DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026221
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: H. G. Abdelwahed وآخرون
الموضوع الرئيسي: الموجات غير الخطية والسوليتونات
نظرة عامة
في هذه الورقة، يستكشف المؤلفون حلول عشوائية جديدة لنظام ماكاري المترابط من خلال دمج عملية وينر لأخذ الاضطرابات العشوائية في الاعتبار. يوفر هذا النهج إطارًا قويًا لنمذجة الظواهر التي يؤثر فيها الضجيج بشكل كبير على سلوك النظام، مثل الألياف الضوئية، وديناميات البلازما، وتطور واجهات السوائل. يتم استخدام طريقة الدالة الممتدة (ETFM) لاشتقاق حلول موجات منعزلة تحليلية صريحة، بما في ذلك حلول شبيهة بالسوليتون، والانفجار، والدورية، والنوع العقلاني، تحت التأثيرات العشوائية. يتم توضيح سلوك انتشار هذه الموجات المنعزلة من خلال تمثيلات رسومية ثنائية الأبعاد تم إنشاؤها باستخدام MATLAB، مما يكشف عن تفاعلات معقدة بين الديناميات غير الخطية الحتمية والتقلبات العشوائية.
تسلط النتائج الضوء على العلاقة المعقدة بين ديناميات الموجات غير الخطية والتأثيرات العشوائية، موضحة كيف يؤثر الضجيج على السعة، والشكل، واستقرار انتشار الموجات. لا تعزز الحلول المطورة الفهم النظري للأنظمة غير الخطية العشوائية فحسب، بل تحمل أيضًا تطبيقات محتملة في مجالات متنوعة حيث تلعب الاضطرابات العشوائية دورًا حاسمًا. تؤسس هذه الدراسة أساسًا لاستكشاف التأثيرات العشوائية في الأنظمة غير الخطية متعددة الأبعاد وآثارها العملية في المستقبل.
مقدمة
تسلط مقدمة ورقة البحث الضوء على أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (NPDEs) كإطار رياضي متعدد الاستخدامات لنمذجة الأنظمة الديناميكية المعقدة عبر مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك ديناميات السوائل، وفيزياء البلازما، والميكانيكا الكمومية. على عكس المعادلات الخطية، تأخذ NPDEs في الاعتبار التفاعلات غير الخطية التي تؤدي إلى ظواهر مثل الاضطراب، والفوضى، والسوليتونات. لقد عززت التقدمات الأخيرة في التقنيات التحليلية والحسابية، بما في ذلك تحليل التماثل وتعلم الآلة، استكشاف NPDEs، كاشفة عن فئات جديدة من الحلول والهياكل الناشئة التي تحكم الأنظمة المعقدة.
تناقش الورقة بشكل خاص الموجات المنعزلة، التي تجسد الديناميات غير الخطية من خلال الحفاظ على شكلها وسرعتها أثناء الانتشار، مما يتناقض مع الموجات المبددة التقليدية. لهذه الموجات آثار عملية في مجالات مثل المعلومات الكمومية والاتصالات الضوئية. تتناول المقدمة أيضًا المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية (SPDEs)، التي تدمج العشوائية في الأطر التقليدية للمعادلات التفاضلية الجزئية، مما يمكّن من نمذجة الظواهر المعقدة حيث تفشل الأساليب الحتمية. يتم التأكيد على عملية وينر كعنصر أساسي في التحليل العشوائي، مما يربط العشوائية بالسلوكيات الكلية.
علاوة على ذلك، تقدم المقدمة نظام ماكاري، وهو نموذج يصف التفاعلات بين مكونات الموجات الطويلة والقصيرة في الوسائط غير الخطية المشتتة. تمتد الدراسة لهذا النموذج لتشمل التأثيرات العشوائية من خلال عملية وينر، مما يؤدي إلى نظام ماكاري العشوائي الذي يلتقط الطبيعة غير القابلة للتنبؤ لتفاعلات الموجات المتأثرة بالتقلبات العشوائية. تستخدم البحث طريقة الدالة الممتدة (ETFM) لاشتقاق حلول جديدة للموجات المنعزلة العشوائية، مما يمثل مساهمة كبيرة في فهم ديناميات الموجات في البيئات المليئة بالضجيج. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى استكشاف شامل لنظام ماكاري المترابط وامتداداته العشوائية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تحليلًا رياضيًا لنظام ماكاري العشوائي، مستخدمين نهج تحويل الموجات لاشتقاق المعادلات التي تحكم ديناميات الموجات. يستخدمون طريقة التان الممتدة (ETFM) للحصول على حلول للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (NPDEs)، كاشفين عن علاقة بين المتغيرات $u$ و $p$ من خلال استبدال يبسط المعادلات. يتم تصنيف الحلول إلى عائلات بناءً على إشارة المعامل $\lambda + k^2$، مما يؤدي إلى أشكال مختلفة من حلول الموجات، بما في ذلك الدوال الزائدية والدوال المثلثية، التي يتم التعبير عنها من حيث المتغيرات الأصلية.
