DOI: https://doi.org/10.1007/s40314-025-03619-8
تاريخ النشر: 2026-01-16
المؤلف: Muhammad Ismail وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تهدف هذه الورقة إلى تطوير طريقة عددية فعالة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية الكسرية ثنائية الأبعاد (FPDEs) في كل من المجالات الزمنية والمكانية. تدمج الطريقة المقترحة خوارزمية سريعة مع موجات ليجاندر المنقولة (SLWs) لإدارة المشتقات الكسرية بشكل فعال. من خلال استخدام تقنية الاستيفاء، يتم تحويل المشكلات غير الخطية إلى أشكال خطية مكافئة، مما يسهل تطبيق الطريقة. تشير تحليل التقارب إلى أن الحلول العددية تتماشى جيدًا مع الحلول التحليلية، وتظهر النتائج العددية الواسعة دقة وكفاءة الطريقة مقارنة بالأساليب الحالية.
تكشف النتائج أن الإطار الحسابي المقترح يتعامل بمهارة مع المشغلين الكسرين متعددين الحدود، واللاخطية، وظروف الحدود المختلفة، بما في ذلك أنواع ديريشلي والمختلطة. يسمح الاستيفاء القائم على الخطية بتحويل المشكلات الكسرية غير الخطية إلى سلسلة من الأنظمة الخطية، والتي يتم حلها بعد ذلك باستخدام الطريقة الجديدة. تشير نتائج التجارب العددية إلى أن طريقة SLWs السريعة تحقق دقة مقارنة بأساليب SLWs التقليدية وL1، بينما تعزز بشكل كبير الكفاءة الحسابية. وهذا يجعل الطريقة قابلة للتطبيق بشكل خاص لمحاكاة مجموعة واسعة من العمليات الفيزيائية التي تحكمها الديناميات الكسرية ثنائية الأبعاد، مثل تلك التي تواجهها في نقل الوسائط المسامية غير المتجانسة، والتوصيل الحراري تحت الانتشار، وتدفق اللدائن المرنة، وتشتت الملوثات في المياه الجوفية، والانتشار غير الخطي في الأنظمة البيولوجية أو الكيميائية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة الأهمية المتزايدة للمعادلات التفاضلية الكسرية في نمذجة الأنظمة الواقعية التي تتميز بتأثيرات الذاكرة والتفاعلات غير المحلية، والتي تفشل المعادلات التقليدية ذات الترتيب الصحيح في التقاطها. هذه المعادلات ذات صلة خاصة في ظواهر مثل الانتشار الشاذ، والاسترخاء اللدني، والنقل غير المتجانس، والتي غالبًا ما تتبع ديناميات قانون القوة. يتم التأكيد على المشتق الكسرى كابوتو لقدرته على دمج الحالات التاريخية والتفاعلات بعيدة المدى، مما يجعله مناسبًا للمواد المعقدة والوسائط متعددة المقاييس. تقدم الورقة نموذجًا تمثيليًا يتضمن كل من المشتقات الكسرية الزمنية والمكانية، مع تسليط الضوء على التحديات في حل هذه المعادلات بسبب طبيعتها غير المحلية والتكاليف الحسابية المرتبطة بها.
لمعالجة هذه التحديات، يقترح المؤلفون تقنية عددية جديدة تسمى طريقة SLWs السريعة، التي تدمج خوارزمية سريعة للمشتقات الكسرية الزمنية مع موجات ليجاندر المنقولة للمشتقات الكسرية المكانية. تهدف هذه الطريقة إلى تبسيط تنفيذ النماذج الكسرية مع تحسين الكفاءة الحسابية مقارنة بالتقنيات الحالية. توضح المقدمة مزايا النهج المقترح، بما في ذلك فعاليته في حل المعادلات ثنائية الأبعاد، وسهولة التنفيذ، وخصائص التقارب المحسنة. ستفصل الأقسام اللاحقة من الورقة المفاهيم الأساسية، ودمج الخوارزمية السريعة مع الموجات، وتحليل التقارب، والنتائج العددية التي توضح فعالية الطريقة في محاكاة النماذج التفاضلية الكسرية الخطية وغير الخطية.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية لموجات ليجاندر المنقولة (SLWs) وحساب التفاضل الكسرى، والتي تعتبر حاسمة لتحليل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية (FPDEs). يعرفون المشتق الكسرى كابوتو والتكامل، مع تسليط الضوء على خصائصهما وتبسيط الرموز لسهولة الإشارة. يتم بناء SLWs من كثيرات حدود ليجاندر المنقولة، مما يظهر دعمًا مضغوطًا وعمودية، مما يسمح بتقريب فعال للدوال في بعد واحد واثنين. يقدم المؤلفون توسيعًا لسلسلة لتقريب الدوال باستخدام SLWs ويستخرجون مصفوفات تشغيلية للتكامل الكسرى ريمان-ليوفيلي، وهو أمر أساسي لحل مشاكل القيمة الحدية.
