DOI: https://doi.org/10.1007/s11858-026-01774-8
تاريخ النشر: 2026-02-26
المؤلف: Zhenyun Du وآخرون
الموضوع الرئيسي: الجوانب المعرفية والتنموية لمهارات الرياضيات
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في دور الرسومات التي ينشئها المتعلمون في النمذجة الرياضية، وخاصة في مسائل الهندسة. أظهرت الدراسات السابقة نتائج مختلطة فيما يتعلق بفعالية الرسومات، مما يشير إلى أن كل من دقة الرسومات والعمليات المعنية في إنشائها حاسمة. تستخدم الدراسة تصميمًا مختلطًا متسلسلًا، مستفيدة من تقنية تتبع العين لتحليل عمليات رسم الطلاب وعلاقتها بدقة الرسم وأداء النمذجة.
في الدراسة الأولى، قدمت التحليلات النوعية لحركات النظر ومقابلات الاسترجاع المحفزة مع ستة طلاب رؤى أولية حول عمليات الرسم. وسعت الدراسة الثانية هذا التحقيق ليشمل 66 طالبًا في الصفين التاسع والعاشر، الذين حلوا ست مسائل نمذجة هندسية بينما تم تسجيل حركات نظرهم. تكشف النتائج أن عمليات الرسم تتكون من مرحلتين متميزتين: إنشاء الرسم، الذي يتضمن اختيار وتنظيم ودمج المعلومات ذات الصلة، واستخدام الرسم، الذي يتطلب استكشاف الرسم لتحديد العلاقات الرياضية وربطها بالمعادلات. وُجد أن إنشاء الرسم الفعال يعزز أداء النمذجة بشكل مباشر وغير مباشر من خلال تحسين استخدام الرسم. تقترح الدراسة أن تعليم الرياضيات يجب أن يركز ليس فقط على دقة الرسومات ولكن أيضًا على تعزيز إنشاء واستخدام الرسومات بشكل منتج لتحسين قدرات النمذجة لدى الطلاب.
مقدمة
تؤكد مقدمة ورقة البحث على أهمية النمذجة الرياضية في التعليم، وخاصة دورها في تمكين الطلاب من تطبيق المفاهيم الرياضية على السيناريوهات الواقعية (Cevikbas et al., 2022). تعتبر استراتيجية ملحوظة لمساعدة الطلاب في حل مسائل النمذجة الهندسية هي دمج الرسومات التي ينشئها المتعلمون. ومع ذلك، تقدم الأدبيات الحالية أدلة مختلطة بشأن فعالية هذا النهج (Bräuer et al., 2021; de Bock et al., 2003). تشير النتائج الرئيسية إلى أن دقة هذه الرسومات أمر حاسم، حيث ترتبط الدقة الأعلى بتحسين أداء النمذجة (Boonen et al., 2014; Rellensmann et al., 2017).
على الرغم من أهمية عمليات الرسم في تعزيز أداء النمذجة، إلا أن القليل من الدراسات قد فحصت هذه العمليات بشكل شامل، وغالبًا ما اعتمدت على طرق الملاحظة والتقارير الذاتية (Stylianou, 2011; van Garderen et al., 2013). تهدف هذه الدراسة إلى سد هذه الفجوة من خلال استخدام تقنية تتبع العين (ET) للتحقيق في عمليات الرسم للطلاب أثناء حلهم لمشكلات النمذجة، مما يكشف عن رؤى قد تتجاهلها الطرق التقليدية (Schindler et al., 2025). تم هيكلة الدراسة في جزئين: تقوم الدراسة 1 بتحليل نوعي لحركات النظر لتوليد فرضيات حول العلاقة بين عمليات الرسم والدقة وأداء النمذجة، بينما تختبر الدراسة 2 هذه الفرضيات بشكل كمي عبر عينة أكبر من الطلاب.
الطرق
في هذا القسم، يصف المؤلفون المواد المستخدمة في دراستهم، والتي تضمنت ورقة معلومات تفصيلية عن الرسومات لمشكلات النمذجة وثلاث مشكلات نمذجة متميزة مقدمة على أوراق منفصلة. إحدى المشكلات المحددة التي تم تسليط الضوء عليها هي مشكلة نمذجة التلفريك، الموضحة في الشكل 1، مع مثال على ورقة العمل المقدمة في الشكل 3.