تؤكد التفسير الفيزيائي على أهمية دمج العناصر العشوائية، الممثلة من خلال عملية وينر، في نظام ماكاري. يسمح هذا الإدراج باستكشاف كيفية تأثير التقلبات العشوائية على انتشار الموجات، كاشفًا عن ظواهر مثل تعديل الضجيج والرنين العشوائي. يجادل المؤلفون بأن الحلول العشوائية توفر إطارًا أكثر واقعية لفهم سلوك الموجات في سياقات فيزيائية متنوعة، بما في ذلك الألياف الضوئية ووسائط البلازما، حيث تلعب العشوائية دورًا حاسمًا. تؤكد النتائج على التفاعل بين الديناميات غير الخطية والاضطرابات العشوائية، مما يبرز الآثار العملية لنموذجهم في التطبيقات الواقعية.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026221
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): H. G. Abdelwahed et al.
Primary Topic: Nonlinear Waves and Solitons
Overview
In this paper, the authors investigate novel stochastic solutions for the coupled Maccari system by incorporating the Wiener process to account for random perturbations. This approach provides a robust framework for modeling phenomena where noise significantly influences system behavior, such as in optical fibers, plasma dynamics, and fluid interface evolution. The extended tanh function method (ETFM) is employed to derive explicit analytical solitary wave solutions, including soliton-like, blow-up, periodic, and rational-type solutions, under stochastic influences. The propagation behavior of these solitary waves is illustrated through 2D graphical representations generated with MATLAB, revealing complex interactions between deterministic nonlinear dynamics and stochastic fluctuations.
The findings highlight the intricate relationship between nonlinear wave dynamics and stochastic effects, demonstrating how noise impacts the amplitude, form, and stability of wave propagation. The developed solutions not only enhance the theoretical understanding of stochastic nonlinear systems but also hold potential applications in various fields where random disturbances play a crucial role. This research establishes a foundation for future exploration of stochastic effects in multidimensional nonlinear systems and their practical implications.
Introduction
The introduction of the research paper highlights the significance of nonlinear partial differential equations (NPDEs) as a versatile mathematical framework for modeling complex dynamical systems across various scientific fields, including fluid dynamics, plasma physics, and quantum mechanics. Unlike linear equations, NPDEs account for nonlinear interactions that lead to phenomena such as turbulence, chaos, and solitons. Recent advancements in analytical and computational techniques, including symmetry analysis and machine learning, have enhanced the exploration of NPDEs, revealing new classes of solutions and emergent structures that govern complex systems.
The paper specifically discusses solitary waves, which exemplify nonlinear dynamics by maintaining their shape and speed during propagation, contrasting with conventional dissipative waves. These waves have practical implications in fields like quantum information and optical communication. The introduction also addresses stochastic partial differential equations (SPDEs), which incorporate randomness into traditional PDE frameworks, enabling the modeling of complex phenomena where deterministic approaches fall short. The Wiener process is emphasized as a foundational element in stochastic analysis, bridging randomness with macroscopic behaviors.
Furthermore, the introduction presents the Maccari system, a model that describes interactions between long-wave and short-wave components in nonlinear dispersive media. The study extends this model to include stochastic effects through the Wiener process, resulting in a stochastic Maccari system that captures the unpredictable nature of wave interactions influenced by random fluctuations. The research employs the extended tanh function method (ETFM) to derive novel stochastic solitary wave solutions, marking a significant contribution to the understanding of wave dynamics in noisy environments. The structure of the paper is outlined, indicating a comprehensive exploration of the coupled Maccari system and its stochastic extensions.
Discussion
In this section, the authors present a mathematical analysis of the stochastic Maccari system, employing a wave transformation approach to derive equations governing wave dynamics. They utilize the Extended Tan Method (ETFM) to obtain solutions to the nonlinear partial differential equations (NPDEs), revealing a relationship between the variables $u$ and $p$ through a substitution that simplifies the equations. The solutions are categorized into families based on the sign of the parameter $\lambda + k^2$, leading to various forms of wave solutions, including hyperbolic and trigonometric functions, which are expressed in terms of the original variables.
The physical interpretation emphasizes the significance of incorporating stochastic elements, represented by a Wiener process, into the Maccari system. This inclusion allows for the exploration of how random fluctuations influence wave propagation, revealing phenomena such as noise-induced modulation and stochastic resonance. The authors argue that the stochastic solutions provide a more realistic framework for understanding wave behavior in various physical contexts, including optical fibers and plasma media, where randomness plays a critical role. The findings underscore the interplay between nonlinear dynamics and stochastic perturbations, highlighting the practical implications of their model in real-world applications.