DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.549a
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Abeer M. Albalahi وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
تناقش هذه القسم خصائص الرسوم البيانية الجزيئية، وبالتحديد تلك التي لها درجة قصوى تبلغ 4، وتعرف الرسم البياني ثلاثي الدورات على أنه رسم بياني متصل من الرتبة \( n \) والحجم \( n + 2 \). يؤكد المؤلفون أن النتائج الرئيسية من دراسة حديثة أجراها ج. أ. كيزيليرماك يمكن اشتقاقها باستخدام النتائج المعروفة في هذا المجال. بالإضافة إلى ذلك، تحدد الورقة الرسوم البيانية التي تحقق قيمًا مثالية لمؤشر أويلر-سومبور ضمن فئة الرسوم البيانية الجزيئية ثلاثية الدورات لرتبة محددة، مما يساهم في فهم خصائصها الهيكلية.
مقدمة
تركز مقدمة هذه الورقة على الرسوم البيانية المتصلة والبسيطة، مع التأكيد على أهمية المؤشرات الطوبولوجية في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية. تسلط الضوء على مؤشر سومبور (SO)، الذي قدمه غوتمان، والذي يُعرف على أنه
\[
SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2
\]
حيث \(E(G)\) هو مجموعة الحواف للرسم البياني \(G\) و\(d(u)\) تشير إلى درجة الرأس \(u\). لقد حظي مؤشر SO باهتمام كبير في السنوات الأخيرة لتطبيقاته في الكيمياء وخصائصه الرياضية، كما تم مناقشته في العديد من الاستطلاعات.
بالإضافة إلى ذلك، تقدم الورقة مؤشر سومبور البيضاوي (ESO)، الذي يُعرف على أنه
\[
ESO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u) + d(v)) \cdot (d(u))^2 + (d(v))^2
\]
ومؤشر أويلر-سومبور، المعطى بواسطة
\[
EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 + d(u)d(v)
\]
تحفز الدراسة على النتائج الحديثة حول مؤشر أويلر-سومبور في الرسوم البيانية ثلاثية الدورات، مع التركيز بشكل خاص على توصيف الرسوم البيانية التي تحقق القيم الدنيا والقصوى لهذا المؤشر. يظهر المؤلفون أن النتائج من الدراسات السابقة يمكن الاستفادة منها لتأسيس هذه التوصيفات، مع الإشارة بشكل خاص إلى أن الرسم البياني ثلاثي الدورات الذي لديه الحد الأدنى من مؤشر أويلر-سومبور له درجة قصوى تبلغ 3، وبالتالي أيضًا يقلل المؤشر بين الرسوم البيانية الجزيئية ثلاثية الدورات.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون اللمحة 1، التي تعرف دالة $\Psi$ المعطاة بالتعبير $\Psi(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2$ للقيم غير السلبية من $x_1$ و$x_2$، مستثنية الأصل $(0, 0)$. تؤكد اللمحة أن كل من الدالة $\Psi$ ومشتقاتها الجزئية $\frac{\partial \Psi}{\partial x_i}$، لـ $i = 1, 2$، تزداد بشكل صارم بالنسبة لمتغيراتها الخاصة $x_i$.
تشير هذه النتيجة إلى أنه مع زيادة إما $x_1$ أو $x_2$، تزداد قيمة الدالة $\Psi$ ومعدل تغيرها بالنسبة لكل متغير أيضًا، مما يدل على وجود علاقة إيجابية بين المدخلات ومخرجات الدالة. قد تكون لهذه الخاصية تداعيات على التحليل الإضافي في سياق الدراسة، مما يشير إلى أن الدالة تتصرف بشكل متوقع استجابةً للتغيرات في معلماتها.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الخصائص والنتائج المتعلقة بالرسوم البيانية k-دورية، مع التركيز بشكل خاص على مؤشر أويلر-سومبور. يثبتون أنه بين جميع الرسوم البيانية k-دورية من الرتبة $n$، فقط تلك التي لديها مجموعة درجات $\{2, 3\}$، حيث عدد الحواف $m_{2,2} = n – 2k + 1$، $m_{2,3} = 2$، و$m_{3,3} = 3k – 4$، تحقق الحد الأدنى من مؤشر أويلر-سومبور لـ $n > 2(k – 1)$ عندما يكون $k \geq 3$ و لـ $n \geq 4$ عندما يكون $k = 2$. بشكل خاص، الرسم البياني ثلاثي الدورات الفريد $G^*$ يقلل هذا المؤشر لـ $n \geq 10$.
