DOI: https://doi.org/10.46939/j.sci.arts-26.1-a10
تاريخ النشر: 2026-03-30
المؤلف: Omprakash Sikhwal وآخرون
الموضوع الرئيسي: الدوال الرياضية والمتعددات الحدود
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة فئة جديدة من متعددات الحدود فيبوناتشي العامة، التي تم تحقيقها من خلال تعديل الشروط الأولية مع الحفاظ على علاقة التكرار الخطية من الدرجة الثانية الكلاسيكية. على عكس التعميمات السابقة التي تغير معاملات التكرار، فإن هذا النهج يحافظ على الهيكل الجبري الأصلي لمتعددات الحدود فيبوناتشي، مقدماً التعميم فقط من خلال القيم الأولية المعلمية. يسمح هذا الحفاظ بالاشتقاق الطبيعي للبنى الرياضية الرئيسية، بما في ذلك دالة التوليد، وصيغة الجمع الصريحة، والصيغة المغلقة من نوع بينيه، وتمثيل المصفوفة.
يؤكد المؤلفون أن الهويات الكلاسيكية، مثل هوية كاسيني، وهوية كاتالان، وهوية دوكان، يمكن تمديدها مباشرة إلى هذه العائلة الجديدة من متعددات الحدود فيبوناتشي العامة دون تغيير أشكالها الأساسية. لا توفر هذه العمل فقط تعميماً معلمياً موحداً ومستقراً هيكلياً، بل توسع أيضاً الإطار النظري المحيط بمتعددات الحدود فيبوناتشي، مما يعزز قابليتها للتطبيق عبر مجالات رياضية متنوعة، بما في ذلك الجبر، والهندسة، ونظرية الأعداد.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية وسياق تاريخي لمتعددات الحدود فيبوناتشي، التي هي مجموعة فرعية محددة من متعددات حدود تشيبيشيف. لقد تم استكشاف هذه المتعددات بشكل مكثف، مع أعمال أساسية تعود إلى كاتلان في عام 1881 وجاكستال في 1919-20، الذين صاغوا لأول مرة مصطلح “متعددات الحدود فيبوناتشي.” تسلط الورقة الضوء على علاقات التكرار المختلفة التي تعرف هذه المتعددات، ولا سيما الشكل المقبول الذي قدمه باسين، والذي يُعبر عنه كما يلي:
\[
f_{n+2}(x) = f_{n+1}(x) + f_n(x), \quad f_0(x) = 0, \quad f_1(x) = 1.
\]
يتم التأكيد على العلاقة بين متعددات الحدود فيبوناتشي وأعداد فيبوناتشي، مع المعادلة \( f_n(x) = F_n \) التي توضح هذه الصلة. كما تشير المقدمة إلى استكشاف متعددات الحدود فيبوناتشي الملتفة (CFPs) وظهور متعددات الحدود فيبوناتشي العامة ومتعددات حدود لوكاس، التي تم دراستها لخصائصها وعلاقاتها.
يقترح المؤلفون تعميماً جديداً لمتعددات الحدود فيبوناتشي من خلال تعديل الشروط الأولية مع الحفاظ على علاقة التكرار الأصلية. يهدفون إلى إثبات عدة خصائص لهذه المتعددات العامة باستخدام دوال التوليد، وصيغة بينيه، وطرق الاستقراء، مما يساهم في النقاش المستمر في مجال نظرية المتعددات.
نقاش
في هذا القسم، يقترح المؤلفون تعميماً لمتعددات الحدود فيبوناتشي من خلال مخططان متميزان، يقومان بتعديل الشروط الأولية مع الحفاظ على علاقة التكرار الكلاسيكية. يقدم المخطط الأول أعداد صحيحة عشوائية \(a\) و \(b\) لتعريف المتعددات \(g_n(x)\) بينما يعرف المخطط الثاني \(h_n(x)\) بشكل مشابه. من الجدير بالذكر أنه عندما يكون \(a=1\) و \(b=1\)، يتم استعادة متعددات الحدود فيبوناتشي التقليدية، بينما \(a=2\) و \(b=1\) ينتج عنه متعددات حدود لوكاس. يستخرج المؤلفون دالة توليد لهذه المتعددات العامة، تُعبر عنها كما يلي \(H(t) = \frac{1 – a t^{x}}{1 – t – b t^{2}}\)، ويقدمون صيغ جمع صريحة وصيغة بينيه لـ \(h_n(x)\).
