DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025218
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Naher Mohammed A. Alsafri
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يحقق المؤلف في ظواهر السوليتون ضمن إطار نظام درينفيلد-سوكولوف-ويلسون المرتبط (CCDSWS)، باستخدام نسخة جديدة من الطريقة الجبرية المباشرة الممتدة (EDAM)، المسماة r+mEDAM. من خلال استخدام المشتقات الكسرية القابلة، يلتقط النموذج الخصائص الفطرية للذاكرة والوراثة للديناميات الكسرية. تقوم البحث بتحويل المعادلة التفاضلية الجزئية الكسرية الأصلية إلى نظام أكثر قابلية للإدارة من المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية (NODEs) من ترتيب صحيح من خلال التحولات المعقدة. يتم تحويل هذا النظام بعد ذلك إلى معادلات جبرية، مما يؤدي إلى اكتشاف مجموعة متنوعة من حلول السوليتون المعبر عنها كدوال مثلثية عامة، ودوال أسية فرطية، ودوال كسرية.
تكشف النتائج عن أشكال مختلفة من السوليتون، بما في ذلك الكينك، والأنتي كينك، والمشرق، والمظلم، والمشرق-المظلم، وسوليتونات الكينك على شكل جرس، والتي يتم توضيحها من خلال الرسوم البيانية ثنائية وثلاثية الأبعاد، والرسوم البيانية الكنتورية. تؤكد النتائج على فعالية نهج r+mEDAM في اشتقاق حلول السوليتون، مما يعزز الفهم للمعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية (FPDEs). تمتد تداعيات هذا البحث إلى التطبيقات النظرية والعملية في مجالات مثل ميكانيكا السوائل، وفيزياء البلازما، والاتصالات البصرية، مما يظهر توافق وفعالية الطريقة في تحليل النماذج الرياضية غير الخطية ذات الصلة بالهندسة والفيزياء.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية (NFPDEs) عبر مختلف التخصصات العلمية، مع تسليط الضوء على فائدتها في نمذجة الظواهر المعقدة مثل ديناميات السوائل، والتحولات البيئية، وديناميات العدوى. تُفضل NFPDEs على المعادلات الخطية بسبب قدرتها على توفير تمثيلات مستقرة ودقيقة للعمليات المعقدة. تشير الورقة إلى قيود الطرق العددية في حل NFPDEs، مما يدفع الباحثين للبحث عن حلول تحليلية تقدم رؤى مع تقليل المتطلبات الحسابية. يتم ذكر تقنيات تحليلية مختلفة، بما في ذلك طريقة تحليل أدوميان (ADM) والطريقة الجبرية المباشرة الممتدة (EDAM)، كطرق فعالة لاشتقاق حلول السوليتون، التي تهم بشكل خاص في دراسة سلوكيات الموجات.
تهدف الدراسة إلى تطبيق r+mEDAM للتحقيق في حلول السوليتون لنظام درينفيلد-سوكولوف-ويلسون المرتبط (CDSWS)، وهو نموذج ذو صلة بالظواهر المشتتة في ميكانيكا السوائل ومجالات أخرى. يتم تقديم الصياغة الرياضية لـ CDSWS، مع التركيز على تطبيقها في نمذجة تدفق المياه الجاذبية والبلازما المغبرة. تشير المقدمة أيضًا إلى المنهجيات السابقة التي استخدمها باحثون آخرون لمعالجة CDSWS، مما يمهد الطريق للتحقيق الحالي في الحلول الكسرية، والدورية، والفرطية، والأسية، والتي تشمل أشكال موجية مختلفة مثل موجات الكينك والأنتي كينك. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى استكشاف مفصل لـ r+mEDAM وتطبيقه على CDSWS في الأقسام التالية.
