DOI: https://doi.org/10.1007/s44199-026-00162-1
تاريخ النشر: 2026-03-13
المؤلف: S. J. Abed وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
تقدم الورقة نهجًا جديدًا للنمذجة لتحليل الموثوقية من خلال توزيع غومبيرتس غامبل العكسي (IGoGum) وتطبيقه في عملية بواسون غير المتجانسة (IGoGum NHPP). يعالج هذا النموذج قيود نماذج الموثوقية الكلاسيكية من خلال استيعاب سلوكيات معقدة في بيانات الحياة، بما في ذلك الانحراف في الاتجاهات الإيجابية والسلبية، بالإضافة إلى السماح بوظائف خطر متغيرة. يتم اشتقاق الخصائص الإحصائية الرئيسية مثل وظائف البقاء والخطر، واللحظات، وإحصاءات الترتيب، وانتروبيا المخاطر البايزية، مع تحقيق تقدير المعلمات عبر أقصى احتمال، والأساليب البايزية، والشبكات العصبية البايزية الهجينة المحسّنة باستخدام خوارزميات اليراعة (BNN-FFA).
تشير التقييمات التجريبية، بما في ذلك محاكاة مونت كارلو ومعايير اختيار النموذج (AIC، BIC، CAIC، HQIC، KS، MSE، RMSE)، إلى أن نموذج IGoGum-NHPP يظهر أداءً متفوقًا في التوافق والقدرة التنبؤية مقارنة بالنماذج الحالية، مثل غومبيرتس-فرانكفورت-فريدنبرغ وغومبيرتس-بور XII. تؤكد التطبيقات على أوقات شفاء سرطان المثانة وبيانات فشل شاحنات الديزل على فعالية النموذج، مما يثبت أن عائلة IGoGum هي أداة متعددة الاستخدامات وفعالة لنمذجة العمر، وتقييم الموثوقية، وتحديد المخاطر في الأنظمة المعقدة.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة توزيع غومبيرتس، وهو توزيع احتمالي مستمر يتميز بمعدل خطر ينمو بشكل أسي، ويستخدم بشكل أساسي في دراسات وفيات البشر والخصائص السكانية البيولوجية. سعى الباحثون إلى تعميم توزيع غومبيرتس لتعزيز قابليته للتطبيق وتحسين توافق البيانات التجريبية. يعتمد هذا التعميم على الاعتقاد بأن النماذج طويلة الأجل يمكن أن تتفوق على توزيعاتها الأصلية من حيث المرونة والدقة. كما تسلط هذه الفقرة الضوء على توزيعات ذات صلة، مثل توزيعات فريشيت وغومبيرتس العكسي، التي تم استخدامها في التطبيقات الهندسية، بما في ذلك نمذجة سلوك المواد.
علاوة على ذلك، توضح المقدمة العديد من التقدمات الحديثة في نمذجة التوزيع، بما في ذلك توزيع غومبيرتس-فريشيت وتوزيع غومبيرتس العكسي، من بين أمور أخرى. تؤكد على دور هذه التوزيعات في دعم أهداف التنمية المستدامة من خلال تحسين أنظمة البنية التحتية وتقنيات النمذجة المتقدمة. تختتم الفقرة بتقديم تنظيم الورقة، الذي يتضمن صياغة وخصائص إحصائية لتوزيع غومبيرتس-غامبل العكسي (IGoGum)، وطرق تقدير المعلمات، والتطبيقات العملية للنموذج في سيناريوهات العالم الحقيقي، مثل أوقات بقاء المرضى وأوقات انتظار العملاء.
طرق
تناقش قسم المنهجية في الورقة المنطقة غير المستكشفة من تقنيات تحويل المتغيرات، مع التركيز بشكل خاص على تطوير توزيع غومبيرتس-غامبل العكسي (IGoGum). يحدد المؤلفون فجوة في الأدبيات، مشيرين إلى أنه لم يتم إجراء أي بحث سابق حول اشتقاق توزيع بناءً على عكس توزيع غومبيرتس-غامبل (GG). لمعالجة ذلك، يقترحون تحويلًا حيث يتم عكس متغير عشوائي \( Y \) مع توزيع GG ليعطي \( X = \frac{1}{Y} \)، مما يشكل توزيع IGoGum.
تهدف الدراسة إلى اشتقاق الخصائص الإحصائية والرياضية لتوزيع IGoGum بشكل رسمي وإظهار قابليته للتطبيق من خلال تحليل مجموعات بيانات واقعية. يقدم المؤلفون دالة التوزيع التراكمي (CDF) ودالة كثافة الاحتمال (PDF) لتوزيع غامبل، المعرفة على أنها \( G(y, \mu, \sigma) = e^{-e^{\frac{y – \mu}{\sigma}}} \) و \( g(y, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{y – \mu}{\sigma}} e^{-e^{\frac{y – \mu}{\sigma}}} \)، على التوالي، حيث \( \mu > 0 \) و \( \sigma > 0 \) هما معلمات المقياس والشكل. يضع هذا العمل الأساسي الأساس لمزيد من الاستكشاف وتطبيق توزيع IGoGum في التحليل الإحصائي.
مناقشة
تقدم قسم المناقشة في الورقة توزيع غومبيرتس-غامبل (GoGu)، الذي يتميز بدوال كثافة الاحتمال (PDFs) ودوال التوزيع التراكمي (CDFs)، والتي تتضمن معلمات الشكل $\theta$ و $\beta$ لتعزيز مرونة النموذج في التقاط الظواهر الحياتية. يتم اقتراح توزيع غومبيرتس-غامبل العكسي (IGoGum) كنموذج لأوقات الوصول المتبادلة في عمليات بواسون غير المتجانسة (NHPPs)، مما يظهر قابليته للتطبيق في العمليات العشوائية التي تحكمها الزمن. يتم اشتقاق دالة المتوسط التراكمي $m(t)$ ومعدل حدوث الزمن $\lambda(t)$، مما يثبت العلاقة بين توزيع IGoGum وعملية غومبيرتس-غامبل.
