DOI: https://doi.org/10.46793/match95-1.14125
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Fateme Movahedi وآخرون
الموضوع الرئيسي: الرياضيات وتطبيقاتها
نظرة عامة
مؤشر سومبور المنقوص (DSO) هو ثابت رياضي تم تقديمه بالتزامن مع مؤشر سومبور الأصلي (SO)، ومع ذلك، فقد ظل غير مستكشف إلى حد كبير حتى الآن. تهدف هذه الورقة إلى معالجة هذا الإغفال من خلال تقديم تحقيق شامل لمؤشر سومبور المنقوص. يظهر المؤلفون أن DSO يمتلك العديد من الخصائص الرياضية المثيرة ويظهر قدرات تنبؤية متفوقة لبعض الخصائص مقارنة بمؤشرات سومبور الأخرى.
تشير النتائج إلى أن مؤشر سومبور المنقوص يمكن أن يلعب دورًا مهمًا ضمن السياق الأوسع لمؤشرات سومبور، لا سيما في التطبيقات المتعلقة بالكيمياء الرياضية. يعبر المؤلفون عن تفاؤلهم بأن DSO سيتم دمجه في الجهود البحثية المستقبلية، مما يعزز الفهم وفائدة الثوابت الرسومية في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة مؤشر سومبور، وهو ثابت رسومي تم تقديمه في عام 2021، ويعرف بأنه \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \). تم اقتراح متغير يعرف بمؤشر سومبور المنقوص، \( DSO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \frac{d_u^2 + d_v^2}{d_u + d_v} \)، من قبل راجاتاغيري في نفس العام، لكنه لم يتم دراسته بشكل موسع منذ ذلك الحين. يهدف المؤلفون إلى معالجة هذه الفجوة من خلال استكشاف الخصائص والآثار لمؤشر سومبور المنقوص.
تؤسس هذه القسم أيضًا تعريفات أساسية، بما في ذلك درجة الرأس وأنواع الرسوم البيانية المحددة، مثل الدورات، والمسارات، والرسوم البيانية الكاملة. يقدم المؤلفون نتائج رئيسية، بما في ذلك عدم المساواة التي تصف مؤشر سومبور المنقوص بالنسبة لحجم الرسم البياني وبنيته. ومن الجدير بالذكر أنهم يظهرون أنه بالنسبة لرسم بياني \( G \) بحجم \( m \)، فإن مؤشر سومبور المنقوص يحقق \( \sqrt{2} \cdot 2m \leq DSO(G) \leq m \)، مع شروط المساواة المحددة للرسوم البيانية المنتظمة والرسوم البيانية الكاملة. تمهد المقدمة الطريق لاستكشاف مزيد من خصائص مؤشر سومبور المنقوص وأهميته في نظرية الرسوم البيانية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تحليلًا شاملاً لمؤشر سومبور المنقوص (DSO) لأنواع مختلفة من الرسوم البيانية، ويؤسسون خصائص رياضية رئيسية وحدود. يستخرجون صيغًا صريحة لـ DSO لعدة رسوم بيانية قياسية، بما في ذلك الرسوم البيانية الكاملة، والدورات، والمسارات، والرسوم البيانية الثنائية، مما يظهر أن DSO يتأثر بدرجات الرؤوس وبنية الرسم البياني. يتم تقديم نظريات لوصف القيم القصوى لـ DSO، كاشفين أن رسم المسار يقلل من DSO بينما الرسم البياني الكامل يزيده. يناقش المؤلفون أيضًا آثار هذه النتائج، مشيرين إلى أن DSO حساس للتغيرات الهيكلية في الرسوم البيانية ويمكن أن يكون وصفًا مفيدًا في الكيمياء الرياضية.
علاوة على ذلك، يقوم المؤلفون بإجراء تحليل عددي يقارن DSO بمؤشرات سومبور الأخرى، مسلطين الضوء على قدرته التنبؤية المتفوقة لخصائص الفيزيائية الكيميائية للأوكتانات، مثل نقطة الغليان والانثالبي للتكوين. يجدون أن DSO يظهر ارتباطات قوية مع هذه الخصائص، متفوقًا على مؤشرات سومبور التقليدية. يكشف التحليل أيضًا أنه بينما يرتبط DSO بمؤشرات أخرى، فإنه يحتفظ بمعلومات فريدة، مما يشير إلى إمكانيته في البحث المستقبلي. بشكل عام، يتم وضع مؤشر سومبور المنقوص كإضافة قيمة لعائلة مؤشرات سومبور، مع تطبيقات واعدة في دراسة الرسوم البيانية الجزيئية.
DOI: https://doi.org/10.46793/match95-1.14125
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Fateme Movahedi et al.
Primary Topic: Mathematics and Applications
Overview
The diminished Sombor index (DSO) is a mathematical invariant introduced concurrently with the original Sombor index (SO), yet it has remained largely unexplored until now. This paper aims to address this oversight by providing a thorough investigation of the diminished Sombor index. The authors demonstrate that DSO possesses several intriguing mathematical properties and exhibits superior predictive capabilities for certain characteristics compared to other Sombor indices.
The findings suggest that the diminished Sombor index could play a significant role within the broader context of Sombor indices, particularly in applications related to mathematical chemistry. The authors express optimism that DSO will be integrated into future research endeavors, enhancing the understanding and utility of graph invariants in this field.
Introduction
The introduction of the paper discusses the Sombor index, a graph invariant introduced in 2021, defined as \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \). A variant known as the diminished Sombor index, \( DSO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \frac{d_u^2 + d_v^2}{d_u + d_v} \), was proposed by Rajathagiri in the same year, but has not been extensively studied since. The authors aim to address this gap by exploring the properties and implications of the diminished Sombor index.
The section also establishes foundational definitions, including vertex degree and specific graph types, such as cycles, paths, and complete graphs. The authors present key results, including inequalities that characterize the diminished Sombor index in relation to graph size and structure. Notably, they demonstrate that for a graph \( G \) of size \( m \), the diminished Sombor index satisfies \( \sqrt{2} \cdot 2m \leq DSO(G) \leq m \), with equality conditions specified for regular graphs and complete graphs. The introduction sets the stage for further exploration of the diminished Sombor index’s properties and its significance in graph theory.
Discussion
In this section, the authors present a comprehensive analysis of the diminished Sombor index (DSO) for various graph types, establishing key mathematical properties and bounds. They derive explicit formulas for the DSO of several standard graphs, including complete graphs, cycles, paths, and bipartite graphs, demonstrating that the DSO is influenced by the degrees of vertices and the structure of the graph. Theorems are introduced to characterize the extremal values of DSO, revealing that the path graph minimizes DSO while the complete graph maximizes it. The authors also discuss the implications of these findings, noting that the DSO is sensitive to structural changes in graphs and can serve as a useful descriptor in mathematical chemistry.
Furthermore, the authors conduct a numerical analysis comparing the DSO with other Sombor indices, highlighting its superior predictive ability for physicochemical properties of octanes, such as boiling point and enthalpy of formation. They find that DSO exhibits strong correlations with these properties, outperforming traditional Sombor indices. The analysis also reveals that while DSO is correlated with other indices, it retains unique information, suggesting its potential utility in future research. Overall, the diminished Sombor index is positioned as a valuable addition to the family of Sombor indices, with promising applications in the study of molecular graphs.