DOI: https://doi.org/10.54187/jnrs.1862722
تاريخ النشر: 2026-04-30
المؤلف: H. Çerdik Yaslan وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة في معادلات التفاضل الكسري الخطية ψ-Caputo (PCFDEs) ذات المعاملات الثابتة والظروف الأولية، باستخدام طريقة سلسلة القوة المتبقية المعدلة (RPSM) لاشتقاق حلول تحليلية تقريبية. يتم التعبير عن الحلول كسلاسل قوة مقطوعة من حيث الدالة ψ، مع تحديد المعاملات غير المعروفة من خلال بناء دالة متبقية وتطبيق الظروف الأولية. الطريقة قابلة للتطبيق أيضًا على معادلات الاسترخاء-التذبذب الكسري ψ-Caputo، مما يظهر مرونتها في التطبيق.
تشير النتائج إلى أن RPSM تحقق نتائج تقترب بشكل كبير من الحلول الدقيقة، كما يتضح من المقارنات مع طرق عددية مختلفة، بما في ذلك طريقة مصفوفة تايلور التشغيلية وطريقة مصفوفة هار الموجية التشغيلية. ومن الجدير بالذكر أن دقة الطريقة المقترحة تظل ثابتة بغض النظر عن اختيار الدالة ψ، مما يسمح بتطبيقها على فئة أوسع من معادلات التفاضل الكسري، مثل المشتق الكلاسيكي Caputo عندما ψ(x) = x. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية توسيع الطريقة لتشمل معادلات التفاضل الجزئي الكسري وأنظمة PCFDEs، مما يعزز قابليتها للتطبيق في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة المشتق ψ-Caputo، وهو مشتق كسري عام يتضمن دالة نواة تعسفية، مما يسمح باشتقاق المشتقات الكسري الكلاسيكية مثل مشتقات Caputo وCaputo-Hadamard. تسلط هذه المرونة الضوء على تطبيقات المشتق ψ-Caputo الواسعة عبر مجالات علمية متنوعة. كما تؤكد الورقة على طريقة سلسلة القوة المتبقية (RPSM) كطريقة قوية للحصول على حلول تحليلية لمعادلات التفاضل الكسري، حيث تم تطبيقها بنجاح على مجموعة من المعادلات بما في ذلك معادلات Sharma-Tasso-Olever وKorteweg-de Vries الكسري.
على الرغم من الاستخدام الواسع لـ RPSM في حل معادلات التفاضل الكسري المختلفة، يشير المؤلفون إلى وجود فجوة في الأدبيات بشأن تطبيقها على معادلات التفاضل الكسري ψ-Caputo (PCFDEs). تهدف هذه الدراسة إلى معالجة هذه الفجوة من خلال توسيع RPSM لتشمل PCFDEs، مع التركيز بشكل خاص على المعادلة \( D_{\alpha, \psi} y(x) + cy(x) = f(x) \) مع ظروف أولية تتضمن المشتق ψ-Caputo. توضح الورقة هيكلها، مع تخصيص الأقسام اللاحقة لخصائص المشتق ψ-Caputo، وبناء RPSM ψ-Caputo، وتطبيقات الطريقة المقترحة.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الجوانب الأساسية والخوارزمية لطريقة سلسلة القوة المتبقية (RPSM) لحل معادلات التفاضل الكسري (FDEs) التي تتضمن المشتق ψ-Caputo. يعرفون التكامل الكسري ψ والمشتق ψ-Caputo، ويؤسسون الخصائص الرئيسية واللمحات التي تدعم الطريقة. يتم تقديم RPSM كطريقة عددية تقرب الحلول لمعادلات FDEs من خلال التعبير عنها كسلاسل قوة مقطوعة من حيث الدالة $(\psi(x) – \psi(0))$. يتم تحديد معاملات هذه السلاسل من خلال نهج منهجي يتضمن بناء دالة متبقية، والتي يتم حلها بعد ذلك باستخدام الظروف الأولية.
