DOI: https://doi.org/10.29020/nybg.ejpam.v18i2.6064
تاريخ النشر: 2025-05-01
المؤلف: Mohammad Al-Ityan وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الدوال التحليلية والهندسية
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون فئة فرعية جديدة من الدوال التحليلية، تُعرف باسم \( M_{p,q} \Sigma (\alpha, \beta) \)، باستخدام علاقة التبعية بين دالة ميتاغ-ليفلر واشتقاق \((p, q)\) لدالة \( F(z) \). تستخدم الدراسة توسيع سلسلة تايلور-ماكلورين لتقدير الحدود للمعاملات \( |a_2| \) و \( |a_3| \)، وتؤسس لعدم المساواة في فيكيتي-سيغو للدوال ضمن هذه الفئة المعرفة حديثًا.
تشير النتائج إلى أن دالة ميتاغ-ليفلر ضرورية لتعريف وتحليل هذه الدوال، مما يؤدي إلى حدود حادة للوظيفة في فيكيتي-سيغو. توفر هذه الفئة الفرعية إطارًا شاملاً للتحقيق في الدوال ثنائية القيمة، لا سيما فيما يتعلق بتقديرات المعاملات ونظريات التشويه، وهي مواضيع مهمة في نظرية الدوال الهندسية. لا تسهل المنهجيات المقدمة البحث الإضافي في حدود المعاملات فحسب، بل تعزز أيضًا قابلية تطبيق دوال ميتاغ-ليفلر في سياقات متنوعة، مما قد يؤدي إلى تطوير فئات فرعية جديدة وتقدم فهم خصائص الدوال ثنائية القيمة.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث أهمية حساب التفاضل الكمي، لا سيما (p, q)-حساب التفاضل، الذي اكتسب زخمًا منذ تقديمه في عام 1991. يوسع هذا الحساب مفهوم الأعداد (p, q) وقد تم تطبيقه في مجالات متنوعة، بما في ذلك تطوير المذبذبات فيبوناتشي والمذبذبات (p, q)-هارمونيك. تبرز الورقة فئة الدوال التحليلية التي تُعرف بـ $A$، والتي تكون طبيعية وتحليلية ضمن القرص الوحدوي المفتوح، وتقدم مفهوم التبعية بين هذه الدوال. كما تؤكد على أهمية الدوال ثنائية القيمة، حيث تكون كل من الدالة وعكسها ثنائية القيمة، وتلاحظ الاهتمام المتجدد في الفئات الفرعية للدوال ثنائية القيمة بعد العمل المؤثر الذي قام به سريفاستافا وآخرون.
علاوة على ذلك، تتناول المقدمة مشكلة فيكيتي-سيغو، التي تتعلق بمعاملات الدوال في الفئة $S$، وتقدم النتائج الحادة التي أسسها فيكيتي وسيغو بشأن هذه المعاملات. توضح الورقة أيضًا دور حساب التفاضل الكمي الكسري في نظرية الدوال الهندسية، لا سيما في تعريف فئات فرعية جديدة من الدوال التحليلية. تقدم (p, q)-الاشتقاق ودوال ميتاغ-ليفلر، التي تعتبر حاسمة في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك المعادلات التفاضلية الكسرية. تختتم الورقة بتعريف فئات محددة من الدوال بناءً على (p, q)-الاشتقاق وعلاقاتها بدالة ميتاغ-ليفلر الطبيعية، مما يمهد الطريق لاستكشاف هذه المفاهيم في الأقسام التالية.
نقاش
في هذا القسم، يستنتج المؤلفون حدود المعاملات لفئة \( M_{p,q}^{\Sigma,\gamma}(\mathcal{H}) \) ويؤسسون عدة تقديرات للمعاملات الأولية \( |a_2| \) و \( |a_3| \). يوفر النظرية 1 حدودًا محددة تحت الشروط \( z, w \in \Theta \)، \( \gamma \in \mathbb{C} \) مع \( \text{Re}(\gamma) > 0 \)، و \( 0 < q < p \leq 1 \). تشير النتائج إلى أن \( |a_2| \) و \( |a_3| \) يمكن أن تكون محدودة بتعبيرات تتضمن دالة غاما، على وجه التحديد: \[ |a_2| \leq \frac{\Gamma(\gamma)^2 \Gamma(2\gamma + \gamma)}{|2 [3]_{p,q} \Gamma(\gamma) \Gamma(2\gamma + \gamma) - [2]_{p,q}^2 (\Gamma(\gamma + \gamma))^2|} \] و \[ |a_3| \leq 2\Gamma(\gamma) |[3]_{p,q} \Gamma(\gamma + \gamma)| + 4 (\Gamma(\gamma))^2 |[2]_{p,q}^2 (\Gamma(\gamma + \gamma))^2|. \] كما يقدم المؤلفون نتائج فرعية تبسط هذه النتائج لحالات محددة، مثل عندما \( p = 1 \) أو \( p = 1 \) و \( q = 1 \). يختتم القسم بالتأكيد على أهمية هذه النتائج في سياق عدم المساواة في فيكيتي-سيغو، التي تعتبر حاسمة في دراسة الدوال التحليلية وتقديرات معاملاتها. توفر النتائج أساسًا للبحث الإضافي في خصائص الدوال ثنائية القيمة وتطبيق دوال ميتاغ-ليفلر في هذا المجال.
