DOI: https://doi.org/10.48185/jfcns.v5i2.1269
تاريخ النشر: 2024-12-31
المؤلف: Khalid Hattaf
الموضوع الرئيسي: نظرية التقريب ومساحات المتتاليات
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة فئة جديدة عامة من العمليات التفاضلية والتكاملية الكسرية، والتي تشمل مجموعة واسعة من التعريفات الموجودة، بما في ذلك تلك التي تحتوي على نوى مفردة وغير مفردة، بالإضافة إلى المشتقات الكسرية الموزونة بالنسبة لدالة أخرى. تدمج الفئة الجديدة أشكالًا مختلفة من التكاملات الكسرية، مثل تكاملات ريمان-ليوفيلي، هادامارد، كاتوجامبولا، وهاتاف، وتقدم مشتقة كسرية مختلطة في سياقات كابوتو وريمان-ليوفيلي. يستخرج المؤلفون بدقة الخصائص الأساسية لهذه العمليات، مما يعزز الإطار النظري لحساب التفاضل والتكامل الكسرية.
في الختام، تعرف الدراسة مشتقة كسرية جديدة تعمم العديد من التعريفات الموجودة في الأدبيات، وتستخرج التكامل الكسرية المقابلة لها باستخدام تحويل لابلاس الموزون. تشمل هذه التكامل أكثر من عشرين تعريفًا لتكاملات كسرية مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، يضع المؤلفون صيغًا وخصائص جديدة مهمة لهذه الفئة العامة، مما يوسع بشكل ملحوظ صيغة نيوتن-لايبنيز لتشمل حالات خاصة متنوعة تم التعرف عليها سابقًا في أبحاث حساب التفاضل والتكامل الكسرية.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على المجال المتنامي لحساب التفاضل والتكامل الكسرية، الذي يستكشف التكامل والتفاضل من أوامر غير صحيحة. يتمتع هذا الإطار الرياضي بتطبيقات هامة عبر مختلف التخصصات، بما في ذلك الفيزياء، والهندسة، ومعالجة الإشارات، وأنظمة التحكم، وعلم الأحياء، لا سيما في نمذجة الأنظمة التي تظهر تأثيرات الذاكرة أو سلوك غير محلي. تشمل الأمثلة البارزة نموذجًا كسريًا-كسرًا لانبعاثات ثاني أكسيد الكربون ودراسة حول السلوك الديناميكي لنماذج الأمراض المعدية لفيروس الروتا باستخدام المشتقات الكسرية.
توضح الورقة وجود العديد من التعريفات للمشتقات الكسرية غير المحلية، المصنفة إلى فئتين رئيسيتين: تلك التي تحتوي على نوى مفردة (مثل مشتقات كابوتو ومشتقات ريمان-ليوفيلي) وتلك التي تحتوي على نوى غير مفردة (مثل مشتقات كابوتو-فابريزيو ومشتقات أتانغانا-بالينو). بالإضافة إلى ذلك، يتم مناقشة أشكال مختلفة من التكاملات الكسرية، بما في ذلك تكاملات ريمان-ليوفيلي وهادامارد. تهدف الدراسة الحالية إلى تقديم فئة جديدة من العمليات التفاضلية والتكاملية الكسرية التي تعمم التعريفات الموجودة وتغطي التطورات الحديثة في هذا المجال، مثل مشتقة هاتاف المختلطة. يتم توضيح هيكل الورقة، مع تخصيص الأقسام اللاحقة لتقديم هذه الفئة الجديدة، وتكاملاتها الكسرية المرتبطة، والخصائص الأساسية لهذه العمليات.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون فئة جديدة من المشتقات الكسرية العامة في كل من حس كابوتو وريمان-ليوفيلي، موفرين تعريفات شاملة ويظهرون تطبيقاتها الواسعة. يتم تعريف المشتقة الكسرية المختلطة العامة مع المعلمات $(p, q) \in [0, 1]^2$، بالإضافة إلى شروط على $r$، $m$، $\mu$، $\sigma$، و$\delta$. يقدم المؤلفون صيغة مفصلة لمشتقة حس كابوتو، والتي تتضمن دالة وزن $w(t)$ ودالة أخرى $\phi(t)$، ويظهرون كيف أن هذا التعريف يشمل العديد من أشكال المشتقات الكسرية الموجودة، بما في ذلك المشتقات الموزونة والمشتقات ذات النوى المفردة.
