DOI: https://doi.org/10.30538/oms2025.0249
تاريخ النشر: 2025-05-23
المؤلف: İvan Gutman وآخرون
الموضوع الرئيسي: مواضيع متقدمة في الجبر
نظرة عامة
مؤشر أويلر-سومبور، الذي يُرمز له بـ $EU$، هو ثابت رسومي يعتمد على درجات الرؤوس، يتم حسابه كمجموع الحدود $d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v$ لجميع أزواج الرؤوس المتجاورة $u$ و $v$، حيث تمثل $d_u$ و $d_v$ درجات هذه الرؤوس. تم تقديم نسخة متغيرة من هذا المؤشر، $EU(\lambda)$، مع حالات محددة لـ $\lambda = 2$، $-2$، $0$، و $1$ التي تتوافق مع مؤشر زغرب الأول، مؤشر ألبرتسون، مؤشر سومبور، ومؤشر أويلر-سومبور القياسي، على التوالي.
تحدد الدراسة الخصائص الأساسية لـ $EU(\lambda)$، بما في ذلك طرق حسابه التقريبي والحدود المتعلقة بأدنى وأعلى الدرجات، بالإضافة إلى ترتيب وحجم منتجات الرسوم البيانية المختلفة. بالإضافة إلى ذلك، تحدد الأبحاث قيم $\lambda$ التي تعمل على تحسين $EU(\lambda)$ للتنبؤ بالخصائص الجزيئية، مما يبرز تطبيقاته المحتملة في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية.
مقدمة
تقدم المقدمة مؤشر سومبور، الذي يُرمز له بـ \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \)، وهو ثابت رسومي يعتمد على درجات الرؤوس تم تطويره في البداية للتطبيقات الكيميائية ولكنه يُستخدم الآن عبر مجالات علمية متنوعة. تمت دراسة الخصائص الرياضية لمؤشر سومبور بشكل موسع، وتم تقديم ثابت جديد من نوع سومبور، وهو مؤشر أويلر-سومبور \( EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v) \)، بدافع من نموذج هندسي إهليلجي يقترب من محيط الإهليلج باستخدام صيغة أويلر.
تستكشف الورقة أيضًا نسخة متغيرة من مؤشر أويلر-سومبور، تعرف بـ \( EU(\lambda, G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + \lambda d_u d_v) \)، حيث \( \lambda \) هو عدد حقيقي. تشير المقدمة أيضًا إلى ثوابت رسومية أخرى هامة، مثل مؤشر زغرب الأول \( M_1(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u + d_v) \) ومؤشر ألبرتسون \( Alb(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u – d_v) \)، مما يبرز أهميتها في سياق أوصاف الجزيئات المعتمدة على درجات الرؤوس ومقاييس عدم الانتظام. يتم تأسيس العلاقات بين هذه المؤشرات من خلال حسابات مباشرة، مما يدل على ترابطها على الرغم من اختلاف الأشكال الجبرية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مقترحات رئيسية بشأن مؤشر أويلر-سومبور المتغير، الذي يُرمز له بـ $EU(\lambda, G)$، لرسم بياني بسيط $G$. تؤكد المقترحة 1 على مساوات محددة لـ $EU(\lambda, G)$ عند قيم معينة لـ $\lambda$: $EU(2, G) = M_1(G)$، $EU(-2, G) = Alb(G)$، $EU(0, G) = SO(G)$، و $EU(1, G) = EU(G)$. تسلط هذه العلاقات الضوء على الخصائص الأساسية لمؤشر أويلر-سومبور المتغير. تؤكد المقترحة 2 أن $EU(\lambda)$ معرف بشكل جيد لـ $\lambda \geq -2$، كما تم اشتقاقه من شرط الإيجابية لحد معين في صيغة المؤشر.