DOI: https://doi.org/10.29020/nybg.ejpam.v18i2.6064
Publication Date: 2025-05-01
Author(s): Mohammad Al-Ityan et al.
Primary Topic: Analytic and geometric function theory
Overview
In this paper, the authors introduce a new subclass of analytic functions, denoted as \( M_{p,q} \Sigma (\alpha, \beta) \), utilizing the subordination relationship between the Mittag-Leffler function and the \((p, q)\)-derivative of a function \( F(z) \). The study employs the Taylor-Maclaurin series expansion to estimate bounds for the coefficients \( |a_2| \) and \( |a_3| \), and establishes Fekete-Szegő inequalities for functions within this newly defined class.
The findings indicate that the Mittag-Leffler function is crucial for defining and analyzing these functions, leading to sharp bounds for the Fekete-Szegő functional. This subclass provides a comprehensive framework for investigating bi-univalent functions, particularly concerning coefficient estimates and distortion theorems, which are significant topics in geometric function theory. The methodologies presented not only facilitate further research into coefficient bounds but also enhance the applicability of Mittag-Leffler functions in various contexts, potentially leading to the development of new subclasses and advancing the understanding of bi-univalent function properties.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the significance of quantum calculus, particularly the (p, q)-calculus, which has gained traction since its introduction in 1991. This calculus extends the concept of (p, q)-numbers and has been applied in various domains, including the development of Fibonacci oscillators and (p, q)-Harmonic oscillators. The paper highlights the class of analytic functions denoted by $A$, which are normalized and analytic within the open unit disk, and introduces the concept of subordination among these functions. It also emphasizes the importance of bi-univalent functions, where both a function and its inverse are univalent, and notes the renewed interest in subclasses of bi-univalent functions following the influential work by Srivastava et al.
Furthermore, the introduction addresses the Fekete-Szegő problem, which pertains to the coefficients of functions in the class $S$, and presents the sharp results established by Fekete and Szegő regarding these coefficients. The paper also outlines the role of fractional q-calculus in geometric function theory, particularly in defining new subclasses of analytic functions. It introduces the (p, q)-derivative and the Mittag-Leffler functions, which are crucial in various applications, including fractional differential equations. The paper concludes by defining specific classes of functions based on the (p, q)-derivative and their relationships to the normalized Mittag-Leffler function, setting the stage for further exploration of these concepts in the subsequent sections.
Discussion
In this section, the authors derive coefficient bounds for the class \( M_{p,q}^{\Sigma,\gamma}(\mathcal{H}) \) and establish several estimates for the initial coefficients \( |a_2| \) and \( |a_3| \). Theorem 1 provides specific bounds under the conditions \( z, w \in \Theta \), \( \gamma \in \mathbb{C} \) with \( \text{Re}(\gamma) > 0 \), and \( 0 < q < p \leq 1 \). The results indicate that \( |a_2| \) and \( |a_3| \) can be bounded by expressions involving the Gamma function, specifically: \[ |a_2| \leq \frac{\Gamma(\gamma)^2 \Gamma(2\gamma + \gamma)}{|2 [3]_{p,q} \Gamma(\gamma) \Gamma(2\gamma + \gamma) - [2]_{p,q}^2 (\Gamma(\gamma + \gamma))^2|} \] and \[ |a_3| \leq 2\Gamma(\gamma) |[3]_{p,q} \Gamma(\gamma + \gamma)| + 4 (\Gamma(\gamma))^2 |[2]_{p,q}^2 (\Gamma(\gamma + \gamma))^2|. \] The authors also present corollaries that simplify these results for specific cases, such as when \( p = 1 \) or \( p = 1 \) and \( q = 1 \). The section concludes by emphasizing the significance of these findings in the context of the Fekete-Szegő inequalities, which are critical in the study of analytic functions and their coefficient estimates. The results provide a foundation for further research into the properties of bi-univalent functions and the application of Mittag-Leffler functions in this domain.