DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026628
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Waseem Ahmad Khan وآخرون
الموضوع الرئيسي: رياضيات تركيبيّة متقدّمة
نظرة عامة
في هذا البحث، تم تقديم عائلة جديدة من كثيرات الحدود المعروفة باسم $ \lambda $-degenerate $ q $-derangements باستخدام نواة $ q $-exponential من نوع كارليز مدمجة مع العامل الساقط $ \lambda $-falling. يتميز كثيرات الحدود الناتجة، المشار إليها بـ $ d_{\zeta,q}(\mu; \lambda) $، بدالة توليد أسية، مما يؤدي إلى صيغ معاملات صريحة، علاقات تكرارية، هويات التداخل، وتمثيلات محدد. ميزة هيكلية رئيسية هي التحويل المثلث السفلي الذي يربط هذه كثيرات الحدود بـ $ q $-Stirling المتدهورة، $ q $-Bell، و $ q $-Fubini، مع بقاء الآلية مستقرة تحت نوى من الدرجة الأعلى وامتدادات متدهورة $(p, q)$. الحدود عندما $ \lambda \to 0 $ و $ q \to 1 $ تستعيد $ q $-derangements القياسية وكثيرات الحدود الكلاسيكية للانحراف، على التوالي.
تشير النتائج إلى عدة طرق واعدة للبحث المستقبلي، بما في ذلك دمج التسلسل $\{d_{\zeta,q}(\mu; \lambda)\}_{\zeta \geq 0}$ في إطار $ q $-Sheffer المتدهور، مما قد يسهل تطوير قواعد تشغيلية ومبادئ عكسية. بالإضافة إلى ذلك، قد توضح استكشاف النماذج التوافقية والاحتمالية أدوار المعلمات $ q $ و $ \lambda $ فيما يتعلق بقيود النقاط الثابتة والترتيبات العشوائية الموزونة. كما يبرز البحث الإمكانية لامتدادات أغنى $(p, q)$ لكشف المزيد من الروابط مع وظائف خاصة أخرى وعوامل التقريب. تشمل الأسئلة الرئيسية للبحث المستقبلي الجذور الحقيقية والوحيدة لكثيرات الحدود، وتطبيق محددات هانكل، وصياغة نظرية شاملة لكثيرات الحدود المتدهورة $(p, q)$-Stirling و$(p, q)$-Bell.
مقدمة
في هذه المقدمة، يناقش المؤلفون مفهوم الانحرافات—التباديل لمجموعة \(\{1, \ldots, \zeta\}\) التي لا تحتوي على نقاط ثابتة—وتمثيلها الكلاسيكي من خلال أعداد الانحراف، المشار إليها بـ \(D_\zeta = \zeta! \sum_{\kappa=0}^{\zeta} \frac{(-1)^\kappa}{\kappa!}\). يسلطون الضوء على الاتجاه الأخير لتشويه عائلات الانحرافات لدمج معلمات إضافية للإحصاءات التوافقية ودوال التوليد، مع التركيز على مخططي تشويه رئيسيين: نهج حساب $ q $ ونسخ $ \lambda $-degenerate. يهدف المؤلفون إلى توحيد هذه المناهج من خلال تقديم نسخة $ \lambda $-degenerate $ q $-analog لعائلة الانحراف، والتي تتميز بدالة توليد أسية تدمج العوامل الساقطة المتدهورة مع نواة $ q $-exponential المتدهورة.
يستعرض البحث عدة مساهمات رئيسية، بما في ذلك تعريف كثيرات الحدود وأعداد الانحرافات $ q $-degenerate، وتحديد تحويل مثلث سفلي يربط العوامل الساقطة المتدهورة بـ $ q $-derangements المتدهورة، والتعبير عن هذه كثيرات الحدود من حيث أعداد $ q $-Stirling المتدهورة. يؤكد المؤلفون على الأهمية الهيكلية للتحويل في اشتقاق الهويات واستقراره تحت التشوهات الطبيعية. كما يتم وصف تنظيم البحث بإيجاز، مما يشير إلى أن الأقسام التالية ستتناول الرموز والخصائص والهويات الإضافية والأسئلة المفتوحة المتعلقة بالإطار المقترح.