طرق
في هذا القسم، يتم توضيح المنهجية لتقنية r+mEDAM، مع التركيز على تحليل معادلة تفاضلية جزئية كسرية غير خطية عامة (NFPDE) تمثل كـ \( E(u, u_D, \ldots) = 0 \). تبدأ الطريقة بتحويل متغير \( u(x, t) = U(\xi) \)، مما يعيد صياغة NFPDE إلى معادلة تفاضلية عادية غير خطية (NODE) \( F(U, U’, \ldots) = 0 \). يمكن دمج هذه NODE عدة مرات لتحديد ثوابت التكامل. يتم اقتراح حل سلسلة لـ \( U(\xi) \)، يتضمن معلمات \( k_i \) ودالة \( \Psi(\xi) \) التي تلبي معادلة تفاضلية عادية محددة (ODE).
تشمل الخطوات التالية موازنة الحدود غير الخطية والمشتقات لاشتقاق تعبير متعدد الحدود لـ \( \Psi(\xi) \). يؤدي ذلك إلى نظام من المعادلات الجبرية غير الخطية، والذي يتم حله باستخدام برنامج Maple. تؤدي النتائج النهائية إلى عائلات متنوعة من حلول السوليتون، مصنفة بناءً على المعلمات \( H \)، \( j \)، \( k \)، و \( l \). تقدم كل عائلة أشكالًا وظيفية مميزة لـ \( \Psi(\xi) \)، تشمل الدوال المثلثية والفرطية، مما يوفر إطارًا شاملاً لاستكشاف ديناميات السوليتون في سياق NFPDE الأصلية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش البحث تطبيق المشتقات الكسرية القابلة في اشتقاق حلول السوليتون الصريحة للمعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية غير الخطية (NFPDEs). يُظهر المشتق الكسر القابل أنه يتبع قاعدة السلسلة، وهو أمر أساسي لحل المعادلات المعقدة مثل معادلات كوشي-كواليفسكي (CKGEs). يبرز البحث مزايا هذا المشتق على الصيغ البديلة، التي تفشل في إنتاج حلول السوليتون بسبب عدم امتثالها لقاعدة السلسلة. يتم تقديم التعريفات الرياضية وخصائص المشتق الكسر القابل، مع التأكيد على فائدته في تحقيق حلول السوليتون.
يكشف استكشاف حلول السوليتون من خلال طريقة r+mEDAM عن مجموعة متنوعة من أنواع السوليتون، بما في ذلك الكينك، والأنتي كينك، والمشرق، والمظلم، والمشرق-المظلم، وسوليتونات الكينك على شكل جرس. توضح هذه السوليتونات الديناميات المعقدة للنظام وتعتبر حاسمة لفهم الظواهر المشتتة في ميكانيكا السوائل وفيزياء الموجات. تُظهر التمثيلات الرسومية لهذه الحلول السوليتونية سلوكياتها وخصائصها المتنوعة، مما يساهم في فهم شامل لظواهر الموجات في سياقات فيزيائية مختلفة. تؤكد النتائج على أهمية السوليتونات كنماذج موجية مستقرة ومركزة ناتجة عن توازن التأثيرات غير الخطية والمشتتة، والتي تعتبر محورية في دراسة النماذج الرياضية غير الخطية في الهندسة والفيزياء.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025218
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Naher Mohammed A. Alsafri
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this study, the author investigates soliton phenomena within the framework of the conformable coupled Drinfeld-Sokolov-Wilson system (CCDSWS), utilizing a novel variant of the extended direct algebraic method (EDAM), termed r+mEDAM. By employing conformable fractional derivatives, the model captures the inherent memory and hereditary characteristics of fractional dynamics. The research transforms the original fractional partial differential equation into a more manageable system of integer-order nonlinear ordinary differential equations (NODEs) through complex transformations. This system is subsequently converted into algebraic equations, leading to the discovery of a diverse array of soliton solutions expressed as generalized trigonometric, exponential hyperbolic, and rational functions.
