DOI: https://doi.org/10.17654/0974324324019
تاريخ النشر: 2024-06-11
المؤلف: Nada A. M. Alshomrani وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة البحثية تطبيقًا جديدًا لطريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM) لحل نموذج الوباء SIR، باستخدام شكل قياسي جديد يميزه عن المنهجيات الموجودة في الأدبيات. يستخرج المؤلفون حلاً تحليليًا ويقارنونه بدقة مع النتائج المنشورة سابقًا بالإضافة إلى النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة رانج-كوتا العددية.
تشير النتائج إلى أن النهج المقترح يوفر دقة متفوقة مقارنةً بكل من الحلول الموجودة والطريقة العددية، مما يثبت فعالية الشكل القياسي الجديد في تعزيز دقة تطبيق HPM لنمذجة الأوبئة.
مقدمة
في المقدمة، يبرز المؤلفون التركيز الكبير على نمذجة الأمراض المعدية خلال الانتشار المبكر لـ COVID-19 في عام 2020، وخاصة من خلال تطوير نماذج رياضية كلاسيكية وفردية متنوعة. من بين هذه النماذج، يتم التأكيد على نموذج المعرضين للإصابة-المصابين-المتعافين (SIR) لدوره الأساسي في وصف ديناميات الوباء باستخدام المعادلات التفاضلية العادية الخطية وغير الخطية (ODEs). يقدم المؤلفون نسخة مبسطة من نموذج SIR، تتميز بنظام غير خطي من المعادلات التي تتضمن ديناميات الأفراد المعرضين للإصابة، والمصابين، والمتعافين، مع معدل الانتقال الذي يرمز له بـ $\sigma$.
كما يناقش المؤلفون تطبيق طريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM) ونهج أدوماين كتقنيات معتمدة لاشتقاق حلول تقريبية للمعادلات التفاضلية العادية. بينما استخدمت الدراسات السابقة HPM لحل نموذج SIR، يقترح المؤلفون نهجًا جديدًا من خلال إعادة صياغة المشكلة في شكل قياسي جديد، مما يسهل اشتقاق تقريبات مختلفة. يتحققون من دقة هذه التقريبات الجديدة من خلال مقارنتها بالنتائج السابقة وطريقة رانج-كوتا العددية، ويستنتجون أن نهجهم يظهر دقة متفوقة لمجالات معينة من معدل الانتقال $\sigma$.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطبيق طريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM) لحل نظام غير خطي، وبشكل خاص نموذج الوباء SIR. يعيدون صياغة النظام باستخدام شكل قياسي ويستخرجون عدة معادلات تسهل تكامل النموذج. يلعب المعامل المساعد \( q \) دورًا حاسمًا في HPM، مما يسمح ببناء حل تقريبي من خلال مكونات تكرارية. يقدم المؤلفون نتائجهم، بما في ذلك المعادلات التي تمثل العلاقات بين مختلف المعاملات والمتغيرات الحالة للنموذج.
للتحقق من نتائجهم، يقارن المؤلفون نهج HPM الخاص بهم مع طريقة رانج-كوتا العددية وتطبيق HPM سابق من الأدبيات. تظهر المقارنات، الموضحة في الأشكال، أن HPM الحالي ينتج نتائج أكثر دقة من تلك التي تم الحصول عليها في الدراسات السابقة. يستنتج المؤلفون أن تطبيقهم الجديد لـ HPM، باستخدام شكل قياسي مختلف، يعزز بشكل كبير دقة الحلول التحليلية لنموذج الوباء SIR.
DOI: https://doi.org/10.17654/0974324324019
Publication Date: 2024-06-11
Author(s): Nada A. M. Alshomrani et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research paper presents a novel application of the homotopy perturbation method (HPM) to solve the SIR-epidemic model, employing a new canonical form that distinguishes it from existing methodologies in the literature. The authors derive an analytic solution and rigorously compare it with previously published results as well as outcomes obtained using the Runge-Kutta numerical method.
The findings indicate that the proposed approach yields superior accuracy compared to both the existing solutions and the numerical method, thereby demonstrating the effectiveness of the new canonical form in enhancing the precision of the HPM application for epidemic modeling.
Introduction
In the introduction, the authors highlight the significant focus on modeling infectious diseases during the early spread of COVID-19 in 2020, particularly through the development of various classical and fractional mathematical models. Among these, the susceptible-infected-recovered (SIR) model is emphasized for its foundational role in describing epidemic dynamics using linear and nonlinear ordinary differential equations (ODEs). The authors present a simplified version of the SIR model, characterized by a nonlinear system of equations that incorporates the dynamics of susceptible, infected, and recovered individuals, with the transmission rate denoted by $\sigma$.
The authors also discuss the application of the Homotopy Perturbation Method (HPM) and Adomian’s approach as established techniques for deriving approximate solutions to ODEs. While previous studies have utilized HPM to solve the SIR model, the authors propose a novel approach by reformulating the problem into a new canonical form, which facilitates the derivation of different approximations. They validate the accuracy of these new approximations by comparing them with earlier results and the Runge-Kutta numerical method, concluding that their approach demonstrates superior accuracy for certain ranges of the transmission rate $\sigma$.
Discussion
In this section, the authors discuss the application of the Homotopy Perturbation Method (HPM) to solve a nonlinear system, specifically the SIR-epidemic model. They reformulate the system using a canonical form and derive several equations that facilitate the integration of the model. The auxiliary parameter \( q \) plays a crucial role in the HPM, allowing for the construction of an approximate solution through iterative components. The authors present their findings, including equations that represent the relationships between various parameters and the model’s state variables.
To validate their results, the authors compare their HPM approach with the Runge-Kutta numerical method and a previous HPM application from the literature. The comparisons, illustrated in figures, demonstrate that the current HPM yields more accurate results than those obtained in prior studies. The authors conclude that their novel application of HPM, utilizing a different canonical form, significantly enhances the accuracy of the analytic solutions for the SIR-epidemic model.