كانت المواد وتصميمها مشابهة جدًا لتلك المستخدمة في الدراسة 1، مع الاختلاف الرئيسي المتمثل في تضمين ست مشكلات نمذجة بدلاً من ثلاثة. كانت جميع المشكلات مصممة لتكون قابلة للحل باستخدام نظرية فيثاغورس؛ ومع ذلك، أشار المؤلفون إلى أن طرق رياضية بديلة، مثل الدوال المثلثية، يمكن أيضًا استخدامها للوصول إلى الحلول. يبرز هذا النهج مرونة المشكلات وإمكانية وجود تفكير رياضي متنوع بين المشاركين.
النتائج
كشف تحليل تفاعل الطلاب مع الرسومات أثناء حل المشكلات عن مرحلتين متميزتين: إنشاء الرسم واستخدام الرسم. بدأ إنشاء الرسم بقراءة نص المشكلة وانتهى بإضافة العنصر النهائي إلى الرسم. تضمنت هذه المرحلة اختيار ودمج المعلومات ذات الصلة، غالبًا من خلال المعالجة الذهنية أو التسطير الصريح، تليها الإضافة المتسلسلة للعناصر إلى الرسم. عادةً ما يمثل الطلاب العلاقات بين الكائنات ويراقبون رسوماتهم مقابل نص المشكلة، مما يجعل التصحيحات حسب الحاجة.
في مرحلة استخدام الرسم، استكشف الطلاب رسوماتهم لاستنتاج استنتاجات رياضية، مثل التعرف على العلاقات التناسبية، وقاموا بتسمية الكائنات بالرموز لتمثيل الكميات المعروفة وغير المعروفة. ارتبط الأداء الناجح في النمذجة بالقدرة على استكشاف الرسومات للبحث عن العلاقات الرياضية وارتباط هذه الرسومات بنشاط بالمعادلات. وجدت الدراسة أن الرسومات الدقيقة كانت تُستخدم بشكل أكثر فعالية من الرسومات غير الدقيقة، والتي غالبًا ما أدت إلى الارتباك والاعتماد على نص المشكلة. تشير النتائج إلى أن عمليات الرسم الفعالة، التي تتميز بالاختيار المعنوي والربط للمعلومات، مرتبطة بأداء أفضل في حل المشكلات. هذه التفرقة بين إنشاء الرسم واستخدامه مهمة، حيث تبرز الطبيعة التكرارية لهذه العمليات في تعزيز قدرات الطلاب في النمذجة.
المناقشة
تؤكد قسم المناقشة في ورقة البحث على أهمية النمذجة الرياضية في التعليم، مع تسليط الضوء على دورها في تعزيز مهارات حل المشكلات والقدرة الرياضية. يوضح الطبيعة التكرارية لعملية النمذجة، التي تتضمن فهم المواقف الواقعية، وتبسيطها، وتمثيلها رياضيًا، وتطبيق الإجراءات الرياضية، وتفسير النتائج، والتحقق من الافتراضات. تشير الورقة إلى أن الطلاب غالبًا ما يواجهون تحديات في كل خطوة من هذه العملية، خاصة في إنشاء تمثيلات مناسبة للمشكلات وترجمتها إلى تعبيرات رياضية. تم تحديد الرسومات التي ينشئها المتعلمون كأداة محتملة لمساعدة الطلاب في التغلب على هذه التحديات، خاصة في سياقات الهندسة.