The findings reveal various soliton shapes, including kink, anti-kink, bright, dark, bright-dark, and bell-shaped kink solitons, which are illustrated through 2D, 3D, and contour graphics. The results underscore the effectiveness of the r+mEDAM approach in deriving solitonic solutions, thereby enhancing the understanding of nonlinear fractional partial differential equations (FPDEs). The implications of this research extend to theoretical and practical applications in fields such as fluid mechanics, plasma physics, and optical communications, demonstrating the method’s compatibility and efficacy in analyzing nonlinear mathematical models relevant to engineering and physics.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of nonlinear fractional partial differential equations (NFPDEs) across various scientific disciplines, highlighting their utility in modeling complex phenomena such as fluid dynamics, ecological transformations, and infection dynamics. NFPDEs are preferred over linear equations due to their ability to provide stable and accurate representations of intricate processes. The paper notes the limitations of numerical methods in solving NFPDEs, prompting researchers to seek analytical solutions that offer insights with reduced computational demands. Various analytical techniques, including the Adomian decomposition method (ADM) and the extended direct algebraic method (EDAM), are mentioned as effective approaches for deriving soliton solutions, which are of particular interest in the study of wave behaviors.
The study aims to apply the r+mEDAM to investigate soliton solutions for the coupled Drinfeld-Sokolov-Wilson system (CDSWS), a model relevant to dispersive phenomena in fluid mechanics and other fields. The mathematical formulation of the CDSWS is presented, emphasizing its application in modeling gravitational water flow and dusty plasmas. The introduction also references previous methodologies employed by other researchers to address the CDSWS, setting the stage for the current investigation into rational, periodic, hyperbolic, and exponential solutions, which include various wave forms such as kink and anti-kink waves. The structure of the paper is outlined, indicating a detailed exploration of the r+mEDAM and its application to the CDSWS in subsequent sections.
Methods
In this section, the methodology for the r+mEDAM technique is delineated, focusing on the analysis of a general nonlinear fractional partial differential equation (NFPDE) represented as \( E(u, u_D, \ldots) = 0 \). The approach begins with a variable transformation \( u(x, t) = U(\xi) \), which reformulates the NFPDE into a nonlinear ordinary differential equation (NODE) \( F(U, U’, \ldots) = 0 \). This NODE can be integrated multiple times to determine constants of integration. A series solution for \( U(\xi) \) is proposed, involving parameters \( k_i \) and a function \( \Psi(\xi) \) that satisfies a specific ordinary differential equation (ODE).
Subsequent steps involve balancing nonlinear terms and derivatives to derive a polynomial expression for \( \Psi(\xi) \). This leads to a system of nonlinear algebraic equations, which is solved using Maple software. The final results yield various families of soliton solutions, categorized based on the parameters \( H \), \( j \), \( k \), and \( l \). Each family presents distinct functional forms for \( \Psi(\xi) \), encompassing trigonometric and hyperbolic functions, thus providing a comprehensive framework for exploring soliton dynamics in the context of the original NFPDE.
Discussion
In this section, the research discusses the application of conformable fractional derivatives in deriving explicit soliton solutions for nonlinear fractional partial differential equations (NFPDEs). The conformable fractional derivative is shown to adhere to the chain rule, which is essential for solving complex equations like the Cauchy-Kowalevski equations (CKGEs). The study highlights the advantages of this derivative over alternative formulations, which fail to produce soliton solutions due to their non-compliance with the chain rule. The mathematical definitions and properties of the conformable fractional derivative are presented, emphasizing its utility in achieving soliton solutions.
The exploration of soliton solutions through the r+mEDAM method reveals a variety of soliton types, including kink, anti-kink, bright, dark, bright-dark, and bell-shaped kink solitons. These solitons illustrate the intricate dynamics of the system and are crucial for understanding dispersive phenomena in fluid mechanics and wave physics. Graphical representations of these soliton solutions demonstrate their diverse behaviors and characteristics, contributing to a comprehensive understanding of wave phenomena in various physical contexts. The findings underscore the significance of solitons as stable, localized wave patterns resulting from the balance of nonlinear and dispersive effects, which are pivotal in the study of nonlinear mathematical models in engineering and physics.