DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-025-03999-5
تاريخ النشر: 2025-09-29
المؤلف: Zhiwen Long وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة في فئة من نماذج ذباب نيكولسون غير الذاتية التي تتضمن عدة مصطلحات تكرارية. من خلال بناء مجموعات ثابتة مناسبة وتطبيق تقنيات عدم المساواة التفاضلية جنبًا إلى جنب مع نظرية النقطة الثابتة لباناش، يثبت المؤلفون بشكل صارم وجود وحيدة الحلول الإيجابية شبه الدورية تقريبًا للنموذج المقترح. هذه النتائج تصقل وتعمم الأدبيات الموجودة حول هذا الموضوع.
بالإضافة إلى ذلك، تتضمن الورقة مثالًا عدديًا يوضح صحة وقابلية تطبيق النتائج النظرية. يبرز التحليل تأثير التأخيرات المعتمدة على الحالة على نموذج ذباب نيكولسون ويبرز المنهجيات المستخدمة كمراجع قيمة للبحوث المستقبلية حول شبه الدورية الإيجابية في المعادلات التفاضلية المتأخرة مع مصطلحات الهجرة والهياكل التكرارية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة نموذج ذباب نيكولسون المتأخر الذي اقترحه غورنيو وآخرون في عام 1980، والذي يتم تمثيله بالمعادلة \( z'(t) = -\delta z(t) + pz(t – \tau)e^{-az(t – \tau)} \). لقد حظي هذا النموذج باهتمام كبير بسبب تداعياته في ديناميات السكان البيولوجية، خاصة وأن السكان غالبًا ما يظهرون سلوكًا شبه دوري بدلاً من الدورية الصارمة بسبب العوامل البيئية. استكشفت الدراسات السابقة وجود وحيدة الحلول الإيجابية شبه الدورية (PAPS) لتنوعات هذا النموذج، بما في ذلك تلك التي تحتوي على حصاد خطي وتأخيرات زمنية مختلطة. ومع ذلك، تفتقر الأدبيات الحالية إلى تحليل شامل لشبه الدورية الزائفة للنماذج التي تتضمن عدة مصطلحات تكرارية.
تهدف الورقة إلى سد هذه الفجوة من خلال إثبات وجود وحيدة PAPS الإيجابية لنموذج ذباب نيكولسون غير الذاتي العام الذي يتضمن عدة مصطلحات تكرارية. يتم التعبير عن النموذج المقترح كالتالي \( w'(t) = -a(t)w(t) + \sum_{i=1}^{m} b_i(t) w[i](t)e^{-c_i(t)w[i](t)} \)، حيث \( w[i](t) \) تشير إلى المصطلحات التكرارية مع تأخيرات معتمدة على الحالة. يبرز المؤلفون الحاجة إلى هذا البحث ليعكس بشكل أفضل القوانين الإنجابية للسكان البيولوجية ويحددون هيكل الورقة، الذي يتضمن التعريفات، وإثباتات النتائج الرئيسية، ومثال عددي للتحقق من نتائجهم النظرية. النتائج المقدمة جديدة وتوسع العمل السابق في هذا المجال، مع معالجة قيود الدراسات الحالية حول هذا الموضوع.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية والتعريفات ذات الصلة بتحليلهم لنموذج ذباب نيكولسون الذي يتضمن تأخيرات معتمدة على الحالة وعدة مصطلحات تكرارية. يعرفون الفضاءات الوظيفية الرئيسية، بما في ذلك الدوال المستمرة المحدودة \( BC(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)، والدوال المستمرة المحدودة بشكل موحد \( BUC(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)، والدوال شبه الدورية الزائفة \( PAP(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \). يثبت المؤلفون أن \( PAP(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) تشكل فضاء باناش تحت معيار السوبريموم، ويقدمون شروطًا ومعلمات محددة ضرورية لتحليلهم، مثل وجود ثوابت فريدة \( K_1 \) و \( K_2 \) التي تلبي بعض عدم المساواة.
