DOI: https://doi.org/10.5937/vojtehg72-48818
تاريخ النشر: 2024-01-01
المؤلف: İvan Gutman
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
تقدم البحث مؤشر أويلر-سومبور (EU)، وهو ثابت جديد يعتمد على درجة الرأس تم اشتقاقه من خلال اعتبارات هندسية، ويوضح علاقته بمؤشر سومبور الحالي (SO). يستخدم المؤلفون نظرية الرسوم البيانية التوافقية لتأسيس هذه العلاقة بشكل صارم.
تشمل النتائج الرئيسية صياغة عدم المساواة التي تحدد العلاقة بين مؤشري EU و SO. يعزز هذا العمل الإطار النظري المحيط بالثوابت الشبيهة بمؤشر سومبور، مما يساهم في الفهم الأوسع لخصائص الرسوم البيانية وتطبيقاتها في سياقات رياضية متنوعة.
مقدمة
تناقش المقدمة الاهتمام المتزايد في الثوابت الرسومية المعتمدة على درجة الرأس (VDB) ضمن الأدبيات الرياضية والرياضية التطبيقية، مع تسليط الضوء على الدراسات الرئيسية والتطورات الأخيرة في هذا المجال. كانت هناك اختراقات كبيرة في التفسير الهندسي لبعض الثوابت VDB، مما أدى إلى سلسلة من جهود البحث التي تركز على الهندسة. من بين هذه الثوابت، اكتسب مؤشر سومبور، الذي قدمه غوتمان في عام 2021، شهرة ويعرف رياضيًا على أنه
\[
SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2),
\]
حيث \(d_u\) و \(d_v\) هما درجات الرؤوس \(u\) و \(v\)، على التوالي. لقد تم دراسة هذا المؤشر وتطبيقه بشكل مكثف، خاصة في الكيمياء، كما يتضح من العديد من المنشورات الأخيرة.
بالإضافة إلى ذلك، تذكر المقدمة كمية ذات صلة، تُسمى “مؤشر أويلر-سومبور”، الذي يعرف على أنه
\[
EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u + d_v),
\]
الذي تم استكشافه أيضًا في الأبحاث الأخيرة. يحدد الورقة مصطلحاته وتعريفاته، معرفًا \(G\) كرسمة بسيطة تحتوي على \(n\) رأسًا و \(m\) حافة، ويقدم مراجع لمزيد من التفاصيل حول نظرية الرسوم البيانية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون نهجًا هندسيًا للثوابت الرسومية VDB، مع التركيز بشكل خاص على العلاقة بين مؤشر سومبور (SO) ومؤشر أويلر-سومبور الجديد (EU). يتم التعبير عن الثابت الرسومي VDB كمجموع يتضمن دالة متناظرة $f(x,y)$، حيث يتم تفسير أزواج درجات الرأس $(d_u, d_v)$ كنقاط في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد. ترتبط المسافة بين هذه النقاط بمؤشر عدم الانتظام لألبيرتسون، ويقترح نموذج هندسي حيث تعمل هذه النقاط كمراكز لقطع ناقص، مما يسمح بحساب مساحة القطع الناقص ومحيطه بالنسبة للثابت VDB.
يؤسس المؤلفون عدة نظريات تقدم عدم المساواة التي تربط بين SO و EU للرسوم البيانية المتصلة. على وجه التحديد، تُظهر النظرية 1 أنه بالنسبة لأي رسم بياني متصل $G$، فإن العلاقة $2 EU(G) < SO(G) < 3 EU(G)$ صحيحة، مع حدوث المساواة على الجانب الأيسر فقط للرسوم البيانية المنتظمة. تقوم النظريات اللاحقة بتنقيح هذه عدم المساواة تحت ظروف هيكلية محددة للرسوم البيانية، مثل أنواع الحواف الموجودة. على سبيل المثال، تُظهر النظرية 2 أنه إذا كانت جميع الحواف من النوع (1,1)، فإن المساواة تتحقق، بينما تتناول النظرية 4 الرسوم البيانية التي لا تحتوي على رؤوس من الدرجة 1، مما يثبت علاقة مماثلة للحواف من النوع (2,2). تساهم هذه النتائج في فهم الثوابت الرسومية وعلاقاتها المتبادلة، مما يعزز الإطار النظري المحيط بمؤشري سومبور وأويلر-سومبور.
DOI: https://doi.org/10.5937/vojtehg72-48818
Publication Date: 2024-01-01
Author(s): İvan Gutman
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
The research introduces the Euler-Sombor index (EU), a novel vertex-degree-based graph invariant derived through geometric considerations, and elucidates its relationship with the existing Sombor index (SO). The authors employ combinatorial graph theory to rigorously establish this connection.
Key findings include the formulation of inequalities that delineate the relationship between the EU and SO indices. This work enhances the theoretical framework surrounding Sombor-index-like graph invariants, thereby contributing to the broader understanding of graph properties and their applications in various mathematical contexts.
Introduction
The introduction discusses the growing interest in vertex-degree-based (VDB) graph invariants within mathematical and applied-mathematical literature, highlighting key studies and recent developments in this area. A significant breakthrough was the geometric interpretation of certain VDB invariants, which has spurred a series of geometry-focused research efforts. Among these invariants, the Sombor index, introduced by Gutman in 2021, has gained prominence and is defined mathematically as
\[
SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2),
\]
where \(d_u\) and \(d_v\) are the degrees of vertices \(u\) and \(v\), respectively. This index has been extensively studied and applied, particularly in chemistry, as evidenced by various recent publications.
Additionally, the introduction mentions a related quantity, termed the “Euler-Sombor index,” defined as
\[
EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u + d_v),
\]
which has also been explored in recent research. The paper establishes its notation and terminology, defining \(G\) as a simple graph with \(n\) vertices and \(m\) edges, and provides references for further details on graph theory.
Discussion
In this section, the authors discuss a geometric approach to VDB graph invariants, particularly focusing on the relationship between the Sombor index (SO) and the newly introduced Euler-Sombor index (EU). The VDB graph invariant is expressed as a summation involving a symmetric function $f(x,y)$, where the vertex-degree pairs $(d_u, d_v)$ are interpreted as points in a 2D coordinate system. The distance between these points relates to the Albertson irregularity index, and a geometric model is proposed where these points serve as foci of an ellipse, allowing for the calculation of the ellipse’s area and perimeter in relation to the VDB invariant.
The authors establish several theorems that provide inequalities linking SO and EU for connected graphs. Specifically, Theorem 1 demonstrates that for any connected graph $G$, the relationship $2 EU(G) < SO(G) < 3 EU(G)$ holds, with equality on the left side occurring only for regular graphs. Subsequent theorems refine these inequalities under specific structural conditions of the graphs, such as the types of edges present. For instance, Theorem 2 shows that if all edges are of the (1,1)-type, the equality holds, while Theorem 4 addresses graphs without vertices of degree 1, establishing a similar relationship for edges of the (2,2)-type. These findings contribute to the understanding of graph invariants and their interrelations, enhancing the theoretical framework surrounding the Sombor and Euler-Sombor indices.