DOI: https://doi.org/10.1007/s00466-024-02477-1
تاريخ النشر: 2024-05-06
المؤلف: Max Rosenkranz وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقليل النماذج والشبكات العصبية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة نهجًا جديدًا لنمذجة المواد اللزجة غير الخطية المعتمدة على البيانات عند الانفعالات الصغيرة، باستخدام الشبكات العصبية المعززة بالفيزياء (NNs) التي تتطلب فقط مسارات الإجهاد والانفعال للتدريب. يعتمد النموذج على مفهوم المواد القياسية العامة (GSMs)، مما يضمن الاتساق الديناميكي الحراري من خلال صياغة الطاقة الحرة وإمكانات التبدد، والتي يمكن التعبير عنها من حيث مكونات التنسور أو الثوابت المناسبة. تستخدم عملية التدريب خلية الذاكرة القصيرة والطويلة (LSTM) لتوليد المتغيرات الداخلية تلقائيًا، مما يظهر القوة والمرونة عبر مجموعات بيانات متنوعة، بما في ذلك تلك التي تحتوي على بيانات إجهاد مثالية وصاخبة.
تقارن الدراسة بين الصياغة المعتمدة على الثوابت المقترحة مع نهج قائم على الإحداثيات، مما يبرز مزايا الأولى من حيث كفاءة البيانات والدقة وقدرات الاستقراء. يتم تقييم ثلاث طرق تدريب، مما يكشف أنه بينما تنتج جميع الطرق توقعات دقيقة، يتفوق نموذج الشبكة العصبية المتكررة (RNN) في التعامل مع مجموعات بيانات كبيرة تحتوي على تسلسلات متعددة. تشير النتائج إلى أن الإطار يمكنه بشكل فعال معايرة نموذج تكويني ثلاثي الأبعاد كامل قادر على توقع حالات إجهاد متعددة المحاور بشكل عشوائي من بيانات تدريب ثنائية أو أحادية المحور محدودة. ومع ذلك، تعترف الدراسة بالقيود المتعلقة بفرضية وجود متغير داخلي واحد، مما يشير إلى أن الأبحاث المستقبلية يمكن أن تستكشف دمج متغيرات داخلية متعددة وتطبيقات على سلوكيات المواد الأكثر تعقيدًا.
مقدمة
في المقدمة، يبرز المؤلفون التحديات المرتبطة بنمذجة المواد الجديدة التي تظهر سلوكيات تكوينية معقدة، على الرغم من توفر العديد من النماذج التكوينية الكلاسيكية للمواد غير الخطية المرنة وغير المرنة. غالبًا ما تكون عملية اختيار نموذج مناسب وتحديد معلمات المادة المقابلة بدقة عملية تستغرق وقتًا طويلاً وقد لا تؤدي إلى الدقة المطلوبة في النتائج. وهذا يبرز الحاجة إلى تحسين المنهجيات في توصيف مثل هذه المواد لتعزيز القدرات التنبؤية في تطبيقات متنوعة.
طرق
في هذا القسم، يناقش المؤلفون إطار المواد القياسية العامة (GSMs)، الذي يسهل تطوير نماذج تكوينية متسقة ديناميكيًا حراريًا تتميز بوظيفتين عدديتين. يتم ضمان الاتساق الديناميكي الحراري من خلال الالتزام بعدم المساواة كلوزيوس-دوهم، المعبر عنها كـ \( D = \sigma : \dot{\epsilon} – \psi \geq 0 \)، حيث \( D \) يدل على معدل التبدد، و\( \sigma \) هو توتر الإجهاد، و\( \dot{\epsilon} \) هو معدل الانفعال، و\( \psi \) هو كثافة الطاقة الحرة هيلمهولتز. يتم اشتقاق الإجهاد \( \sigma \) والقوى الداخلية \( \tau_\alpha \) من الطاقة الحرة من خلال التفاضل، بينما يتم تقديم إمكانات التبدد \( \phi(q_\alpha, \dot{q}_\alpha, \epsilon) \) لأخذ معدلات المتغيرات الداخلية في الاعتبار. يتطلب بناء نموذج تكويني أن تلبي \( \phi \) شروطًا معينة من التقعر وعدم السلبية، مما يضمن الامتثال لعدم المساواة في التبدد.