تؤكد الخاتمة على الإثبات الصارم لوجود وحيدة الحلول الإيجابية شبه الدورية الزائفة للنموذج باستخدام عدم المساواة التفاضلية ونظرية النقطة الثابتة لباناش. يقدم المؤلفون مثالًا عمليًا لتوضيح قابلية تطبيق نتائجهم النظرية، مع تسليط الضوء على أهمية منهجياتهم للبحوث المستقبلية في المعادلات التفاضلية المتأخرة مع مصطلحات الهجرة والهياكل التكرارية. لا تساهم هذه الدراسة فقط في فهم نموذج ذباب نيكولسون ولكنها أيضًا تمهد الطريق للتحقيقات المستقبلية في الأطر الرياضية ذات الصلة.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-025-03999-5
Publication Date: 2025-09-29
Author(s): Zhiwen Long et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This paper investigates a class of non-autonomous Nicholson’s blowflies models that incorporate multiple iterative terms. By constructing appropriate invariant sets and applying differential inequality techniques alongside the Banach fixed point theorem, the authors rigorously establish the existence and uniqueness of positive pseudo-almost periodic solutions for the proposed model. These findings refine and generalize existing literature on the subject.
Additionally, the paper includes a numerical example that demonstrates the correctness and practical applicability of the theoretical results. The analysis emphasizes the impact of state-dependent delays on the Nicholson’s blowflies model and highlights the methodologies used as valuable references for future research on positive pseudo-almost periodicity in delay differential equations with migration terms and iterative structures.
Introduction
The introduction of the paper discusses the delayed Nicholson’s blowflies model proposed by Gurney et al. in 1980, represented by the equation \( z'(t) = -\delta z(t) + pz(t – \tau)e^{-az(t – \tau)} \). This model has garnered significant attention due to its implications in biological population dynamics, particularly as populations often exhibit almost periodic behavior rather than strict periodicity due to environmental factors. Previous studies have explored the existence and uniqueness of positive almost periodic solutions (PAPS) for variations of this model, including those with linear harvesting and mixed time delays. However, the existing literature lacks a comprehensive analysis of the pseudo-almost periodicity of models incorporating multiple iterative terms.
The paper aims to fill this gap by establishing the existence and uniqueness of positive PAPS for a generalized non-autonomous Nicholson’s blowflies model that includes multiple iterative terms. The proposed model is expressed as \( w'(t) = -a(t)w(t) + \sum_{i=1}^{m} b_i(t) w[i](t)e^{-c_i(t)w[i](t)} \), where \( w[i](t) \) denotes the iterative terms with state-dependent delays. The authors highlight the need for this research to better reflect the reproductive laws of biological populations and outline the structure of the paper, which includes definitions, proofs of the main results, and a numerical example to validate their theoretical findings. The results presented are novel and extend previous work in the field, addressing the limitations of existing studies on the subject.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and definitions relevant to their analysis of a Nicholson’s blowflies model that incorporates state-dependent delays and multiple iterative terms. They define key function spaces, including bounded continuous functions \( BC(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \), bounded uniformly continuous functions \( BUC(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \), and pseudo-almost periodic functions \( PAP(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \). The authors establish that \( PAP(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) forms a Banach space under the supremum norm, and they introduce specific conditions and parameters necessary for their analysis, such as the existence of unique constants \( K_1 \) and \( K_2 \) that satisfy certain inequalities.
The conclusion emphasizes the rigorous establishment of the existence and uniqueness of positive pseudo-almost periodic solutions for the model using differential inequalities and the Banach fixed point theorem. The authors provide a practical example to illustrate the applicability of their theoretical results, highlighting the relevance of their methodologies for further research into delay differential equations with migration terms and iterative structures. This work not only contributes to the understanding of the Nicholson’s blowflies model but also sets the stage for future investigations into related mathematical frameworks.