النتائج
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون المزيد من الآثار لعائلة الانحراف $ q $-degenerate المقدمة في القسم 2، موضحين استقرارها تحت عمليات مختلفة، بما في ذلك الانتقالات إلى قاعدة $ (p, q) $-factorial، الضرب بقوى أعلى من $ (1 – \xi)^{-1} $، والتخصص إلى حدود معروفة. يتم تعريف العامل الساقط المتدهور و $ (p, q) $-factorial، مع التعبير عن الأخير كـ \([ζ]_{p,q}! = \prod_{j=1}^{ζ} \frac{p^j – q^j}{p – q}\). يقدم القسم أيضًا دالة أسية $ (p, q) $-exponential المتدهورة ويؤسس دالة التوليد لكثيرات الحدود $ (p, q) $-derangement المتدهورة \( d_{\zeta,p,q}(\mu; \lambda) \).
تشمل النتائج الرئيسية النظرية 3.2، التي تقدم صيغة صريحة لـ \( d_{\zeta,p,q}(\mu; \lambda) \) من حيث $ (p, q) $-factorials، والنظرية 3.3، التي تقدم علاقة تكرارية لهذه كثيرات الحدود. كما يستنتج المؤلفون سلوكيات حدية لأعداد $ q $-derangement عندما تقترب $ \lambda $ من 0 و $ q $ من 1، موحدين كثيرات الحدود $ q $-derangement المتدهورة مع كثيرات الحدود الكلاسيكية للانحراف. يختتم القسم بأمثلة عددية وتصويرات توضح سلوك \( d_{\zeta,q}(\lambda) \) تحت معلمات متغيرة، مع تسليط الضوء على السلوك التذبذبي لبعض قيم $ q $ و $ \lambda $.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون مفهوم أعداد وكثيرات الحدود $ q $-derangement المتدهورة، مؤسسين إطارًا يدمج أعداد $ q $-Stirling المتدهورة، وكثيرات الحدود $ q $-Bell، وكثيرات الحدود $ q $-Fubini من خلال دوال التوليد. يتم تعريف كثيرات الحدود $ q $-derangement المتدهورة، المشار إليها بـ \( d_{\zeta,q}(\mu; \lambda) \)، من خلال دالة توليد تجمع بين العامل الساقط المتدهور ودالة $ q $-exponential المتدهورة. يستنتج المؤلفون خصائص رئيسية، بما في ذلك صيغ معاملات صريحة، علاقات تكرارية، وهويات التداخل، مع تسليط الضوء على الأهمية الهيكلية للتحويل المثلث السفلي الذي يربط العوامل الساقطة المتدهورة بكثيرات الحدود $ q $-derangement.
يؤكد البحث على دور المعلمات \( \mu \) و \( \lambda \) في تشكيل سلوك هذه كثيرات الحدود، خاصة كيف تؤثر على أنماط الإشارة ومعدلات النمو للأعداد المرتبطة \( d_{\zeta,q}(\lambda) \). كما يناقش المؤلفون آثار نتائجهم فيما يتعلق بكثيرات الحدود الكلاسيكية للانحراف ويقترحون طرقًا محتملة لمزيد من البحث، بما في ذلك استكشاف النماذج التوافقية وتطوير نظرية شاملة لامتدادات $(p, q)$ المتدهورة. يتم وضع النتائج ضمن سياق أوسع من حساب $ q $ والتعداد التوافقي، مما يشير إلى أهميتها للدراسات المستقبلية في هذه المجالات.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026628
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Waseem Ahmad Khan et al.
Primary Topic: Advanced Combinatorial Mathematics
Overview
In this research, a new family of polynomials known as the $\lambda$-degenerate $q$-derangements is introduced using a Carlitz-type degenerate $q$-exponential kernel combined with the $\lambda$-falling factorial. The resulting polynomials, denoted as $d_{\zeta,q}(\mu; \lambda)$, are characterized by their exponential generating function, which leads to explicit coefficient formulas, recurrence relations, convolution identities, and determinant representations. A key structural feature is the lower triangular transform that connects these polynomials to the degenerate $q$-Stirling, $q$-Bell, and $q$-Fubini polynomials, with the mechanism remaining stable under higher-order kernels and degenerate $(p, q)$-extensions. The limits as $\lambda \to 0$ and $q \to 1$ recover the standard $q$-derangements and classical derangement polynomials, respectively.