يتناول القسم أيضًا طرق التدريب للمتغيرات الداخلية، والتي تعتبر ضرورية لتدريب النموذج ولكن غالبًا ما تكون غائبة عن مجموعات البيانات التجريبية. يقدم المؤلفون ثلاث طرق لتقدير هذه المتغيرات الداخلية: طريقتان موجودتان تدمجان معادلة التطور أو تستخدمان شبكة عصبية تغذوية مساعدة (FNN)، وطريقة جديدة تستخدم شبكة عصبية متكررة (RNN). يتم تقييم فعالية هذه الطرق باستخدام مجموعات بيانات \( D_{\text{multiax}}^{1 \times 200} \) ونظيرتها الصاخبة، مع التركيز على توقعات الإجهاد وتطور المتغيرات الداخلية أثناء التدريب. يتم توضيح النتائج من خلال الرسوم البيانية المتناثرة وتوقعات السلاسل الزمنية، مع تقديم تحليل مفصل لخسائر التدريب في الملحق.
نقاش
يسلط النقاش حول النمذجة التكوينية باستخدام الشبكات العصبية (NNs) الضوء على الأهمية التاريخية للأعمال المبكرة، لا سيما من قبل غابوسي وآخرين في التسعينيات، الذين قدموا الشبكات العصبية التغذوية (FNNs) لتوقع الهسترس في حالات الإجهاد. شهدت التطورات اللاحقة دمج الشبكات العصبية المتكررة (RNNs)، مثل الذاكرة القصيرة والطويلة (LSTM) ووحدات التكرار المغلقة (GRUs)، التي تقوم بنمذجة السلوكيات المعتمدة على التاريخ بفعالية دون الحاجة إلى متغيرات داخلية صريحة. ومع ذلك، لا يزال هناك تحدٍ حاسم: نقص المبادئ الفيزيائية، لا سيما القانون الثاني للديناميكا الحرارية، في هذه النماذج العصبية. يمكن أن يؤدي هذا الغياب إلى توقعات غير موثوقة خارج نطاق بيانات التدريب، مما يتطلب نهجًا أكثر إلمامًا بالفيزياء لتعزيز القوة وقدرات الاستقراء.
تركز الجهود الأخيرة على تطوير نماذج NN المعززة بالفيزياء التي تدمج المبادئ الفيزيائية الأساسية في هيكلها. تهدف هذه النماذج إلى دمج نقاط القوة في النمذجة التكوينية التقليدية مع مرونة الأساليب المعتمدة على البيانات. تقدم الورقة نموذجًا جديدًا معززًا بالفيزياء للمواد اللزجة، والذي يتسم بالاتساق الديناميكي الحراري ويتطلب فقط مسارات الإجهاد والانفعال للتدريب. يستخدم النموذج المواد القياسية العامة، مستفيدًا من FNNs والشبكات العصبية المدخلة الجزئية المقعرة (PICNNs) لتمثيل الطاقة الحرة وإمكانات التبدد. تعتمد طريقة التدريب المقترحة، المستندة إلى خلايا LSTM، على توليد المتغيرات الداخلية بكفاءة خلال عملية التدريب. تهدف الدراسة إلى تقييم هذا النهج مقارنة بالطرق الحالية، مما يظهر فعاليته في إنتاج نماذج تكوينية ثلاثية الأبعاد دقيقة عبر حالات الإجهاد المختلفة، وبالتالي معالجة قيود النماذج السابقة المعتمدة على الشبكات العصبية في التقاط تعقيدات السلوك اللزج.
DOI: https://doi.org/10.1007/s00466-024-02477-1
Publication Date: 2024-05-06
Author(s): Max Rosenkranz et al.
Primary Topic: Model Reduction and Neural Networks
Overview
This research presents a novel approach for the data-driven modeling of nonlinear viscoelastic materials at small strains, utilizing physics-augmented neural networks (NNs) that require only stress and strain paths for training. The model is grounded in the concept of generalized standard materials (GSMs), ensuring thermodynamic consistency through the formulation of free energy and dissipation potential, which can be expressed in terms of tensor components or suitable invariants. The training process employs a long short-term memory (LSTM) cell to automatically generate internal variables, demonstrating robustness and flexibility across various datasets, including those with ideal and noisy stress data.
