DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025577
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Mohra Zayed وآخرون
الموضوع الرئيسي: الهويات الرياضية المتقدمة
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون متعددة الحدود Appell المستندة إلى q-Laguerre الممتدة ثنائية المتغيرات باستخدام دوال q-Bessel Tricomi من الدرجة صفر. يثبتون هذه متعددة الحدود ضمن إطار شبه أحادية الحدود ويحققون في العديد من خصائصها، بما في ذلك خاصية المشغل الضربي q، خاصية المشغل المشتق q، ومعادلتين q-تكامل-تفاضلية. كما تستنتج الدراسة معادلات تفاضلية q وتمثيلات تشغيلية للمتعددة الحدود الجديدة. علاوة على ذلك، يحلل المؤلفون الأصفار الخاصة بمتحولات Bernoulli وEuler المستندة إلى q-Laguerre الممتدة ثنائية المتغيرات، مقدمين تمثيلات رسومية ثنائية وثلاثية الأبعاد، بالإضافة إلى جدول للأصفار التقريبية.
تؤكد النتائج أن متعددة الحدود Appell المستندة إلى q-Laguerre الممتدة ثنائية المتغيرات تظهر خصائص شبه أحادية الحدود، مدعومة بالهويات التشغيلية والنظريات المقدمة في جميع أنحاء الورقة. توفر النظريات 2.2، 2.5، 2.6، و2.7 براهين وهويات أساسية، بينما توضح النظرية 3.4 المعادلات q-تكامل-تفاضلية المرتبطة. يتم استكشاف حالات خاصة من هذه المتعددة الحدود، بما في ذلك متحولات Bernoulli وEuler وGenocchi المستندة إلى q-Laguerre الممتدة، بالتفصيل. يستنتج المؤلفون أن إدخال متعددة الحدود الهجينة q يمثل تقدمًا كبيرًا في البحث الرياضي، مما يفتح آفاقًا جديدة للاستكشاف والتطبيق عبر مختلف التخصصات العلمية. التحقيق المستمر والتعاون ضروريان للاستفادة الكاملة من إمكانياتها وفهم تداعياتها.
مقدمة
تناقش المقدمة أهمية متعددة الحدود Laguerre، المسماة على اسم عالم الرياضيات الفرنسي إدموند نيكولا لاغير، مع تسليط الضوء على توافقيتها وكمالها، فضلاً عن تطبيقاتها في الفيزياء الرياضية، وخاصة في فيزياء الإشعاع وحلول المعادلات التفاضلية الجزئية. توضح أعمال داتولي حول متعددة الحدود Laguerre ثنائية المتغيرات ارتباطها بالشبه أحادية الحدود، بينما يوفر استكشاف حساب q إطارًا لتوسيع هذه الهياكل الرياضية. تؤكد هذه الفقرة على أهمية الدوال والمتعددة الحدود الخاصة q، بما في ذلك متعددة الحدود q-Laguerre ثنائية المتغيرات، في تطبيقات متنوعة، مثل الجبر الكمومي والهويات التشغيلية.
تقدم الورقة أيضًا متعددة الحدود q-Laguerre ثنائية المتغيرات من الدرجة m وخصائصها، المستمدة من دوال q-Bessel Tricomi. توضح المفاهيم الأساسية لحساب q، بما في ذلك الأعداد q، والعوامل q، والمشتقات q، والتي تعتبر ضرورية لفهم التمثيلات التشغيلية والهويات المرتبطة بهذه المتعددة الحدود. يهدف المؤلفون إلى التحقيق في الميزات الفريدة لمتعددة الحدود q-Laguerre-Appell ثنائية المتغيرات من خلال عدسة شبه أحادية الحدود، مقترحين أن هذه المتعددة الحدود، جنبًا إلى جنب مع دوال q-Bessel، تحمل إمكانيات كبيرة للتطبيقات عبر مجالات علمية متنوعة.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون خصائص وعلاقات متعددة الحدود Appell المستندة إلى q-Laguerre الممتدة ثنائية المتغيرات، المشار إليها بـ \( L A_{\omega,q}(\xi, \eta; m) \). يستنتجون هويات رياضية متنوعة، بما في ذلك المعادلات q-تكامل-تفاضلية، والهويات التشغيلية، وخصائص شبه أحادية الحدود. يتم تعريف المتعددة الحدود من خلال دوال التوليد ويظهر أنها تمتلك هويات تشغيلية تسهل من معالجتها. من الجدير بالذكر أن المؤلفين يثبتون أن هذه المتعددة الحدود تظهر سلوك شبه أحادي الحدود من خلال مشغلات q-ضربية وq-مشتقة معينة، والتي تعتبر حاسمة لتطبيقاتها في حل المعادلات التفاضلية.