يقدم المؤلفون عدة تطبيقات لـ RPSM، مما يظهر فعاليتها من خلال أمثلة تشمل معادلات الاسترخاء-التذبذب الكسري ψ-Caputo وأنواع أخرى من FDEs. يقارنون النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام RPSM مع تلك الناتجة عن الطرق الموجودة، مثل طريقة مصفوفة تايلور التشغيلية والنهج الموجي، مما يبرز الدقة المتفوقة لطريقتهم عبر سيناريوهات مختلفة. تشير النتائج إلى أن RPSM لا تحقق فقط حلولًا دقيقة لحالات معينة، ولكنها أيضًا تحافظ على دقة عالية بغض النظر عن اختيار الدالة $\psi$. يختتم المؤلفون بالإشارة إلى أن RPSM يمكن توسيعها للتعامل مع معادلات التفاضل الجزئي الكسري الأكثر تعقيدًا وأنظمة FDEs، مما يوسع من قابليتها للتطبيق في النمذجة الرياضية.
DOI: https://doi.org/10.54187/jnrs.1862722
Publication Date: 2026-04-30
Author(s): H. Çerdik Yaslan et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper investigates linear ψ-Caputo fractional differential equations (PCFDEs) with constant coefficients and initial conditions, employing an adapted residual power series method (RPSM) to derive approximate analytical solutions. The solutions are expressed as truncated power series expansions in terms of the function ψ, with unknown coefficients determined through the construction of a residual function and the application of initial conditions. The method is also applicable to ψ-Caputo fractional relaxation-oscillation equations, demonstrating versatility in its application.
The findings indicate that the RPSM effectively yields results that closely approximate exact solutions, as evidenced by comparisons with various numerical methods, including the Taylor operational matrix method and the Haar wavelet operational matrix method. Notably, the accuracy of the proposed method remains consistent regardless of the choice of the function ψ, allowing for its application to a broader class of fractional differential equations, such as the classical Caputo derivative when ψ(x) = x. Future research directions include extending the method to fractional partial differential equations and systems of PCFDEs, thereby enhancing its applicability in the field.
Introduction
The introduction of this paper discusses the ψ-Caputo derivative, a generalized fractional derivative that incorporates an arbitrary kernel function, allowing for the derivation of classical fractional derivatives such as the Caputo and Caputo-Hadamard derivatives. This versatility highlights the ψ-Caputo derivative’s wide applicability across various scientific fields. The paper also emphasizes the residual power series method (RPSM) as a powerful technique for obtaining analytical solutions to fractional differential equations, having been successfully applied to a range of equations including the fractional Sharma-Tasso-Olever and Korteweg-de Vries equations.
Despite the extensive use of RPSM in solving various fractional differential equations, the authors note a gap in the literature regarding its application to ψ-Caputo fractional differential equations (PCFDEs). This study aims to address this gap by extending the RPSM to PCFDEs, specifically focusing on the equation \( D_{\alpha, \psi} y(x) + cy(x) = f(x) \) with initial conditions involving the ψ-Caputo derivative. The paper outlines its structure, with subsequent sections dedicated to the properties of the ψ-Caputo derivative, the construction of the ψ-Caputo RPSM, and applications of the proposed method.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational aspects and the algorithm of the Residual Power Series Method (RPSM) for solving fractional differential equations (FDEs) involving the ψ-Caputo derivative. They define the ψ fractional integral and the ψ-Caputo derivative, establishing key properties and lemmas that underpin the method. The RPSM is introduced as a numerical technique that approximates solutions to FDEs by expressing them as truncated power series expansions in terms of the function $(\psi(x) – \psi(0))$. The coefficients of these series are determined through a systematic approach involving the construction of a residual function, which is subsequently solved using initial conditions.
The authors present several applications of the RPSM, demonstrating its effectiveness through examples that include ψ-Caputo fractional relaxation-oscillation equations and other types of FDEs. They compare the results obtained using RPSM with those from existing methods, such as the Taylor operational matrix method and wavelet approaches, highlighting the superior accuracy of their method across various scenarios. The findings indicate that the RPSM not only achieves exact solutions for specific cases but also maintains high accuracy regardless of the choice of the function $\psi$. The authors conclude by suggesting that the RPSM can be extended to tackle more complex fractional partial differential equations and systems of FDEs, thus broadening its applicability in mathematical modeling.