يناقش القسم أيضاً خصائص متعددات الحدود فيبوناتشي العامة، بما في ذلك هويات الجمع والعلاقات التي تتضمن معاملات ثنائية. يظهر المؤلفون أن الهويات الكلاسيكية مثل هويات كاسيني وكاتالان يمكن تمديدها إلى هذا الإطار العام دون تغيير أشكالها الأساسية. لا يحافظ هذا النهج فقط على الهيكل الجبري لمتعددات الحدود فيبوناتشي الأصلية، بل يوسع أيضاً نطاقها النظري، مقدماً تعميماً معلمياً موحداً ومستقراً يحتفظ بالخصائص الكلاسيكية بينما يقدم أبعاد جديدة لدراستها.
DOI: https://doi.org/10.46939/j.sci.arts-26.1-a10
Publication Date: 2026-03-30
Author(s): Omprakash Sikhwal et al.
Primary Topic: Mathematical functions and polynomials
Overview
This paper presents a novel class of generalized Fibonacci polynomials, achieved by modifying the initial conditions while maintaining the classical second-order linear recurrence relation. Unlike previous generalizations that alter recurrence coefficients, this approach preserves the original algebraic structure of Fibonacci polynomials, introducing generalization solely through parametric initial values. This preservation allows for the natural derivation of key mathematical constructs, including the generating function, explicit summation formula, Binet-type closed form, and matrix representation.
The authors establish that classical identities, such as Cassini’s identity, Catalan’s identity, and d’Ocagne’s identity, can be directly extended to this new family of generalized Fibonacci polynomials without altering their fundamental forms. This work not only provides a unified and structurally stable parametric generalization but also broadens the theoretical framework surrounding Fibonacci polynomials, thereby enhancing their applicability across various mathematical domains, including algebra, geometry, and number theory.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance and historical context of Fibonacci polynomials, which are a specific subset of Chebyshev polynomials. These polynomials have been explored extensively, with foundational work dating back to Catlan in 1881 and Jacosthal in 1919-20, who first coined the term “Fibonacci polynomials.” The paper highlights various recurrence relations that define these polynomials, notably the accepted form given by Basin, which is expressed as:
\[
f_{n+2}(x) = f_{n+1}(x) + f_n(x), \quad f_0(x) = 0, \quad f_1(x) = 1.
\]
The relationship between Fibonacci polynomials and Fibonacci numbers is emphasized, with the equation \( f_n(x) = F_n \) illustrating this connection. The introduction also notes the exploration of convolved Fibonacci polynomials (CFPs) and the emergence of generalized Fibonacci and Lucas polynomials, which have been studied for their properties and relationships.
The authors propose a new generalization of Fibonacci polynomials by altering the initial conditions while maintaining the original recurrence relation. They aim to establish and prove several properties of these generalized polynomials using generating functions, Binet’s formula, and induction methods, contributing to the ongoing discourse in the field of polynomial theory.
Discussion
In this section, the authors propose a generalization of Fibonacci polynomials through two distinct schemes, which modify the initial conditions while maintaining the classical recurrence relation. The first scheme introduces arbitrary integers \(a\) and \(b\) to define the polynomials \(g_n(x)\) and the second scheme defines \(h_n(x)\) similarly. Notably, when \(a=1\) and \(b=1\), the conventional Fibonacci polynomials are recovered, while \(a=2\) and \(b=1\) yield Lucas polynomials. The authors derive a generating function for these generalized polynomials, expressed as \(H(t) = \frac{1 – a t^{x}}{1 – t – b t^{2}}\), and provide explicit summation formulas and Binet’s formula for \(h_n(x)\).
The section further discusses properties of the generalized Fibonacci polynomials, including sum identities and relationships involving binomial coefficients. The authors demonstrate that classical identities such as Cassini’s and Catalan’s identities can be extended to this generalized framework without altering their fundamental forms. This approach not only preserves the algebraic structure of the original Fibonacci polynomials but also broadens their theoretical scope, offering a unified and stable parametric generalization that retains classical properties while introducing new dimensions to their study.