يواصل المؤلفون توسيع نتائجهم من خلال إثبات أن الحد الأقصى لدرجة الرسم البياني الذي يقلل مؤشر أويلر-سومبور هو في أقصى حد 3، ويستنتجون نتائج إضافية تعزز الشروط التي يتم بموجبها تحقيق هذه القيم الدنيا. من الجدير بالذكر أنهم يستنتجون أن الرسم البياني النجمي يزيد من مؤشر أويلر-سومبور بين الأشجار من الرتبة $n \geq 4$، وأن الرسم البياني $H_{n,3}$ يزيد بشكل فريد من هذا المؤشر بين الرسوم البيانية ثلاثية الدورات لـ $n \geq 5$. أخيرًا، يقدمون نظرية تتعلق بالرسوم البيانية الجزيئية ثلاثية الدورات، توضح شروطًا محددة يتم بموجبها زيادة مؤشر أويلر-سومبور بناءً على الرتبة $n$ بالنسبة لـ 3.
DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.549a
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Abeer M. Albalahi et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
This section discusses the properties of molecular graphs, specifically those with a maximum degree of 4, and defines a tricyclic graph as a connected graph of order \( n \) and size \( n + 2 \). The authors assert that the main results from a recent study by G. O. Kızılırmak can be derived using established findings in the field. Additionally, the paper identifies the graphs that achieve optimal values of the Euler-Sombor index within the category of molecular tricyclic graphs for a specified order, contributing to the understanding of their structural properties.
Introduction
The introduction of this paper centers on connected and simple graphs, emphasizing the significance of topological indices in chemical graph theory. It highlights the Sombor (SO) index, introduced by Gutman, which is defined as
\[
SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2
\]
where \(E(G)\) is the edge set of graph \(G\) and \(d(u)\) denotes the degree of vertex \(u\). The SO index has gained considerable attention in recent years for its applications in chemistry and its mathematical properties, as discussed in various surveys.
Additionally, the paper introduces the elliptic-Sombor (ESO) index, defined as
\[
ESO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u) + d(v)) \cdot (d(u))^2 + (d(v))^2
\]
and the Euler-Sombor index, given by
\[
EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 + d(u)d(v)
\]
The study is motivated by recent findings on the Euler-Sombor index in tricyclic graphs, specifically addressing the characterization of graphs that achieve minimum and maximum values of this index. The authors demonstrate that the results from previous studies can be leveraged to establish these characterizations, particularly noting that the tricyclic graph with the minimum Euler-Sombor index has a maximum degree of 3, thus also minimizing the index among tricyclic molecular graphs.
Results
In this section, the authors present Lemma 1, which defines a function $\Psi$ given by the expression $\Psi(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2$ for non-negative values of $x_1$ and $x_2$, excluding the origin $(0, 0)$. The lemma establishes that both the function $\Psi$ and its partial derivatives $\frac{\partial \Psi}{\partial x_i}$, for $i = 1, 2$, are strictly increasing with respect to their respective variables $x_i$.
This finding implies that as either $x_1$ or $x_2$ increases, the value of the function $\Psi$ and its rate of change with respect to each variable also increase, indicating a positive correlation between the inputs and the output of the function. This property may have implications for further analysis in the context of the study, suggesting that the function behaves predictably in response to changes in its parameters.
Discussion
In this section, the authors discuss the properties and findings related to k-cyclic graphs, particularly focusing on the Euler-Sombor index. They establish that among all k-cyclic graphs of order $n$, only those with a degree set of $\{2, 3\}$, where the number of edges $m_{2,2} = n – 2k + 1$, $m_{2,3} = 2$, and $m_{3,3} = 3k – 4$, achieve the minimum Euler-Sombor index for $n > 2(k – 1)$ when $k \geq 3$ and for $n \geq 4$ when $k = 2$. Specifically, the unique tricyclic graph $G^*$ minimizes this index for $n \geq 10$.
The authors further extend their results by demonstrating that the maximum degree of a graph minimizing the Euler-Sombor index is at most 3, and they derive additional corollaries that reinforce the conditions under which these minimum values are achieved. Notably, they conclude that the star graph maximizes the Euler-Sombor index among trees of order $n \geq 4$, and the graph $H_{n,3}$ uniquely maximizes this index among tricyclic graphs for $n \geq 5$. Finally, they present a theorem regarding tricyclic molecular graphs, detailing specific conditions under which these graphs maximize the Euler-Sombor index based on the order $n$ modulo 3.