DOI: https://doi.org/10.58715/bangmodjmcs.2025.11.12
تاريخ النشر: 2025-08-08
المؤلف: Jignesh P. Chauhan وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذا البحث، تم تقديم طريقة هجينة شبه تحليلية جديدة، تُعرف باسم HPKTM، والتي تجمع بين تحويل كمال وطريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM) لحل المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) التي تستخدم مشتق كابوتو بفعالية. تُطبق الطريقة بشكل خاص على الأنظمة المعقدة، بما في ذلك معادلات فوكير-بلانك ومعادلات فورنبيرغ-ويثام. تُظهر النتائج أن HPKTM تتفوق على التقنيات التكرارية التقليدية من حيث الكفاءة الحسابية والبساطة، كما يتضح من العديد من الجداول والرسوم البيانية التي تقارن نتائجها العددية ضد طريقة سلسلة القوة المتبقية والحلول الدقيقة.
تؤكد الخاتمة على أن HPKTM لا تقلل فقط من الجهود الحسابية مقارنة بالطرق الكلاسيكية، ولكنها أيضًا تحافظ على دقة عالية في النتائج العددية. تمثل هذه الطريقة تقدمًا كبيرًا في حل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية، مما يبرز موثوقيتها وتقليل تباينها في الحسابات. كما تؤكد التحليلات الرسومية على HPKTM كأداة فعالة لمعالجة المعادلات الوظيفية، مع إمكانية تقديم حلول دقيقة تحت ظروف معينة، مما يبرز قابليتها للتطبيق عبر مجالات علمية وتكنولوجية متنوعة.
مقدمة
تؤكد مقدمة هذه الورقة البحثية على أهمية توسيع المعادلات التفاضلية الكلاسيكية إلى أوامر تعسفية، خاصة من خلال عدسة حساب التفاضل الكسرية. لقد اكتسب هذا الإطار الرياضي زخمًا لقدراته على نمذجة الظواهر غير المحلية والتقاط السلوكيات المعقدة في أنظمة العالم الحقيقي المختلفة عبر مجالات الهندسة والعلوم. تشمل التطورات الأخيرة تطوير تحويلات تكاملية ذات نوى من نوع الأس للتعامل مع المعادلات التكاملية التفاضلية ذات الأوامر الكسرية. ومع ذلك، تواجه التحويلات التكاملية الحالية قيودًا عند معالجة المعادلات غير الخطية، مما يدفع لاستكشاف طرق هجينة تجمع بين هذه التحويلات والمشغلين الكسرين.
تقدم الورقة منهجية جديدة تُسمى طريقة تحويل كمال الاضطراب الهوموتوبي (HPKTM)، والتي تجمع بين تحويل كمال وطريقة الاضطراب الهوموتوبي. تُظهر هذه الطريقة الهجينة فعاليتها في حل المعادلات التفاضلية ذات الأوامر الكسرية، بما في ذلك معادلات كولموغوروف وفوكير-بلانك وفورنبيرغ-ويثام، مما يُظهر خصائص تقارب متفوقة وكفاءة حسابية مقارنة بالطرق شبه التحليلية والتقليدية. توضح المقدمة قابلية تطبيق HPKTM في معالجة الأنظمة غير الخطية المعقدة، مع تسليط الضوء على مزاياها في تحقيق نتائج دقيقة مع عدد أقل من التكرارات. كما يتم توضيح هيكل الورقة، مع تفاصيل حول التعريفات، والمنهجية المقترحة، والتطبيقات، والنتائج، والاستنتاجات.
النتائج
تظهر النتائج المقدمة في هذه الورقة حلاً شبه تحليلي لمعادلات فوكير-بلانك (F-P) وفوكير-ويثام (F-W) ذات الأوامر الكسرية باستخدام طريقة HPKTM. توضح النتائج الطبيعة الوراثية وفهم سلوك النظام الديناميكي، مما يبرز مرونة الطريقة في معالجة مختلف مشاكل الشروط الابتدائية المرتبطة بمعادلة F-W.
بالإضافة إلى ذلك، يتم التعبير عن النتائج لمعادلة F-P، تحديدًا في سياق معادلة كولموغوروف العكسية، من حيث دالة ميتاج-ليفلر. تشير هذه التعبير إلى تقارب طريقة HPKTM، مما يعزز فعاليتها في حل المعادلات التفاضلية الكسرية المعقدة.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية والنتائج المتعلقة بحساب التفاضل الكسرية، مع التركيز بشكل خاص على التكامل الكسرية ريمان-ليوفيلي ومشتق كابوتو الكسرية. يقدمون تحويل كمال (KT) وخصائصه، بما في ذلك نظرية الوجود للدوال المستمرة قطعةً قطعة من الرتبة الأسية. يتم تقديم النظريات المتعلقة بتحويل كمال لكل من المشتقات ذات الرتبة الصحيحة والكسرية، مما يوضح العلاقات التي تسهل تطبيق KT في حل المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs).