تقدم الورقة أيضًا مشكلة نمذجة التلفريك كمثال على مشكلة غير منظمة تتطلب من الطلاب الانخراط في تفكير معقد وتنسيق التمثيلات. تناقش الأدلة التجريبية المختلطة بشأن فعالية الرسومات التي ينشئها المتعلمون، مشيرة إلى أنه بينما تظهر بعض الدراسات آثارًا إيجابية على حل المشكلات، تشير دراسات أخرى إلى نتائج ضئيلة أو سلبية. تشمل العوامل التي تؤثر على هذه النتائج دقة الرسومات والعمليات التي من خلالها يقوم الطلاب بإنشاء واستخدام هذه الرسومات. تختتم القسم باقتراح إجراء تحقيق منهجي في العلاقة بين عمليات الرسم، ودقة الرسم، وأداء النمذجة، باستخدام تقنية تتبع العين لالتقاط حركات نظر الطلاب أثناء أنشطة حل المشكلات. يهدف هذا النهج إلى تقديم رؤى حول كيفية مساهمة عمليات الرسم في فهم الطلاب ونجاحهم في مهام النمذجة الرياضية.
القيود
تقدم الدراسة عدة قيود بشأن قابلية تعميم نتائجها حول عمليات الرسم في مشكلات الهندسة. بينما تنطبق النتائج على ست مهام نمذجة هندسية، قد لا تمتد إلى مجالات أخرى، مثل الإحصاءات أو أنواع مختلفة من المشكلات الرياضية، بما في ذلك المشكلات الجبرية أو النصية. من المحتمل أن تكون بعض جوانب النتائج، خاصة تلك المتعلقة بالعلاقات المكانية والاستنتاج الهندسي، فريدة من نوعها للهندسة، بينما قد تعكس عناصر أخرى، مثل التمييز بين إنشاء الرسم واستخدامه، عمليات نمذجة أوسع تنطبق عبر سياقات رياضية متنوعة.
بالإضافة إلى ذلك، لم تأخذ الدراسة في الاعتبار تنسيق الرسم، تحديدًا ما إذا كانت الرسومات سياقية أو رياضية. تشير الدراسات السابقة إلى أن مستوى التجريد المرتبط بتنسيق الرسم يمكن أن يؤثر بشكل كبير على فعالية استراتيجيات الرسم. لذلك، يجب أن تستكشف الأبحاث المستقبلية التفاعل بين عمليات الرسم وتنسيقات الرسم لتعزيز فهم تأثيرها على حل المشكلات عبر مجالات رياضية مختلفة.
DOI: https://doi.org/10.1007/s11858-026-01774-8
Publication Date: 2026-02-26
Author(s): Zhenyun Du et al.
Primary Topic: Cognitive and developmental aspects of mathematical skills
Overview
This research investigates the role of learner-generated drawings in mathematical modeling, particularly within geometry problems. Previous studies have yielded mixed results regarding the effectiveness of drawings, suggesting that both the accuracy of the drawings and the processes involved in creating them are critical. The study employs a sequential mixed-method design, utilizing eye-tracking technology to analyze students’ drawing processes and their correlation with drawing accuracy and modeling performance.
In the first study, qualitative analyses of gaze movements and stimulated recall interviews with six students provided initial insights into drawing processes. The second study expanded this investigation to 66 ninth- and tenth-grade students, who solved six geometry modeling problems while their gaze movements were recorded. The findings reveal that drawing processes consist of two distinct phases: drawing construction, which involves selecting, organizing, and integrating relevant information, and drawing use, which entails exploring the drawing to identify mathematical relationships and connect them to equations. Effective drawing construction was found to enhance modeling performance both directly and indirectly through improved drawing use. The study suggests that mathematics instruction should focus not only on the accuracy of drawings but also on fostering productive drawing construction and utilization to improve students’ modeling capabilities.
Introduction
The introduction of the research paper emphasizes the significance of mathematical modeling in education, particularly its role in enabling students to apply mathematical concepts to real-world scenarios (Cevikbas et al., 2022). A notable strategy to aid students in solving geometric modeling problems is the incorporation of learner-generated drawings. However, the existing literature presents mixed evidence regarding the effectiveness of this approach (Bräuer et al., 2021; de Bock et al., 2003). Key findings suggest that the accuracy of these drawings is crucial, as higher accuracy correlates with improved modeling performance (Boonen et al., 2014; Rellensmann et al., 2017).
