DOI: https://doi.org/10.28924/2291-8639-24-2026-87
تاريخ النشر: 2026-03-19
المؤلف: Feras Yousef وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الدوال التحليلية والهندسية
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون عائلتين جديدتين من الدوال الثنائية الأحادية، يرمز لهما بـ \( E(\Psi_u, \rho, \mathcal{G}) \) و \( C(\Psi_u, \phi) \)، باستخدام مشتقات كابوتو-ليوفييل من النوع الكسري والتبعية للدالة المولدة لمعاملات غريغوري. يوضحون أن هذه العائلات غير فارغة ويقدمون تقديرات لمعاملات ماكلورين الأولية \( |a_2| \) و \( |a_3| \)، بالإضافة إلى الوظيفة المرتبطة بفكيت-سيغو للدوال ضمن هذه الفئات.
تسلط النتائج الضوء على أصالة البراهين والتوصيفات المقدمة، والتي من المتوقع أن تشجع على مزيد من الاستكشاف في هذه العائلات من الدوال الثنائية الأحادية التحليلية. بالإضافة إلى ذلك، تشير الدراسة إلى نتائج محتملة بشأن اختيار المعلمات لمشتقات كابوتو-ليوفييل من النوع الكسري، والتي تشمل مجموعة واسعة من المشتقات الكسريّة والمشغلّات التكاملية. تسهم النتائج في فهم الدوال الثنائية الأحادية وقد تلهم أبحاثًا مستقبلية في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية عائلة من الدوال التحليلية \( H \) المعرفة على القرص الوحدوي \( \Delta = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} \)، وتحديدًا تلك التي تم تطبيعها بواسطة \( A(0) = A'(0) = 0 \). يمكن التعبير عن كل دالة \( A \in H \) بالشكل \( A(z) = z + \sum_{u=2}^{\infty} a_u z^u \). تتكون عائلة فرعية \( D \) من دوال أحادية، ويتم تقديم مفهوم التبعية، حيث يقال إن دالة \( A \) تتبع \( B \) (يرمز لها بـ \( A \prec B \)) إذا كان هناك دالة شوارز \( w \) بحيث \( A(z) = B(w(z)) \) لجميع \( z \in \Delta \). تسلط الورقة الضوء على أهمية المعاملات \( a_u \) في سياق الدوال الثنائية الأحادية، مشيرة إلى أنه بينما تم تحديد حدود لـ \( a_2 \)، فإن تحديد حدود للمعاملات ذات الرتبة الأعلى \( a_u \) (لـ \( u \geq 3 \)) لا يزال قضية غير محلولة. بالإضافة إلى ذلك، تشير المقدمة إلى مشاكل فكيت-سيغو، التي تتعلق بمعاملات الدوال في \( D \). يُلاحظ عمل فكيت وسيغو لتأسيس عدم المساواة التي تتضمن هذه المعاملات. كما تقدم الورقة معاملات غريغوري \( \Pi_u \)، التي تنشأ من توسيع سلسلة ماكلورين لـ \( z \log(z + 1) \)، وتعرض الدالة المولدة لهذه المعاملات. أخيرًا، يتم ذكر مشغل \( R \) الذي عُرف بواسطة سريفاستافا وأوا، والذي يقوم بتعيين الدوال في \( D \) إلى نفسها، مما يسهم في دراسة خصائص هذه الدوال التحليلية.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون خصائص المشتقات الكسريّة والتكاملات المعرفة بواسطة ليوفييل-كابوتو، مع التركيز على العائلات الفرعية من الدوال الثنائية الأحادية المميزة بواسطة هذه المشغلّات. يقدمون عائلتين فرعيتين محددتين، يرمز لهما بـ \( E(\Psi_u, \rho, \gamma) \) و \( C(\Psi_u, \phi) \)، ويستخرجون حدودًا للمعاملات الأولية \( |a_2| \) و \( |a_3| \) بالإضافة إلى عدم المساواة لفكيت-سيغو للدوال ضمن هذه العائلات الفرعية. تشير النتائج إلى أن هذه العائلات الفرعية غير فارغة، مدعومة بوجود دوال تلبي الشروط المحددة.