يقدم القسم أيضًا خوارزمية سريعة تدمج SLWs لحل FPDEs ثنائية الأبعاد، موضحًا تقريب المشتقات الكسرية كابوتو وتطبيق ظروف الحدود. يقارن المؤلفون طريقتهم السريعة SLWs مع طريقة L1-SLWs التقليدية، مع التأكيد على الكفاءة الحسابية ودقة نهجهم. يقدمون تحليل التقارب، موضحين أن خطأ القطع ينخفض مع زيادة الدقة، مما يؤكد الأسس النظرية لطرقهم العددية. أخيرًا، تؤكد التجارب العددية على الطرق المقترحة، مما يبرز فعاليتها في حل مجموعة متنوعة من مشاكل التطبيقات مع الحفاظ على الدقة وتقليل الوقت الحسابي مقارنة بالتقنيات الحالية.
DOI: https://doi.org/10.1007/s40314-025-03619-8
Publication Date: 2026-01-16
Author(s): Muhammad Ismail et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper aims to develop an efficient numerical method for solving two-dimensional nonlinear fractional partial differential equations (FPDEs) in both temporal and spatial domains. The proposed method integrates a fast algorithm with Shifted Legendre wavelets (SLWs) to effectively manage fractional derivatives. By employing an interpolation technique, the nonlinear problems are transformed into equivalent linear forms, facilitating the application of the method. The convergence analysis indicates that the numerical solutions align well with analytical solutions, and extensive numerical results demonstrate the method’s accuracy and efficiency compared to existing approaches.
The findings reveal that the proposed computational framework adeptly addresses multi-term fractional operators, non-linearity, and various boundary conditions, including Dirichlet and mixed types. The interpolation-based linearization allows for the conversion of nonlinear fractional problems into a series of linear systems, which are then solved using the new method. The results of numerical experiments indicate that the fast SLWs method achieves accuracy comparable to traditional SLWs and L1-based schemes while significantly enhancing computational efficiency. This makes the method particularly applicable for simulating a wide range of physical processes governed by two-dimensional time-space fractional dynamics, such as those encountered in heterogeneous porous-media transport, sub-diffusive thermal conduction, viscoelastic flow, groundwater contaminant dispersion, and nonlinear diffusion in biological or chemical systems.
Introduction
The introduction of the paper discusses the growing significance of fractional differential equations in modeling real-world systems characterized by memory effects and non-local interactions, which traditional integer-order equations fail to capture. These equations are particularly relevant in phenomena such as anomalous diffusion, viscoelastic relaxation, and heterogeneous transport, which often follow power-law dynamics. The Caputo fractional derivative is emphasized for its ability to incorporate historical states and long-range interactions, making it suitable for complex materials and multi-scale media. The paper presents a representative model involving both time and space fractional derivatives, highlighting the challenges in solving these equations due to their non-local nature and the associated high computational costs.
To address these challenges, the authors propose a novel numerical technique called the fast SLWs method, which integrates a fast algorithm for time-fractional derivatives with Shifted Legendre wavelets for space-fractional derivatives. This method aims to simplify the implementation of fractional models while improving computational efficiency compared to existing techniques. The introduction outlines the advantages of the proposed approach, including its effectiveness in solving two-dimensional equations, straightforward implementation, and enhanced convergence properties. The subsequent sections of the paper will detail the foundational concepts, the integration of the fast algorithm with wavelets, convergence analysis, and numerical results demonstrating the method’s efficacy in simulating linear and nonlinear fractional differential models.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts of Shifted Legendre Wavelets (SLWs) and fractional calculus, which are crucial for the analysis of fractional partial differential equations (FPDEs). They define the Caputo fractional derivative and integral, highlighting their properties and simplifying notation for ease of reference. The SLWs are constructed from shifted Legendre polynomials, exhibiting compact support and orthogonality, which allows for effective function approximation in both one and two dimensions. The authors present a series expansion for approximating functions using SLWs and derive operational matrices for the Riemann-Liouville fractional integral, essential for solving boundary value problems.
The section further introduces a fast algorithm that integrates SLWs to solve two-dimensional FPDEs, detailing the approximation of Caputo fractional derivatives and the application of boundary conditions. The authors compare their fast SLWs method with a conventional L1-SLWs method, emphasizing the computational efficiency and accuracy of their approach. They provide convergence analysis, demonstrating that the truncation error decreases as the resolution increases, confirming the theoretical underpinnings of their numerical methods. Finally, numerical experiments validate the proposed methods, showcasing their effectiveness in solving various application problems while maintaining accuracy and reducing computational time compared to existing techniques.