Despite the importance of drawing processes in enhancing modeling performance, few studies have thoroughly examined these processes, often relying on observational and self-report methods (Stylianou, 2011; van Garderen et al., 2013). This research aims to fill this gap by utilizing eye tracking (ET) technology to investigate the drawing processes of students while they solve modeling problems, thereby revealing insights that traditional methods may overlook (Schindler et al., 2025). The study is structured into two parts: Study 1 qualitatively analyzes gaze movements to generate hypotheses about the relationship between drawing processes, accuracy, and modeling performance, while Study 2 quantitatively tests these hypotheses across a larger student sample.
Methods
In this section, the authors describe the materials utilized in their study, which included an information sheet detailing the drawings for modeling problems and three distinct modeling problems presented on separate sheets. One specific problem highlighted is the cable car modeling problem, illustrated in Figure 1, with an example of the worksheet provided in Figure 3.
The materials and their design closely mirrored those used in Study 1, with the key difference being the inclusion of six modeling problems instead of three. All problems were structured to be solvable using the Pythagorean theorem; however, the authors noted that alternative mathematical methods, such as trigonometric functions, could also be employed to arrive at solutions. This approach emphasizes the versatility of the problems and the potential for varied mathematical reasoning among participants.
Results
The analysis of student engagement with drawings during problem-solving revealed two distinct phases: drawing construction and drawing use. Drawing construction commenced with reading the problem text and concluded with the final object being added to the drawing. This phase involved selecting and integrating relevant information, often through mental processing or explicit underlining, followed by the sequential addition of elements to the drawing. Students typically represented relationships between objects and monitored their drawings against the problem text, making corrections as needed.
In the drawing use phase, students explored their drawings to derive mathematical inferences, such as recognizing proportional relationships, and labeled objects with symbols to represent known and unknown quantities. Successful modelling performance was linked to the ability to explore drawings for mathematical relationships and to actively connect these drawings with equations. The study found that accurate drawings were utilized more effectively than inaccurate ones, which often led to confusion and reliance on the problem text. The findings suggest that effective drawing processes, characterized by the meaningful selection and connection of information, are associated with better performance in problem-solving. This distinction between drawing construction and use is significant, as it highlights the iterative nature of these processes in enhancing students’ modelling capabilities.
Discussion
The discussion section of the research paper emphasizes the significance of mathematical modeling in education, highlighting its role in enhancing problem-solving skills and mathematical literacy. It outlines the iterative nature of the modeling process, which involves understanding real-world situations, simplifying them, mathematically representing them, applying mathematical procedures, interpreting results, and validating assumptions. The paper notes that students often face challenges at each step of this process, particularly in generating adequate problem representations and translating them into mathematical expressions. Learner-generated drawings are identified as a potential tool to aid students in overcoming these challenges, especially in geometry contexts.
The paper also presents the cable car modeling problem as an example of an ill-structured problem that requires students to engage in complex reasoning and representation coordination. It discusses the mixed empirical evidence regarding the effectiveness of learner-generated drawings, indicating that while some studies show positive effects on problem-solving, others report negligible or negative outcomes. Factors influencing these results include the accuracy of the drawings and the processes by which students construct and utilize these drawings. The section concludes by proposing a systematic investigation into the relationship between drawing processes, drawing accuracy, and modeling performance, utilizing eye-tracking technology to capture students’ gaze movements during problem-solving activities. This approach aims to provide insights into how drawing processes contribute to students’ understanding and success in mathematical modeling tasks.
Limitations
The study presents several limitations regarding the generalizability of its findings on drawing processes in geometry problems. While the results are applicable across six geometry modeling tasks, they may not extend to other domains, such as statistics or different types of mathematical problems, including algebraic or word problems. Specific aspects of the findings, particularly those related to spatial relations and geometric inference, are likely unique to geometry, whereas other elements, such as the distinction between drawing construction and use, may reflect broader modeling processes applicable across various mathematical contexts.
Additionally, the research did not account for the drawing format, specifically whether the drawings were situational or mathematical. Previous studies indicate that the level of abstraction associated with the drawing format can significantly affect the efficacy of drawing strategies. Therefore, future research should explore the interplay between drawing processes and drawing formats to enhance understanding of their impact on problem-solving across different mathematical domains.