ثم يقدم المؤلفون طريقة تحويل كمال الاضطراب الهوموتوبي (HPKTM) كنهج جديد لمعالجة FDEs غير الخطية. يستخرجون إطار العمل للطريقة، موضحين كيفية تطبيق KT على شكل عام من FDEs غير الخطية ودمج الشروط الابتدائية. يتم إثبات تقارب الحل التقريبي من خلال سلسلة من النظريات، مما يضمن أن الطريقة تُنتج نتائج موثوقة. تختتم القسم بأمثلة توضح تطبيق HPKTM على FDEs محددة، مما يُظهر فعاليتها في تقديم حلول دقيقة وتقليل التعقيد الحسابي مقارنة بالطرق التقليدية. بشكل عام، يتم تقديم HPKTM كخطوة كبيرة إلى الأمام في حل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية، مع آثار واسعة لمختلف التطبيقات العلمية والهندسية.
DOI: https://doi.org/10.58715/bangmodjmcs.2025.11.12
Publication Date: 2025-08-08
Author(s): Jignesh P. Chauhan et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this research, a novel hybrid semi-analytical method, referred to as the HPKTM, is introduced, which combines the Kamal Transform with the Homotopy Perturbation Method (HPM) to effectively solve fractional differential equations (FDEs) that utilize the Caputo derivative. The method is particularly applied to complex systems, including the Fokker-Planck and Fornberg-Whitham equations. The findings demonstrate that HPKTM outperforms traditional iterative techniques in terms of computational efficiency and simplicity, as evidenced by numerous tables and graphics that compare its numerical results against the residual power series method and exact solutions.
The conclusion emphasizes that HPKTM not only reduces computational efforts compared to classical methods but also maintains high accuracy in numerical results. This method represents a significant advancement in solving fractional partial differential equations, showcasing its reliability and reduced variability in computations. The graphical analyses further validate HPKTM as an effective tool for addressing functional equations, with the potential to yield exact solutions under specific conditions, thereby highlighting its applicability across various scientific and technological domains.
Introduction
The introduction of this research paper emphasizes the significance of extending classical differential equations to arbitrary orders, particularly through the lens of fractional calculus. This mathematical framework has gained traction for its ability to model non-local phenomena and capture complex behaviors in various real-world systems across engineering and scientific disciplines. Recent advancements include the development of integral transformations with exponential-type kernels to tackle fractional order integral equations and differential equations. However, existing integral transforms face limitations when addressing non-linear equations, prompting the exploration of hybrid approaches that combine these transforms with fractional operators.
The paper introduces a novel methodology called the Homotopy Perturbation Kamal Transform Method (HPKTM), which synergizes the Kamal transform with the homotopy perturbation method. This hybrid approach is demonstrated to effectively solve fractional order differential equations, including the Kolmogorov, Fokker-Planck, and Fornberg-Whitham equations, showcasing superior convergence properties and computational efficiency compared to traditional semi-analytical and numerical methods. The introduction outlines the applicability of HPKTM in addressing complex non-linear systems, highlighting its advantages in achieving precise results with fewer iterations. The structure of the paper is also outlined, detailing sections on definitions, the proposed methodology, applications, results, and conclusions.
Results
The results presented in this paper demonstrate a semi-analytical solution for the time-fractional Fokker-Planck (F-P) and Fokker-Whitham (F-W) equations using the HPKTM method. The findings illustrate the hereditary nature and intelligibility of the system’s dynamic behavior, highlighting the method’s versatility in addressing various initial condition problems associated with the F-W equation.
Additionally, the results for the F-P equation, specifically in the context of the backward Kolmogorov equation, are expressed in terms of the Mittag-Leffler function. This expression signifies the convergence of the HPKTM method, reinforcing its efficacy in solving complex fractional differential equations.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and results related to fractional calculus, specifically focusing on the Riemann-Liouville fractional integral and Caputo fractional derivative. They introduce the Kamal transform (KT) and its properties, including the existence theorem for piecewise continuous functions of exponential order. Theorems regarding the Kamal transform of both integer and fractional order derivatives are presented, establishing relationships that facilitate the application of the KT in solving fractional differential equations (FDEs).
The authors then introduce the Homotopy Perturbation Kamal Transform Method (HPKTM) as a novel approach to tackle nonlinear FDEs. They derive the method’s framework, demonstrating how to apply the KT to a generalized form of nonlinear FDEs and incorporate initial conditions. The convergence of the approximate solution is established through a series of theorems, ensuring that the method yields reliable results. The section concludes with examples illustrating the application of HPKTM to specific FDEs, showcasing its effectiveness in providing exact solutions and reducing computational complexity compared to traditional methods. Overall, the HPKTM is presented as a significant advancement in solving fractional partial differential equations, with broad implications for various scientific and engineering applications.