DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2026.19590
تاريخ النشر: 2026-02-01
المؤلف: B. Bayraktar وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
تقدم الورقة فئة جديدة من الدوال المضاعفة المعدلة \( p_{h,m} \)-المحدبة وتؤسس مفهوم مشغلين تكامل عامين مضاعفين موزونين. تستنتج هويتين تكاملتين جديدتين تشكلان أساسًا لتطوير عدم المساواة من نوع سيمبسون المنقحة التي تتضمن تكاملات موزونة كسرية. يقدم المؤلفون عدة أمثلة توضيحية، تُظهر أن بعض عدم المساواة التي تم الحصول عليها تتماشى مع النتائج المعروفة في الأدبيات، مما يثبت عمومية وإمكانية تطبيق الإطار المقترح.
في الختام، تقدم الأبحاث إطارًا شاملاً لعدم المساواة من نوع سيمبسون ضمن حساب التفاضل المضاعف، باستخدام دوال \( p_{h,m} \)-لوغاريتمية محدبة معدلة ومشغلين تكامل كسرين مضاعفين موزونين. تؤدي الهويات التكاملية المستنتجة إلى عدة عدم مساواة منقحة تمتد إلى نتائج سيمبسون الكلاسيكية، مما يُظهر القوة التحليلية للطرق المضاعفة. تؤكد النتائج أن بعض النتائج تعود إلى عدم المساواة التي تم تأسيسها سابقًا تحت اختيارات معينة للمعلمات ودوال الوزن، مما يبرز مرونة الإطار في معالجة هياكل المحدبة العامة المختلفة وتعزيز تقديرات التكامل. يقترح المؤلفون أن طرقهم يمكن أن تلهم مزيدًا من البحث في المحدبية المضاعفة، بما في ذلك التمديدات المحتملة لصيغ نيوتن-كوتس وتطبيقات على المتوسطات الخاصة والتقنيات الحسابية.
مقدمة
في السنوات الأخيرة، ظهر حساب التفاضل المضاعف كبديل مهم لطرق التحليل التقليدية، حيث قدم تعريفات جديدة للمشتقات والتكاملات التي تستفيد من الخصائص المضاعفة للدوال. أدى هذا النهج إلى تطوير قواعد ونتائج فريدة، مثل مفهوم المحدبية المضاعفة، الذي يسهل الصياغات البديلة لعدم المساواة المعروفة. ومن الجدير بالذكر أن باحثين مثل علي وآخرين ومتين وآخرين قدموا مساهمات كبيرة في عدم المساواة التكاملية ضمن هذا الإطار، خصوصًا من خلال تعميم عدم المساواة من نوع هيرميت-هادامارد ونوع ميلين للدوال المحدبة المضاعفة بقوة، باستخدام مشغلين كسرين مثل تكامل أتانغانا-بالينو.
تسلط الأدبيات الضوء أيضًا على تقديم دوال محدبة هارمونية مضاعفة s-محدبة واستنتاج عدم المساواة ذات الصلة، والتي تشمل المحدبية الهارمونية الكلاسيكية كحالة خاصة. تشمل التطورات الأخيرة تطبيق مشغلين كاتوجامبولا وكابوتو-هجين لاستنتاج عدم المساواة المختلفة، مثل أنواع منتصف الطريق، والشكل المثلثي، وأنواع بولن، مما يبرز فعالية التقنيات الكسرية المضاعفة في التقاط السلوك المحدب العام. علاوة على ذلك، تم توجيه اهتمام كبير نحو عدم المساواة من نوع سيمبسون ونوع نيوتن-كوتس، التي تعزز دقة التكامل العددي. تهدف هذه الدراسة إلى البناء على هذه التطورات من خلال تأسيس عدم المساواة الجديدة للدوال المحدبة العامة، مع التركيز على أهميتها الحسابية وقوتها التحليلية، مع الاعتراف بالمساهمات الأساسية لباشيروف وآخرين في النظرية الرياضية لحساب التفاضل المضاعف.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون آثار نتائجهم على حساب التفاضل المضاعف، مع التركيز بشكل خاص على خصائص الدوال القابلة للاشتقاق والتكامل المضاعف. يثبتون أن كل دالة إيجابية وقابلة للاشتقاق $\psi$ هي أيضًا قابلة للاشتقاق المضاعف، مع وجود علاقة محددة بين مشتقتها الكلاسيكية $\psi’$ ومشتقتها المضاعفة $\psi^*$. يقدم المؤلفون مفهوم التكاملات المضاعفة ويعرضون عدة مقترحات ونظريات تحدد خصائص هذه التكاملات، بما في ذلك الهويات التي تربط التكامل المضاعف بالأجزاء بتقنيات التكامل الكلاسيكية.