تستكشف الورقة أيضًا أهمية هذه المتعددة الحدود بالنسبة لعائلات متعددة الحدود الأخرى، مثل متحولات Bernoulli وEuler وGenocchi المستندة إلى q-Laguerre الممتدة. يقدم المؤلفون أشكالًا صريحة وتمثيلات محددة لهذه المتعددة الحدود، مما يبرز مرونتها وإمكاناتها للتطبيقات عبر مجالات رياضية متنوعة. بالإضافة إلى ذلك، يستخدمون التحليل العددي لفحص توزيع الأصفار لهذه المتعددة الحدود، مقدمين تمثيلات رسومية تعزز من فهم سلوكها في المستوى المعقد. بشكل عام، تسهم النتائج في المجال الأوسع للدوال الخاصة والمتعددة الحدود، مقترحة آفاق جديدة للبحث والتطبيق في الرياضيات والعلوم.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025577
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Mohra Zayed et al.
Primary Topic: Advanced Mathematical Identities
Overview
In this paper, the authors introduce bivariate extended q-Laguerre-based Appell polynomials using the q-Bessel Tricomi functions of zero-order. They establish these polynomials within the framework of quasi-monomiality and investigate several of their properties, including the q-multiplicative operator property, the q-derivative operator property, and two q-integro-differential equations. The study also derives q-differential equations and operational representations for the new polynomials. Furthermore, the authors analyze the zeros of the bivariate extended q-Laguerre-based Bernoulli and Euler polynomials, presenting both 2D and 3D graphical representations, along with a table of approximate zeros.
The findings confirm that the bivariate extended q-Laguerre-based Appell polynomials exhibit quasi-monomial characteristics, supported by operational identities and theorems presented throughout the paper. Theorems 2.2, 2.5, 2.6, and 2.7 provide foundational proofs and identities, while Theorem 3.4 outlines the associated q-integro-differential equations. Special cases of these polynomials, including the bivariate extended q-Laguerre-based Bernoulli, Euler, and Genocchi polynomials, are explored in detail. The authors conclude that the introduction of q-hybrid polynomials marks a significant advancement in mathematical research, opening new avenues for exploration and application across various scientific disciplines. Continued investigation and collaboration are essential to fully harness their potential and understand their implications.
Introduction
The introduction discusses the significance of Laguerre polynomials, named after the French mathematician Edmond Nicolas Laguerre, highlighting their orthogonality and completeness, as well as their applications in mathematical physics, particularly in radiation physics and solutions to partial differential equations. Dattoli’s work on bivariate Laguerre polynomials illustrates their connection to quasimonomials, while the exploration of q-calculus provides a framework for extending these mathematical structures. The section emphasizes the relevance of q-special functions and polynomials, including bivariate q-Laguerre polynomials, in various applications, such as quantum algebra and operational identities.
The paper further introduces the m-th order bivariate q-Laguerre polynomials and their properties, derived from q-Bessel Tricomi functions. It outlines the foundational concepts of q-calculus, including q-numbers, q-factorials, and q-derivatives, which are essential for understanding the operational representations and identities associated with these polynomials. The authors aim to investigate the unique features of bivariate q-Laguerre-Appell polynomials through the lens of q-monomiality, suggesting that these polynomials, along with q-Bessel functions, hold significant potential for applications across various scientific fields.
Discussion
In this section, the authors investigate the properties and relations of bivariate extended q-Laguerre-based Appell polynomials, denoted as \( L A_{\omega,q}(\xi, \eta; m) \). They derive various mathematical identities, including q-integro-differential equations, operational identities, and quasi-monomiality characteristics. The polynomials are defined through generating functions and are shown to possess operational identities that facilitate their manipulation. Notably, the authors establish that these polynomials exhibit quasi-monomial behavior through specific q-multiplicative and q-derivative operators, which are crucial for their applications in solving differential equations.
The paper also explores the significance of these polynomials in relation to other polynomial families, such as the bivariate extended q-Laguerre-based Bernoulli, Euler, and Genocchi polynomials. The authors provide explicit forms and determinant representations for these polynomials, highlighting their versatility and potential applications across various mathematical domains. Additionally, they employ numerical analysis to examine the distribution of zeros of these polynomials, offering graphical representations that enhance understanding of their behavior in the complex plane. Overall, the findings contribute to the broader field of special functions and polynomials, suggesting new avenues for research and application in mathematics and science.