DOI: https://doi.org/10.4236/am.2026.176020
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Mona Alsulami وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم ورقة البحث نهجًا عدديًا لمشاكل القيمة الحدية العادية الكسرية (FBVPs) من خلال استخدام نسخة معدلة من طريقة تحليل أدوماين الكلاسيكية (ADM) بالتزامن مع مشغل عكسي كسري. يسمح هذه الطريقة المبتكرة بالتكامل المباشر لظروف الحدود في المشغل دون الحاجة إلى ثوابت غير معروفة، مما يعزز من صحة ودقة الحلول التقريبية. تشير النتائج إلى أن الطريقة المقترحة تنتج حلولًا دقيقة للمشاكل ذات الحلول الدقيقة المعروفة وتوفر تقريبًا عالي الدقة عند مقارنتها بتقنيات حسابية أخرى، مما يظهر كفاءتها وموثوقيتها.
في الختام، تجمع الدراسة بنجاح بين ADM المعدلة والمشغل العكسي الكسري لمعالجة مجموعة واسعة من FBVPs. تبسط هذه الطريقة العملية الحسابية من خلال القضاء على الثوابت غير المعروفة ودمج ظروف الحدود مباشرة. من خلال أمثلة توضيحية متنوعة، تم التحقق من فعالية ودقة المخطط التكراري، مما يظهر أداءً متفوقًا في الدقة وسرعة التقارب مقارنة بالطرق العددية الحالية. تؤكد النتائج على إمكانية ADM المعدلة كأداة شبه تحليلية قوية لحل المعادلات التفاضلية الكسرية مع ظروف الحدود، مع توجيه الأبحاث المستقبلية نحو توسيع تطبيقها على أنواع أخرى من ظروف الحدود، مثل حالات نيومان أو المختلطة.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث هذه أهمية حساب التفاضل والتكامل من الرتبة غير الصحيحة، الذي يوسع حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي إلى الرتب الكسرية، مما يعزز من قابليته للتطبيق في مجالات متنوعة مثل الهندسة والعلوم الحيوية وديناميكا السوائل. تؤكد الورقة على فائدة المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) في نمذجة العمليات الفيزيائية والهندسية المعقدة بدقة، خاصة من خلال مشاكل القيمة الحدية الكسرية (FBVPs) التي لها صلة بتطبيقات متنوعة، بما في ذلك المواد اللزجة المرنة وانتشار الموجات.
تركز الدراسة على طريقة تحليل أدوماين (ADM) ونسخها لحل FBVPs، مقدمة مشغل عكسي كسري جديد يدمج ظروف الحدود مباشرة، مما يبسط عملية الحل. تتناقض هذه الطريقة مع الطرق السابقة التي تطلبت صيغًا منفصلة للظروف الأولية وظروف الحدود. تسلط الورقة الضوء على إمكانية ADM في إنتاج حلول تقريبية عالية الجودة للمشاكل التي تفتقر إلى حلول دقيقة معروفة، بينما تعالج أيضًا التطبيق المحدود لـ ADM الكلاسيكية على FBVPs. يتم توضيح هيكل الورقة، مع تغطية الأقسام اللاحقة للمقدمات حول حساب التفاضل والتكامل من الرتبة غير الصحيحة، وADM، وأمثلة توضيحية، وملاحظات ختامية.
نقاش
في قسم النقاش من الورقة، يقدم المؤلفون مفاهيم أساسية تتعلق بحساب التفاضل والتكامل الكسرية، مع التركيز بشكل خاص على التعريفات وخصائص التكاملات والمشتقات الكسرية ريمان-ليوفيلي (RL) وكابوتو. يقدمون صيغًا رياضية لهذه المشغلين، مع تسليط الضوء على أهميتها في سياق المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs). كما يقدم المؤلفون مجموعة متنوعة من القضايا والنظريات التي تؤسس علاقات بين المشتقات والتكاملات الكسرية، والتي تعتبر حاسمة للتطوير اللاحق لطريقتهم المقترحة لحل مشاكل القيمة الحدية الكسرية (FBVPs).