يحدد المؤلفون أيضًا فئات جديدة من الدوال المحدبة، وبشكل خاص الدوال المحدبة المعدلة $p_h, m$-لوغاريتمية، التي تسمح بتطبيق أوسع لعدم المساواة في سياق حساب التفاضل المضاعف. يستنتجون عدة عدم مساواة تمتد إلى نتائج سيمبسون الكلاسيكية، مما يُظهر القوة التحليلية لإطارهم. تشير النتائج إلى أن الطرق المضاعفة المقترحة لا توحد فقط عدم المساواة الموجودة، ولكنها توفر أيضًا نهجًا مرنًا لالتقاط هياكل المحدبية العامة المختلفة. يختتم المؤلفون باقتراح أن عملهم يفتح آفاقًا لمزيد من البحث، بما في ذلك التطبيقات المحتملة في صيغ نيوتن-كوتس والأساليب الحسابية.
DOI: https://doi.org/10.15393/j3.art.2026.19590
Publication Date: 2026-02-01
Author(s): B. Bayraktar et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
The paper introduces a novel class of modified multiplicative \( p_{h,m} \)-convex functions and establishes the concept of weighted multiplicative generalized integral operators. It derives two new integral identities that serve as a foundational basis for developing refined dual Simpson-type inequalities involving fractional weighted integrals. The authors provide several illustrative examples, demonstrating that some of the inequalities obtained align with known results in the literature, thereby validating the proposed framework’s generality and applicability.
In conclusion, the research presents a comprehensive framework for Simpson-type inequalities within multiplicative calculus, utilizing modified \( p_{h,m} \)-logarithmically convex functions and weighted multiplicative fractional integral operators. The derived integral identities lead to several refined inequalities that extend classical Simpson-type results, showcasing the analytical power of multiplicative methods. The findings confirm that certain results revert to previously established inequalities under specific parameter and weight function choices, underscoring the framework’s flexibility in addressing various generalized convexity structures and enhancing integral estimates. The authors suggest that their methods could inspire further research into multiplicative convexity, including potential extensions of Newton-Cotes formulas and applications to special means and computational techniques.
Introduction
In recent years, multiplicative calculus has emerged as a significant alternative to traditional analysis methods, introducing new definitions of derivatives and integrals that leverage the multiplicative properties of functions. This approach has led to the development of unique rules and results, such as the concept of multiplicative convexity, which facilitates alternative formulations of established inequalities. Notably, researchers like Ali et al. and Mateen et al. have made substantial contributions to integral inequalities within this framework, particularly through the generalization of Hermite-Hadamard-type and Milne-type inequalities for strongly multiplicative convex functions, utilizing fractional operators like the Atangana-Baleanu integral.
The literature also highlights the introduction of multiplicative harmonic s-convex functions and the derivation of related inequalities, which encompass classical harmonic convexity as a special case. Recent advancements include the application of Katugampola and Caputo-hybrid operators to derive various inequalities, such as midpoint, trapezoid, and Bullen types, emphasizing the effectiveness of fractional multiplicative techniques in capturing generalized convex behavior. Furthermore, significant attention has been directed towards Simpson-type and Newton-Cotes-type inequalities, which enhance numerical integration accuracy. The present work aims to build on these developments by establishing new inequalities for generalized convex functions, focusing on their computational significance and analytical robustness, while acknowledging the foundational contributions of Bashirov et al. to the mathematical theory of multiplicative calculus.
Discussion
In this section, the authors discuss the implications of their findings on multiplicative calculus, particularly focusing on the properties of multiplicatively differentiable and integrable functions. They establish that every positive and differentiable function $\psi$ is also multiplicatively differentiable, with a defined relationship between its classical derivative $\psi’$ and its multiplicative derivative $\psi^*$. The authors introduce the concept of multiplicative integrals and present several propositions and theorems that outline the properties of these integrals, including identities that relate multiplicative integration by parts to classical integration techniques.
The authors further define new classes of convex functions, specifically modified $p_h, m$-logarithmically convex functions, which allow for a broader application of inequalities in the context of multiplicative calculus. They derive several inequalities that extend classical Simpson-type results, demonstrating the analytical strength of their framework. The findings indicate that the proposed multiplicative methods not only unify existing inequalities but also provide a flexible approach to capturing various generalized convexity structures. The authors conclude by suggesting that their work opens avenues for further research, including potential applications in Newton-Cotes formulas and computational methods.