بالإضافة إلى ذلك، تناقش الفقرة تحليل الموثوقية لتوزيع IGoGum، موضحة دالة البقاء $S(x)$ ودالة الخطر $h(x)$، والتي تعتبر حاسمة لفهم سلوك التوزيع على مر الزمن. تستخدم الورقة مجموعة متنوعة من التوسعات الرياضية وتمثيلات المزيج لاشتقاق PDFs وCDFs، مما يبرز الطبيعة الموجبة الانحراف للتوزيع وارتفاع الكورتوز. تشير النتائج إلى أن توزيع IGoGum هو نموذج قوي لتحليل بيانات الوقت حتى الحدث، مع تداعيات على هندسة الموثوقية وتقييم المخاطر.
DOI: https://doi.org/10.1007/s44199-026-00162-1
Publication Date: 2026-03-13
Author(s): S. J. Abed et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
The paper introduces a novel modeling approach for reliability analysis through the Inverse Gompertz Gumbel (IGoGum) distribution and its application in a Non-Homogeneous Poisson Process (IGoGum NHPP). This model addresses the limitations of classical reliability models by accommodating complex behaviors in life data, including skewness in both positive and negative directions, as well as allowing for varying hazard functions. Key statistical properties such as survival and hazard functions, moments, order statistics, and Bayesian risk entropy are derived, with parameter estimation achieved via maximum likelihood, Bayesian methods, and hybrid Bayesian Neural Networks optimized using Firefly Algorithms (BNN-FFA).
Empirical evaluations, including Monte Carlo simulations and model selection criteria (AIC, BIC, CAIC, HQIC, KS, MSE, RMSE), indicate that the IGoGum-NHPP model exhibits superior performance in fitting and predictive capacity compared to existing models, such as the Invert Gompertz-Frankfurt-Vredenburg and Gompertz-Burr XII. Applications to bladder cancer remission times and diesel engine turbocharger failure data further validate the model’s efficacy, establishing the IGoGum family as a versatile and effective tool for lifetime modeling, reliability assessment, and risk identification in complex systems.
Introduction
The introduction of the paper discusses the Gompertz distribution, a continuous probability distribution characterized by an exponentially growing hazard rate, primarily utilized in studies of human mortality and biological demographics. Researchers have sought to generalize the Gompertz distribution to enhance its applicability and improve the fit of empirical data. This generalization is predicated on the belief that long-run models can outperform their original distributions in terms of flexibility and accuracy. The section also highlights various related distributions, such as the Fréchet and Inverse Weibull distributions, which have been employed in engineering applications, including material behavior modeling.
Furthermore, the introduction outlines several recent advancements in distribution modeling, including the Gompertz-Fréchet distribution and the Inverse Gompertz distribution, among others. It emphasizes the role of these distributions in supporting Sustainable Development Goals through improved infrastructure systems and advanced modeling techniques. The section concludes by introducing the paper’s organization, which includes the formulation and statistical properties of the proposed Inverse Gompertz-Gumbel (IGoGum) distribution, parameter estimation methods, and practical applications of the model in real-world scenarios, such as patient survival times and customer wait times.
Methods
The methodology section of the paper addresses the underexplored area of variable transformation techniques, specifically focusing on the development of the inverted Gompertz-Gumbel (IGoGum) distribution. The authors identify a gap in the literature, noting that there has been no prior research on deriving a distribution based on the inverse of the Gompertz-Gumbel (GG) distribution. To address this, they propose a transformation where a random variable \( Y \) with a GG distribution is inverted to yield \( X = \frac{1}{Y} \), thus forming the IGoGum distribution.
The study aims to formally derive the statistical and mathematical properties of the IGoGum distribution and demonstrate its applicability through the analysis of realistic datasets. The authors provide the cumulative distribution function (CDF) and probability density function (PDF) for the Gumbel distribution, defined as \( G(y, \mu, \sigma) = e^{-e^{\frac{y – \mu}{\sigma}}} \) and \( g(y, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{y – \mu}{\sigma}} e^{-e^{\frac{y – \mu}{\sigma}}} \), respectively, where \( \mu > 0 \) and \( \sigma > 0 \) are the scale and shape parameters. This foundational work sets the stage for further exploration and application of the IGoGum distribution in statistical analysis.
Discussion
The discussion section of the paper introduces the Gompertz-Gumbel (GoGu) distribution, characterized by its probability density functions (PDFs) and cumulative distribution functions (CDFs), which incorporate shape parameters $\theta$ and $\beta$ to enhance the model’s flexibility in capturing real-life phenomena. The inverse Gompertz-Gumbel (IGoGum) distribution is proposed as a model for inter-arrival times in Non-Homogeneous Poisson Processes (NHPPs), demonstrating its applicability in stochastic processes governed by time. The cumulative mean function $m(t)$ and the time rate of occurrence $\lambda(t)$ are derived, establishing the relationship between the IGoGum distribution and the Gompertz-Gumbel process.
Additionally, the section discusses the reliability analysis of the IGoGum distribution, detailing the survival function $S(x)$ and hazard function $h(x)$, which are crucial for understanding the distribution’s behavior over time. The paper employs various mathematical expansions and mixture representations to derive the PDFs and CDFs, highlighting the distribution’s positively skewed nature and high kurtosis. The findings suggest that the IGoGum distribution is a robust model for analyzing time-to-event data, with implications for reliability engineering and risk assessment.