DOI: https://doi.org/10.47443/dml.2025.176
تاريخ النشر: 2025-12-21
المؤلف: Abeer M. Albalahi وآخرون
الموضوع الرئيسي: الهندسة والتشعبات المعقدة
نظرة عامة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون مؤشر سومبور الزائد (HSO) لرسم بياني \( G \) مع مجموعة الحواف \( E \) ودرجة الرأس \( d(w) \). يقدمون مؤشر سومبور المنقوص التكميلي (CDSO) ويستكشفون آثار إضافة حافة بين رأسين غير متجاورين \( v \) و \( w \) في الرسم البياني، المشار إليه بـ \( G + vw \). تهدف الورقة إلى تصحيح الأخطاء الموجودة في الأبحاث السابقة لبيرمان وداس بشأن النهج الهندسي لمؤشرات الطوبولوجيا المعتمدة على الدرجة.
يضع المؤلفون شروطًا كافية لكل من \( HSO(G + vw) > HSO(G) \) و \( HSO(G + vw) < HSO(G) \)، مما يوفر فهمًا دقيقًا لكيفية تأثير إضافة الحواف على مؤشر سومبور الزائد. بالإضافة إلى ذلك، يستنتجون حدًا أدنى لـ \( HSO(G) \) بناءً على ترتيب وحجم الرسم البياني، ويمتدّون إلى نتائج مماثلة لمؤشر CDSO، مما يساهم في تقديم رؤى قيمة لدراسة مؤشرات الرسوم البيانية.
مقدمة
ت outlines مقدمة هذه الورقة البحثية المفاهيم الأساسية لنظرية الرسوم البيانية الكيميائية، التي تستخدم نظرية الرسوم البيانية لنمذجة الهياكل الجزيئية من خلال تمثيل الجزيئات كرسوم بيانية حيث تتوافق الرؤوس مع الذرات وتمثل الحواف الروابط الكيميائية. يسهل هذا الإطار التحليل الرياضي للخصائص الجزيئية من خلال استخدام موصوفات جزيئية، وخاصة المؤشرات الطوبولوجية، التي تعتبر حاسمة في الكيمياء المعلوماتية لمهام مثل الفحص الافتراضي والتنبؤ بالخصائص الفيزيائية والكيميائية. من بين هذه المؤشرات، يتم تسليط الضوء على المؤشرات الطوبولوجية المعتمدة على الدرجة من حيث كفاءتها الحاسوبية والارتباطات التجريبية القوية مع الخصائص الجزيئية، مع كون مؤشر سومبور (SO) مثالًا بارزًا.
تركز الورقة بشكل خاص على مؤشر سومبور الزائد (HSO)، المحدد كـ \( \text{HSO}(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 \min\{d(u), d(v)\} \)، وتقدم مؤشر سومبور المنقوص التكميلي (CDSO)، المشار إليه بـ \( \text{cDSO}(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 \max\{d(u), d(v)\} \). تهدف الأبحاث إلى معالجة الأخطاء في الخصائص الرياضية لمؤشر HSO التي تم الإبلاغ عنها في الأدبيات السابقة، وتأسيس شروط للمتباينات المتعلقة بمؤشر HSO عند إضافة الحواف إلى الرسوم البيانية، واستنتاج حدود دنيا بناءً على ترتيب وحجم الرسم البياني. كما تمتد الدراسة إلى نتائج مماثلة لمؤشر CDSO، مما يساهم في فهم هذه المؤشرات الطوبولوجية في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية.
مناقشة
في هذا القسم، يقوم المؤلفون بتوضيح وتوسيع النتائج المتعلقة بمؤشر سومبور الزائد (HSO) ومؤشر سومبور المنقوص التكميلي (CDSO) كما تم مناقشته في الأعمال السابقة. يقدمون مقترحات معدلة تحدد حدودًا لمؤشر HSO، مشددين على أن المساواة في هذه الحدود تحدث بشكل خاص للرسوم البيانية المنتظمة. ومن الجدير بالذكر أنهم يوضحون أنه بينما تظل النظريات من الأبحاث السابقة صحيحة، فإن براهينها تحتوي على أخطاء، خاصة فيما يتعلق بسلوك HSO عند إضافة أو إزالة الحواف من الرسوم البيانية. على سبيل المثال، يظهرون أن إضافة الحواف لا تزيد دائمًا HSO، مما يتعارض مع الادعاءات السابقة.
