DOI: https://doi.org/10.64721/v8hpkx21
تاريخ النشر: 2026-02-06
المؤلف: Svetlin G. Georgiev وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون تطبيق حساب التفاضل والتكامل الكمي الكسري لتوسيع عدم المساواة التكاملية الكلاسيكية، بما في ذلك تلك الخاصة بشيبيشيف، بوانكاريه، سوبوليف، أوبال، وأوستروفسكي. من خلال دمج مصطلحات التأخير في هذه عدم المساواة، لا تعمم الأبحاث النتائج الحالية فحسب، بل تعزز أيضًا دقة الحدود المقدمة. إن تضمين تأثيرات تأخير الزمن له أهمية خاصة لنمذجة الأنظمة الديناميكية، مما يشير إلى أن النتائج قد يكون لها آثار مهمة على تطبيقات مختلفة في التحليل الرياضي والعلوم التطبيقية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية حساب التفاضل والتكامل الكسري وحساب التفاضل والتكامل الكمي، المشار إليهما بـ “حساب التفاضل والتكامل بدون حدود”، والتي اكتسبت شهرة على مدى العقود الأربعة الماضية بسبب تطبيقاتها المتنوعة في مجالات مثل الاحتمالات، معالجة الإشارات، والهندسة الحيوية. يبرز النص وجود أشكال مختلفة من حساب التفاضل والتكامل الكمي، بما في ذلك حساب التفاضل والتكامل الكمي لهان، حساب التفاضل والتكامل الجاكسوني، وحساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي، مع تقديم ملحوظ لمشغل الفرق الكمي العام من قبل حمزة وآخرين في عام 2015. منذ ذلك الحين، استكشفت العديد من الدراسات جوانب مختلفة من حساب التفاضل والتكامل الكمي، بما في ذلك المشتقات الاتجاهية، نظرية فوبيني، وتحويلات لابلاس الكمية، من بين أمور أخرى.
تُبرز عدم المساواة التكاملية لدورها الحاسم في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية، لا سيما في إثبات التفرد وتوفير الحدود للحلول لمعادلات التفاضل الكسري. توضح الورقة استكشاف أنواع مختلفة من عدم المساواة، بما في ذلك عدم المساواة من نوع شيبيشيف، بوانكاريه، وسوبوليف، في سياق حساب التفاضل والتكامل الكسري والكمّي. تهدف المخطوطة إلى إنشاء فئات جديدة من عدم المساواة التكاملية الكمية الكسريّة العامة مع التأخيرات، والتي توسع عدم المساواة التكاملية الكلاسيكية وتقدم رؤى حول الأنظمة الديناميكية حيث تعتمد الحالات الحالية على القيم السابقة. هيكل الورقة منظم في أقسام تغطي النتائج الأساسية، عدم المساواة الوظيفية من نوع شيبيشيف، عدم المساواة من نوع بوانكاريه، عدم المساواة من نوع سوبوليف، وعدم المساواة من نوع أوبال وأوستروفسكي.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مفاهيم أساسية لحساب التفاضل والتكامل الكمي γ، والتي تعتبر ضرورية للتحليل اللاحق في الورقة. يعرفون دالة مستمرة متزايدة بشكل صارم $\gamma: I \to I$ تمتلك نقطة ثابتة فريدة $s_0 \in I$. يتم تقديم نوعين من دوال γ بناءً على عدم المساواة $(t_1 – s_0)(\gamma(t_1) – t_1) \leq 0$، والتي تنطبق على جميع $t_1 \in I$. كما يعرف المؤلفون مشغل الفرق γ $D_\gamma$ لدالة $\Upsilon: I \to \mathbb{R}$، ويحددون شروط التفاضل γ، ويستعرضون خصائص التكامل γ، مثل الخطية، خاصية التكامل الصفري، عكس الحدود، والإضافة على الفترات الفرعية.
تشمل النظريات المقدمة العلاقة بين المشتقات γ لاثنين من الدوال القابلة للتفاضل γ وتكاملاتها، بالإضافة إلى عدم المساواة γ-هولدر، التي تحدد حدودًا لمنتج الدوال في سياق القابلية للتكامل γ. على وجه التحديد، إذا كانت $\Upsilon \in L^p_\gamma[a, b]_\gamma$ و $\Phi \in L^q_\gamma[a, b]_\gamma$، يتم إثبات عدم المساواة $|\Upsilon \Phi| \in L^1_\gamma[a, b]_\gamma$، مع شروط للمساواة. تضع هذه النتائج الأساس لمزيد من استكشاف حساب التفاضل والتكامل الكمي γ وتطبيقاته.
المناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون عدة عدم مساواة تكاملية تتعلق بالدوال المتزامنة، مع التركيز بشكل خاص على الوظيفة الشيبيشيف. تثبت النظرية 3.1 أنه إذا كانت دالتان قابلة للتكامل، $\Upsilon$ و $\Phi$، متزامنتين على الفترة $[0, \infty)$، فإن عدم المساواة \( D^\alpha_0(\Upsilon \Phi)(t_1) \geq (\Omega_\alpha(t_1, 0))^{-1} D^\alpha_0 \Upsilon(t_1) D^\alpha_0 \Phi(t_1) \) تنطبق على جميع $t_1 \geq 0$ و $\alpha \geq 1$. يتم إثبات هذه النتيجة من خلال سلسلة من عدم المساواة والتكاملات، مما يظهر العلاقة بين مشتقات منتج الدوال ومشتقاتها الفردية.