The findings suggest several promising avenues for future research, including the integration of the sequence $\{d_{\zeta,q}(\mu; \lambda)\}_{\zeta \geq 0}$ into a degenerate $q$-Sheffer framework, which could facilitate the development of operational rules and inversion principles. Additionally, exploring combinatorial and probabilistic models may elucidate the roles of parameters $q$ and $\lambda$ in relation to fixed-point restrictions and weighted random permutations. The paper also highlights the potential for richer $(p, q)$-extensions to uncover further connections with other special functions and approximation operators. Key questions for future investigation include the real-rootedness and unimodality of the polynomials, the application of Hankel determinants, and the formulation of a comprehensive theory for degenerate $(p, q)$-Stirling and $(p, q)$-Bell polynomials.
Introduction
In this introduction, the authors discuss the concept of derangements—permutations of the set \(\{1, \ldots, \zeta\}\) that have no fixed points—and their classical representation through derangement numbers, denoted as \(D_\zeta = \zeta! \sum_{\kappa=0}^{\zeta} \frac{(-1)^\kappa}{\kappa!}\). They highlight the recent trend of deforming derangement families to incorporate additional parameters for combinatorial statistics and generating functions, focusing on two main deformation schemes: the \(q\)-calculus approach and the \(\lambda\)-degenerate variants. The authors aim to unify these approaches by introducing a \(\lambda\)-degenerate \(q\)-analog of the derangement family, characterized by an exponential generating function that integrates degenerate falling factorials with a degenerate \(q\)-exponential kernel.
The paper outlines several key contributions, including the definition of degenerate \(q\)-derangement polynomials and numbers, the identification of a lower triangular transform linking degenerate falling factorials to degenerate \(q\)-derangements, and the expression of these polynomials in terms of degenerate \(q\)-Stirling numbers. The authors emphasize the structural significance of the transform in deriving identities and its stability under natural deformations. The organization of the paper is also briefly described, indicating that subsequent sections will delve into notation, properties, further identities, and open questions related to the proposed framework.
Results
In this section, the authors explore further implications of the degenerate \( q \)-derangement family introduced in Section 2, demonstrating its stability under various operations, including transitions to a \( (p, q) \)-factorial basis, multiplication by higher powers of \( (1 – \xi)^{-1} \), and specialization to known limits. The degenerate falling factorial and the \( (p, q) \)-factorial are defined, with the latter expressed as \([ζ]_{p,q}! = \prod_{j=1}^{ζ} \frac{p^j – q^j}{p – q}\). The section also introduces the degenerate \( (p, q) \)-exponential function and establishes the generating function for the degenerate \( (p, q) \)-derangement polynomials \( d_{\zeta,p,q}(\mu; \lambda) \).
Key results include Theorem 3.2, which provides an explicit formula for \( d_{\zeta,p,q}(\mu; \lambda) \) in terms of \( (p, q) \)-factorials, and Theorem 3.3, which presents a recurrence relation for these polynomials. The authors also derive limiting behaviors of the \( q \)-derangement numbers as \( \lambda \) approaches 0 and \( q \) approaches 1, unifying the degenerate \( q \)-derangement polynomials with classical derangement polynomials. The section concludes with numerical examples and visualizations that illustrate the behavior of \( d_{\zeta,q}(\lambda) \) under varying parameters, highlighting oscillatory behavior for certain values of \( q \) and \( \lambda \).
Discussion
In this section, the authors explore the concept of degenerate q-derangement numbers and polynomials, establishing a framework that integrates degenerate q-Stirling numbers, q-Bell polynomials, and q-Fubini polynomials through generating functions. The degenerate q-derangement polynomials, denoted as \( d_{\zeta,q}(\mu; \lambda) \), are defined via a generating function that combines the degenerate falling factorial with a degenerate q-exponential function. The authors derive key properties, including explicit coefficient formulas, recurrence relations, and convolution identities, highlighting the structural significance of the lower triangular transform that connects the degenerate falling factorials to the q-derangement polynomials.
The paper emphasizes the role of parameters \( \mu \) and \( \lambda \) in shaping the behavior of these polynomials, particularly how they influence the sign patterns and growth rates of the associated numbers \( d_{\zeta,q}(\lambda) \). The authors also discuss the implications of their findings in relation to classical derangement polynomials and suggest potential avenues for further research, including the exploration of combinatorial models and the development of a comprehensive theory for degenerate (p, q)-extensions. The results are positioned within a broader context of q-calculus and combinatorial enumeration, indicating their relevance for future studies in these areas.