تستخدم الطريقة المقترحة طريقة تحليل أدوماين المعدلة (ADM) مع مشغل عكسي كسري لمعالجة فئة معينة من المعادلات التفاضلية الكسرية غير الخطية تحت ظروف حدود ديريشليت. يستنبط المؤلفون مخططًا تكراريًا لتقريب الحلول، موضحين فعاليته من خلال أمثلة توضيحية. يقارنون الحلول العددية التي تم الحصول عليها مع الحلول الدقيقة حيثما كانت متاحة ويقارنون طريقتهم مع التقنيات العددية الحالية، مما يظهر دقة وسرعة تقارب متفوقة. تؤكد النتائج على موثوقية وكفاءة الطريقة، مما يشير إلى إمكانية تطبيقها على نطاق أوسع من ظروف الحدود في الأبحاث المستقبلية.
DOI: https://doi.org/10.4236/am.2026.176020
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Mona Alsulami et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The research paper presents a numerical approach to fractional ordinary boundary value problems (FBVPs) by employing a modified version of the classical Adomian decomposition method (ADM) in conjunction with a fractional inverse operator. This innovative method allows for the direct integration of boundary conditions into the operator without the need for unknown constants, enhancing the validity and accuracy of the approximate solutions. The findings indicate that the proposed method yields exact solutions for problems with known exact solutions and provides highly accurate approximations when compared to other computational techniques, demonstrating its efficiency and reliability.
In conclusion, the study successfully combines the modified ADM with the fractional inverse operator to address a broad range of FBVPs. The approach simplifies the computational process by eliminating unknown constants and directly incorporating boundary conditions. Through various illustrative examples, the iterative scheme’s efficacy and accuracy were validated, showing superior performance in precision and convergence speed compared to existing numerical methods. The results affirm the modified ADM’s potential as a robust semi-analytical tool for solving fractional differential equations with boundary conditions, with future research aimed at extending its applicability to other boundary condition types, such as Neumann or mixed cases.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the significance of non-integer order calculus, which extends classical calculus to fractional orders, thereby enhancing its applicability in various fields such as engineering, bio-sciences, and fluid dynamics. The paper emphasizes the utility of fractional differential equations (FDEs) in accurately modeling complex physical and engineering processes, particularly through fractional boundary value problems (FBVPs) that are relevant in diverse applications, including viscoelastic materials and wave propagation.
The study focuses on the Adomian Decomposition Method (ADM) and its variants for solving FBVPs, introducing a novel fractional inverse operator that incorporates boundary conditions directly, thus simplifying the solution process. This approach contrasts with previous methods that required separate formulations for initial and boundary conditions. The paper highlights the potential of the ADM to yield high-quality approximate solutions for problems lacking known exact solutions, while also addressing the limited application of classical ADM to FBVPs. The structure of the paper is outlined, with subsequent sections covering preliminaries on non-integer order calculus, the ADM, illustrative examples, and concluding remarks.
Discussion
In the discussion section of the paper, the authors introduce foundational concepts related to fractional calculus, specifically focusing on the definitions and properties of Riemann-Liouville (RL) and Caputo fractional integrals and derivatives. They provide mathematical formulations for these operators, highlighting their significance in the context of fractional differential equations (FDEs). The authors also present various lemmas and theorems that establish relationships between fractional derivatives and integrals, which are crucial for the subsequent development of their proposed method for solving fractional boundary value problems (FBVPs).
The proposed method employs a modified Adomian decomposition method (ADM) combined with an inverse fractional operator to address a specific class of nonlinear FDEs under Dirichlet boundary conditions. The authors derive a recursive scheme for approximating solutions, demonstrating its effectiveness through illustrative examples. They compare the numerical solutions obtained with exact solutions where available and benchmark their method against existing numerical techniques, showcasing superior accuracy and convergence. The results affirm the method’s reliability and efficiency, suggesting its potential applicability to a broader range of boundary conditions in future research.