقة \( R \) على أنه ضعيف (1، ρ)-ماص إذا كان لكل العناصر غير الوحدوية \( a، b، c \in R \) بحيث \( 0 = aRbRc \subseteq K \)، فإنه يتبع إما \( ab \in K \) أو \( c \in \rho(R) \). تقدم الورقة أمثلة توضح أنه بينما كل مثالي (1، ρ)-ماص هو ضعيف (1، ρ)-ماص، فإن العكس لا ينطبق بشكل عام.
يؤسس القسم أيضًا معادلات بين شروط مختلفة تتعلق بالمثالي الضعيف (1، ρ)-الماص، بما في ذلك الآثار المتعلقة بالمثالي الفرعي وسلوك هذه المثالي تحت التحولات الحلقية. من الجدير بالذكر أنه يقدم مفهوم صفر ثلاثي 1-ρ، وهو تكوين محدد من العناصر يبرز قيود المثالي الضعيف (1، ρ)-الماص. يمتد النقاش إلى المثالي الضعيف (1، ρ*)-الماص، مع التأكيد على علاقتها بالمثالي الضعيف (1، ρ)-المثالي وتوفير الشروط التي يمكن بموجبها توصيف هذه المثالي من حيث الجذر الأولي للحلقة. تساهم النتائج في فهم أعمق لبنية وخصائص المثالي في نظرية الحلقات، خاصة في سياق الجبر غير التبادلي.
DOI: https://doi.org/10.1007/s40590-025-00843-4
Publication Date: 2026-01-09
Author(s): Alaa Abouhalaka et al.
Primary Topic: Rings, Modules, and Algebras
Overview
In this paper, the authors introduce two novel classes of ideals in noncommutative rings: weakly (1, $\rho$)-absorbing and weakly (1, $\rho^*$)-absorbing ideals, where $\rho$ denotes a specific radical. These new concepts build upon the existing frameworks of weakly 1-absorbing prime ideals and weakly $\rho$-ideals. The authors present several equivalent characterizations of these ideals, analyze their behavior under ring homomorphisms, and discuss their implications in idealization constructions.
Particular emphasis is placed on the scenario where $\rho$ is the prime radical $P(R)$. In this context, the paper establishes significant connections between weakly (1, $P$)-absorbing ideals and other established ideal structures. Additionally, the authors investigate these ideals within local rings and von Neumann regular rings, providing illustrative examples that clarify the new concepts and their interrelations with existing ideal theoretic frameworks.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the evolution and significance of generalizations of prime and primary ideals within both commutative and noncommutative ring theory. It highlights the development of various ideal classes, such as weakly prime, weakly primary, weakly 1-absorbing, and strongly 1-absorbing primary ideals, which serve to enhance the understanding of ring structures. The paper specifically introduces two new classes of ideals in noncommutative rings: weakly (1, ρ)-absorbing and weakly (1, ρ*)-absorbing ideals. These concepts aim to unify and extend existing notions, providing a flexible framework for analyzing ideal absorption in relation to different radicals.
The authors define a proper ideal \( K \) in a noncommutative ring \( R \) as weakly (1, ρ)-absorbing if for all nonunit elements \( a, b, c \in R \), the condition \( 0 = aRbRc \subseteq K \) implies \( ab \in K \) or \( c \in \rho(R) \). Similarly, \( K \) is weakly (1, ρ*)-absorbing if \( c \in \rho^*(K) = \text{rad}(K) \) under the same conditions. The paper outlines the organization of subsequent sections, which include formal definitions, characterizations, and examples that illustrate the distinctions and relationships between these new ideals and previously known structures. Notably, the results indicate that weakly (1, ρ)-absorbing ideals are a subset of weakly (1, ρ*)-absorbing ideals, with implications for local rings and von Neumann regular rings, thereby expanding the analytical tools available for studying noncommutative ring structures.
Discussion
In this section, the paper discusses the concepts of weakly (1, ρ)-absorbing and weakly (1, ρ*)-absorbing ideals within the context of ring theory, particularly focusing on noncommutative rings. A proper ideal \( K \) of a ring \( R \) is defined as weakly (1, ρ)-absorbing if for any nonunit elements \( a, b, c \in R \) such that \( 0 = aRbRc \subseteq K \), it follows that either \( ab \in K \) or \( c \in \rho(R) \). The paper provides examples illustrating that while every (1, ρ)-absorbing ideal is weakly (1, ρ)-absorbing, the converse does not hold universally.
The section further establishes equivalences among various conditions related to weakly (1, ρ)-absorbing ideals, including implications involving colon ideals and the behavior of these ideals under ring homomorphisms. Notably, it introduces the notion of a 1-ρ-triple zero, which is a specific configuration of elements that highlights the limitations of weakly (1, ρ)-absorbing ideals. The discussion extends to weakly (1, ρ*)-absorbing ideals, emphasizing their relationship to weakly (1, ρ)-ideals and providing conditions under which these ideals can be characterized in terms of the prime radical of the ring. The findings contribute to a deeper understanding of the structure and properties of ideals in ring theory, particularly in the context of noncommutative algebra.