يقترح المؤلفون أيضًا تقريبًا متعدد الحدود من الدرجة الثانية لـ $EU(\lambda)$، مما يبسط الحسابات من خلال الاستفادة من المساوات المعروفة. يتم التعبير عن هذا التقريب كـ $EU(\lambda) \approx \frac{1}{8}(M_1 + Alb – 2SO) \lambda^2 + \frac{1}{4}(M_1 – Alb) \lambda + SO$، صالح لـ $\lambda \in [-2, 2]$. علاوة على ذلك، يستكشف القسم مؤشر أويلر-سومبور المتغير في سياق منتجات الرسوم البيانية، موضحًا الحدود لمختلف عمليات الرسوم البيانية مثل الكورونا، الكارتيزي، اللغوي، والمنتجات القوية. تقدم كل نظرية تم تقديمها حدودًا علوية وسفلية لـ $EU(\lambda, G \circ H)$، مشروطة بأعلى وأدنى درجات الرسوم البيانية المعنية، مع تحقيق المساواة للرسوم البيانية المنتظمة. أخيرًا، يناقش المؤلفون التطبيقات المحتملة لـ $EU(\lambda)$ في السياقات الكيميائية، لا سيما في نمذجة العلاقة بين المؤشرات الطوبولوجية والخصائص الكيميائية، على الرغم من أنهم يلاحظون التحديات في تحقيق علاقات مرضية مع الإنتروبيا القياسية لمتغيرات الأوكتان.
DOI: https://doi.org/10.30538/oms2025.0249
Publication Date: 2025-05-23
Author(s): İvan Gutman et al.
Primary Topic: Advanced Topics in Algebra
Overview
The Euler-Sombor index, denoted as $EU$, is a graph invariant based on vertex degrees, calculated as the sum of the terms $d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v$ for all pairs of adjacent vertices $u$ and $v$, where $d_u$ and $d_v$ represent the degrees of these vertices. A variable version of this index, $EU(\lambda)$, is introduced, with specific cases for $\lambda = 2$, $-2$, $0$, and $1$ corresponding to the first Zagreb index, Albertson index, Sombor index, and the standard Euler-Sombor index, respectively.
The study establishes fundamental properties of $EU(\lambda)$, including methods for its approximate calculation and bounds related to the minimum and maximum degrees, as well as the order and size of various graph products. Additionally, the research identifies values of $\lambda$ that optimize $EU(\lambda)$ for predicting molecular properties, highlighting its potential applications in chemical graph theory.
Introduction
The introduction presents the Sombor index, denoted as \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \), a vertex-degree-based graph invariant initially developed for chemical applications but now utilized across various scientific domains. The mathematical properties of the Sombor index are extensively studied, and a new Sombor-type invariant, the Euler-Sombor index \( EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v) \), has been introduced, motivated by an elliptic geometric model that approximates the perimeter of an ellipse using Euler’s formula.
The paper further explores a variable version of the Euler-Sombor index, defined as \( EU(\lambda, G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + \lambda d_u d_v) \), where \( \lambda \) is a real number. The introduction also references other significant graph invariants, such as the first Zagreb index \( M_1(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u + d_v) \) and the Albertson index \( Alb(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u – d_v) \), highlighting their relevance in the context of vertex-degree-based molecular descriptors and irregularity measures. The relationships among these indices are established through direct calculations, indicating their interconnectedness despite differing algebraic forms.
Discussion
In this section, the authors present key propositions regarding the variable Euler-Sombor index, denoted as $EU(\lambda, G)$, for a simple graph $G$. Proposition 1 establishes specific equalities for $EU(\lambda, G)$ at particular values of $\lambda$: $EU(2, G) = M_1(G)$, $EU(-2, G) = Alb(G)$, $EU(0, G) = SO(G)$, and $EU(1, G) = EU(G)$. These relationships highlight the foundational properties of the variable Euler-Sombor index. Proposition 2 asserts that $EU(\lambda)$ is well-defined for $\lambda \geq -2$, as derived from the positivity condition of a specific term in the index’s formula.
The authors also propose a second-degree polynomial approximation for $EU(\lambda)$, which simplifies calculations by leveraging the established equalities. This approximation is expressed as $EU(\lambda) \approx \frac{1}{8}(M_1 + Alb – 2SO) \lambda^2 + \frac{1}{4}(M_1 – Alb) \lambda + SO$, valid for $\lambda \in [-2, 2]$. Furthermore, the section explores the variable Euler-Sombor index in the context of graph products, detailing bounds for various graph operations such as the corona, Cartesian, lexicographic, and strong products. Each theorem presented provides upper and lower bounds for $EU(\lambda, G \circ H)$, contingent on the maximum and minimum degrees of the involved graphs, with equality holding for regular graphs. Lastly, the authors discuss potential applications of $EU(\lambda)$ in chemical contexts, particularly in modeling the relationship between topological indices and chemical properties, although they note challenges in achieving satisfactory correlations with standard entropy for octane isomers.