يقدم المؤلفون صيغًا رياضية مفصلة وعدم المساواة التي تؤسس العلاقات بين المعاملات ومعلمات المشتقات الكسريّة. من الجدير بالذكر أنهم يستخرجون حدودًا لـ \( |a_2| \) و \( |a_3| \) من حيث المعلمات \( \rho \)، \( \gamma \)، و \( \phi \)، مما يوضح تأثير هذه المعلمات على سلوك الدوال. تشير النتائج إلى أن التوصيفات المقدمة يمكن أن تؤدي إلى مزيد من التحقيقات في عائلات مشابهة من الدوال الثنائية الأحادية التحليلية، وبالتالي تسهم في الفهم الأوسع لحساب التفاضل والتكامل الكسري في التحليل المعقد.
DOI: https://doi.org/10.28924/2291-8639-24-2026-87
Publication Date: 2026-03-19
Author(s): Feras Yousef et al.
Primary Topic: Analytic and geometric function theory
Overview
In this paper, the authors introduce two new subfamilies of bi-univalent functions, denoted as \( E(\Psi_u, \rho, \mathcal{G}) \) and \( C(\Psi_u, \phi) \), utilizing Liouville-Caputo-type fractional derivatives and subordination to the generating function of the Gregory coefficients. They demonstrate that these subfamilies are non-empty and provide estimates for the initial Maclaurin coefficients \( |a_2| \) and \( |a_3| \), as well as for the Fekete-Szegö functional associated with functions within these classes.
The findings highlight the originality of the proofs and characterizations presented, which are anticipated to encourage further exploration into these analytic bi-univalent function subfamilies. Additionally, the study suggests potential corollaries regarding parameter selection for Liouville-Caputo-type fractional derivatives, encompassing a wide range of fractional derivatives and integral operators. The results contribute to the understanding of bi-univalent functions and may inspire future research in this area.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the family of analytic functions \( H \) defined on the unit disk \( \Delta = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} \), specifically those normalized by \( A(0) = A'(0) = 0 \). Each function \( A \in H \) can be expressed in the form \( A(z) = z + \sum_{u=2}^{\infty} a_u z^u \). A subfamily \( D \) consists of univalent functions, and the concept of subordination is introduced, where a function \( A \) is said to be subordinate to \( B \) (denoted \( A \prec B \)) if there exists a Schwarz function \( w \) such that \( A(z) = B(w(z)) \) for all \( z \in \Delta \). The paper highlights the significance of the coefficients \( a_u \) in the context of bi-univalent functions, noting that while bounds for \( a_2 \) have been established, determining bounds for higher-order coefficients \( a_u \) (for \( u \geq 3 \)) remains an unresolved issue. Additionally, the introduction references the Fekete-Szegö problems, which pertain to the coefficients of functions in \( D \). The work of Fekete and Szegö is noted for establishing inequalities involving these coefficients. The paper also introduces Gregory coefficients \( \Pi_u \), which arise from the Maclaurin series expansion of \( z \log(z + 1) \), and presents the generating function for these coefficients. Lastly, an operator \( R \) defined by Srivastava and Owa is mentioned, which maps functions in \( D \) to itself, further contributing to the study of the properties of these analytic functions.
Discussion
In this section, the authors explore the properties of fractional derivatives and integrals defined by Liouville-Caputo, focusing on the subfamilies of bi-univalent functions characterized by these operators. They introduce two specific subfamilies, denoted as \( E(\Psi_u, \rho, \gamma) \) and \( C(\Psi_u, \phi) \), and derive bounds for the initial coefficients \( |a_2| \) and \( |a_3| \) as well as the Fekete-Szegö inequality for functions within these subfamilies. The results indicate that these subfamilies are non-empty, supported by the existence of functions satisfying the defined conditions.
The authors provide detailed mathematical formulations and inequalities that establish the relationships between the coefficients and the parameters of the fractional derivatives. Notably, they derive bounds for \( |a_2| \) and \( |a_3| \) in terms of the parameters \( \rho \), \( \gamma \), and \( \phi \), demonstrating the influence of these parameters on the behavior of the functions. The findings suggest that the characterizations presented could lead to further investigations into similar subfamilies of analytic bi-univalent functions, thereby contributing to the broader understanding of fractional calculus in complex analysis.