توسع النظريات اللاحقة (3.2 و 3.3) هذه النتائج، موضحة أنه يمكن اشتقاق عدم مساواة مماثلة لتوليفات من مشتقات دوال متزامنة متعددة. كما يقدم المؤلفون عدم مساواة من نوع بوانكاريه وعدم مساواة من نوع سوبوليف، والتي توفر حدودًا على التكاملات التي تتضمن هذه الدوال ومشتقاتها. هذه عدم المساواة لها أهمية لأنها تساهم في فهم سلوك الدوال المتزامنة وتطبيقاتها في سياقات رياضية مختلفة، لا سيما في حساب التفاضل والتكامل الكسري والتحليل الوظيفي. تستخدم الإثباتات تقنيات متقدمة مثل الاستقراء الرياضي ونظرية فوبيني، مما يبرز العلاقات المعقدة بين الدوال المعنية.
DOI: https://doi.org/10.64721/v8hpkx21
Publication Date: 2026-02-06
Author(s): Svetlin G. Georgiev et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this section, the authors explore the application of quantum fractional calculus to extend classical integral inequalities, including those of Chebyshev, Poincaré, Sobolev, Opial, and Ostrowski. By incorporating delay terms into these inequalities, the research not only generalizes existing results but also enhances the precision of the bounds provided. The inclusion of time-delay effects is particularly significant for modeling dynamic systems, suggesting that the findings could have important implications for various applications in mathematical analysis and applied sciences.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of fractional calculus and quantum calculus, referred to as “calculus without limits,” which have gained prominence over the past four decades due to their diverse applications in fields such as probability, signal processing, and bioengineering. The text highlights the existence of various forms of quantum calculus, including Hahn quantum calculus, Jackson q-calculus, and classical difference calculus, with a notable introduction of a generic quantum difference operator by Hamza et al. in 2015. Since then, numerous studies have explored various aspects of quantum calculus, including directional derivatives, Fubini’s theorem, and quantum Laplace transforms, among others.
Integral inequalities are emphasized for their critical role in both pure and applied mathematics, particularly in establishing uniqueness and providing bounds for solutions to fractional differential equations. The paper outlines the exploration of various types of inequalities, including Chebyshev, Poincaré, and Sobolev-type inequalities, within the context of fractional and quantum calculus. The manuscript aims to establish new classes of generalized quantum fractional integral inequalities with delays, which extend classical integral inequalities and offer insights into dynamic systems where current states depend on past values. The structure of the paper is organized into sections that cover foundational results, Chebyshev functional inequalities, Poincaré-type inequalities, Sobolev-type inequalities, and Opial and Ostrowski-type inequalities.
Results
In this section, the authors present foundational concepts of γ-quantum calculus, which are essential for the subsequent analysis in the paper. They define a strictly increasing continuous function $\gamma: I \to I$ that possesses a unique fixed point $s_0 \in I$. Two types of γ-functions are introduced based on the inequality $(t_1 – s_0)(\gamma(t_1) – t_1) \leq 0$, which holds for all $t_1 \in I$. The authors also define the γ-difference operator $D_\gamma$ for a function $\Upsilon: I \to \mathbb{R}$, establishing conditions for γ-differentiability and outlining properties of the γ-integral, such as linearity, zero integral property, reversal of limits, and additivity over subintervals.
Theorems presented include the relationship between the γ-derivatives of two γ-differentiable functions and their integrals, as well as the γ-Hölder inequality, which establishes bounds for the product of functions in the context of γ-integrability. Specifically, if $\Upsilon \in L^p_\gamma[a, b]_\gamma$ and $\Phi \in L^q_\gamma[a, b]_\gamma$, the inequality $|\Upsilon \Phi| \in L^1_\gamma[a, b]_\gamma$ is demonstrated, with conditions for equality. These results lay the groundwork for further exploration of γ-quantum calculus and its applications.
Discussion
In this section, the authors present several integral inequalities related to synchronous functions, specifically focusing on the Chebyshev functional. Theorem 3.1 establishes that if two integrable functions, $\Upsilon$ and $\Phi$, are synchronous over the interval $[0, \infty)$, then for all $t_1 \geq 0$ and $\alpha \geq 1$, the inequality \( D^\alpha_0(\Upsilon \Phi)(t_1) \geq (\Omega_\alpha(t_1, 0))^{-1} D^\alpha_0 \Upsilon(t_1) D^\alpha_0 \Phi(t_1) \) holds. This result is proven through a series of inequalities and integrations, demonstrating the relationship between the derivatives of the product of the functions and their individual derivatives.
Subsequent theorems (3.2 and 3.3) extend these findings, showing that similar inequalities can be derived for combinations of derivatives of multiple synchronous functions. The authors also introduce a Poincaré-type inequality and a Sobolev-type inequality, which provide bounds on integrals involving these functions and their derivatives. These inequalities are significant as they contribute to the understanding of the behavior of synchronous functions and their applications in various mathematical contexts, particularly in fractional calculus and functional analysis. The proofs utilize advanced techniques such as mathematical induction and Fubini’s theorem, highlighting the intricate relationships between the functions involved.