كما يقدم المؤلفون عدة مقترحات توفر شروطًا كافية للمتباينات المتعلقة بمؤشرات HSO و CDSO. يثبتون أن مؤشر CDSO دائمًا أقل من أو يساوي مؤشر HSO، مع حدوث المساواة للرسوم البيانية المنتظمة. علاوة على ذلك، يستنتجون حدودًا لكلا المؤشرين بناءً على ترتيب وحجم الرسم البياني، مع تسليط الضوء على حالات محددة مثل الرسوم البيانية النجمية ورسوم الدورات حيث يتم تحقيق هذه الحدود. يختتم القسم بتخمينات حول هيكل الرسوم البيانية التي تقلل أو تزيد من هذه المؤشرات، مما يشير إلى أن مثل هذه الرسوم البيانية قد تظهر خصائص تجاور معينة وتوزيعات درجات.
DOI: https://doi.org/10.47443/dml.2025.176
Publication Date: 2025-12-21
Author(s): Abeer M. Albalahi et al.
Primary Topic: Geometry and complex manifolds
Overview
In this section, the authors discuss the hyperbolic Sombor index (HSO) of a graph \( G \) with edge set \( E \) and vertex degree \( d(w) \). They introduce the complementary diminished Sombor (CDSO) index and explore the effects of adding an edge between two non-adjacent vertices \( v \) and \( w \) in the graph, denoted as \( G + vw \). The paper aims to rectify inaccuracies found in previous research by Barman and Das regarding the geometric approach to degree-based topological indices.
The authors establish sufficient conditions for both \( HSO(G + vw) > HSO(G) \) and \( HSO(G + vw) < HSO(G) \), thereby providing a nuanced understanding of how edge addition influences the hyperbolic Sombor index. Additionally, they derive a lower bound for \( HSO(G) \) based on the graph's order and size, and extend similar findings to the CDSO index, contributing valuable insights to the study of graph indices.
Introduction
The introduction of this research paper outlines the foundational concepts of chemical graph theory, which employs graph theory to model molecular structures by representing molecules as graphs where vertices correspond to atoms and edges represent chemical bonds. This framework facilitates the mathematical analysis of molecular properties through the use of molecular descriptors, particularly topological indices, which are critical in cheminformatics for tasks such as virtual screening and predicting physicochemical properties. Among these indices, degree-based topological indices are highlighted for their computational efficiency and strong empirical correlations with molecular properties, with the Sombor (SO) index being a notable example.
The paper specifically focuses on the hyperbolic Sombor (HSO) index, defined as \( \text{HSO}(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 \min\{d(u), d(v)\} \), and introduces the complementary diminished Sombor (CDSO) index, denoted as \( \text{cDSO}(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u))^2 + (d(v))^2 \max\{d(u), d(v)\} \). The research aims to address inaccuracies in the mathematical properties of the HSO index reported in previous literature, establishing conditions for inequalities involving the HSO index when edges are added to graphs, and deriving lower bounds based on the graph’s order and size. The study also extends similar results to the CDSO index, thereby contributing to the understanding of these topological indices in chemical graph theory.
Discussion
In this section, the authors refine and expand upon the findings related to the Hyperbolic Sombor index (HSO) and the Complementary Diminished Sombor index (CDSO) as discussed in previous works. They present modified propositions that establish bounds for HSO, emphasizing that equality in these bounds occurs specifically for regular graphs. Notably, they clarify that while Theorems from prior research hold, their proofs contain inaccuracies, particularly regarding the behavior of HSO when edges are added or removed from graphs. For instance, they demonstrate that adding edges does not universally increase HSO, contradicting earlier claims.
The authors also introduce several propositions that provide sufficient conditions for the inequalities involving HSO and CDSO indices. They establish that the CDSO index is always less than or equal to the HSO index, with equality holding for regular graphs. Furthermore, they derive bounds for both indices based on the graph’s order and size, highlighting specific cases such as star graphs and cycle graphs where these bounds are achieved. The section concludes with conjectures regarding the structure of graphs that minimize or maximize these indices, suggesting that such graphs may exhibit particular adjacency properties and degree distributions.