The study compares the proposed invariant-based formulation with a coordinate-based approach, highlighting the advantages of the former in terms of data efficiency, accuracy, and extrapolation capabilities. Three training methods are evaluated, revealing that while all methods yield accurate predictions, the recurrent neural network (RNN) model excels in handling large datasets with multiple sequences. The findings indicate that the framework can effectively calibrate a complete 3D constitutive model capable of predicting arbitrary multiaxial stress states from limited bi- or uniaxial training data. However, the study acknowledges limitations related to the assumption of a single internal variable, suggesting future research could explore the incorporation of multiple internal variables and applications to more complex material behaviors.
Introduction
In the introduction, the authors highlight the challenges associated with modeling novel materials that exhibit complex constitutive behaviors, despite the availability of numerous classical constitutive models for nonlinear elastic and inelastic materials. The process of selecting an appropriate model and accurately identifying the corresponding material parameters is often labor-intensive and may not yield the desired precision in results. This underscores the need for improved methodologies in the characterization of such materials to enhance predictive capabilities in various applications.
Methods
In this section, the authors discuss the framework of Generalized Standard Materials (GSMs), which facilitates the development of thermodynamically consistent constitutive models characterized by two scalar functions. The thermodynamic consistency is ensured by adhering to the Clausius-Duhem inequality, expressed as \( D = \sigma : \dot{\epsilon} – \psi \geq 0 \), where \( D \) denotes the dissipation rate, \( \sigma \) the stress tensor, \( \dot{\epsilon} \) the strain rate, and \( \psi \) the Helmholtz free energy density. The stress \( \sigma \) and internal forces \( \tau_\alpha \) are derived from the free energy through differentiation, while a dissipation potential \( \phi(q_\alpha, \dot{q}_\alpha, \epsilon) \) is introduced to account for the rates of internal variables. The construction of a constitutive model requires that \( \phi \) meets specific convexity and non-negativity conditions, ensuring compliance with the dissipation inequality.
The section further elaborates on training methods for internal variables, which are essential for model training but often absent from experimental datasets. The authors present three approaches to estimate these internal variables: two existing methods that integrate the evolution equation or utilize an auxiliary feedforward neural network (FNN), and a novel method employing a recurrent neural network (RNN). The effectiveness of these methods is evaluated using datasets \( D_{\text{multiax}}^{1 \times 200} \) and its noisy counterpart, focusing on stress predictions and the evolution of internal variables during training. Results are illustrated through scatter diagrams and time series predictions, with a detailed analysis of training losses provided in the appendix.
Discussion
The discussion on constitutive modeling using neural networks (NNs) highlights the historical significance of early works, particularly by Ghaboussi et al. in the 1990s, which introduced feedforward neural networks (FNNs) for predicting hysteresis in stress states. Subsequent advancements have seen the integration of recurrent neural networks (RNNs), such as long short-term memory (LSTM) and gated recurrent units (GRUs), which effectively model history-dependent behaviors without requiring explicit internal variables. However, a critical challenge remains: the lack of physical principles, particularly the second law of thermodynamics, in these NN models. This absence can lead to unreliable predictions outside the training data range, necessitating a more physics-informed approach to enhance robustness and extrapolation capabilities.
Recent efforts have focused on developing physics-augmented NN models that incorporate fundamental physical principles into their architecture. These models aim to combine the strengths of traditional constitutive modeling with the flexibility of data-driven approaches. The paper presents a novel physics-augmented NN model for viscoelastic materials, which is thermodynamically consistent and requires only stress and strain paths for training. The model employs generalized standard materials, utilizing FNNs and partially input convex neural networks (PICNNs) to represent free energy and dissipation potentials. The proposed training method, based on LSTM cells, efficiently generates internal variables during the training process. The study aims to benchmark this approach against existing methods, demonstrating its effectiveness in producing accurate 3D constitutive models across various stress states, thus addressing the limitations of previous NN-based models in capturing the complexities of viscoelastic behavior.