علاوة على ذلك، يضعون تكاملًا كسرًا عامًا مقابلاً، يتم استخراجه باستخدام تحويل لابلاس الموزون. تعمم هذه التكامل أيضًا العديد من التعريفات الموجودة ويظهر أنها تلبي الخصائص الأساسية، مثل صيغة نيوتن-لايبنيز. يختتم المؤلفون بالتأكيد على أهمية نتائجهم، التي لا توحد فقط تعريفات حساب التفاضل والتكامل الكسرية المختلفة ولكن أيضًا توسع العلاقات الرياضية المهمة والخصائص داخل هذا المجال. النتائج المقدمة في هذا العمل تمهد الطريق لمزيد من الاستكشاف والتطبيق لحساب التفاضل والتكامل الكسرية في مختلف السياقات العلمية والهندسية.
DOI: https://doi.org/10.48185/jfcns.v5i2.1269
Publication Date: 2024-12-31
Author(s): Khalid Hattaf
Primary Topic: Approximation Theory and Sequence Spaces
Overview
This paper presents a novel generalized class of fractional differential and integral operators, which encompasses a wide range of existing definitions, including those with singular and non-singular kernels, as well as weighted fractional derivatives relative to another function. The new class integrates various forms of fractional integrals, such as Riemann-Liouville, Hadamard, Katugampola, and Hattaf fractional integrals, and introduces a mixed fractional derivative in the contexts of Caputo and Riemann-Liouville. The authors rigorously derive fundamental properties of these operators, enhancing the theoretical framework of fractional calculus.
In conclusion, the study defines a new fractional derivative that generalizes many existing definitions in the literature, and derives its corresponding fractional integral using a weighted Laplace transform. This integral encompasses over twenty definitions of different fractional integrals. Additionally, the authors establish significant new formulas and properties for this generalized class, notably extending the Newton-Leibniz formula to include various special cases previously identified in fractional calculus research.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the burgeoning field of fractional calculus, which explores the integration and differentiation of non-integer orders. This mathematical framework has significant applications across various disciplines, including physics, engineering, signal processing, control systems, and biology, particularly in modeling systems that exhibit memory effects or nonlocal behavior. Notable examples include a fractal-fractional model for carbon dioxide emissions and a study on the dynamical behavior of rotavirus infectious disease models using fractional derivatives.
The paper outlines the existence of numerous definitions for nonlocal fractional derivatives, categorized into two main classes: those with singular kernels (e.g., Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives) and those with non-singular kernels (e.g., Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu fractional derivatives). Additionally, various forms of fractional integrals are discussed, including the Riemann-Liouville and Hadamard fractional integrals. The current study aims to introduce a new class of fractional differential and integral operators that generalizes existing definitions and encompasses recent developments in the field, such as the Hattaf mixed fractional derivative. The structure of the paper is outlined, with subsequent sections dedicated to the introduction of this new class, its associated fractional integrals, and the fundamental properties of these operators.
Discussion
In this section, the authors introduce a new class of generalized fractional derivatives in both the Caputo and Riemann-Liouville senses, providing comprehensive definitions and demonstrating their broad applicability. The generalized mixed fractional derivative is defined with parameters $(p, q) \in [0, 1]^2$, along with conditions on $r$, $m$, $\mu$, $\sigma$, and $\delta$. The authors present a detailed formula for the Caputo sense derivative, which incorporates a weight function $w(t)$ and another function $\phi(t)$, and they illustrate how this definition encompasses numerous existing fractional derivative forms, including weighted and singular kernel derivatives.
Furthermore, they establish a corresponding generalized fractional integral, which is derived using the weighted Laplace transform. This integral also generalizes many existing definitions and is shown to satisfy fundamental properties, such as the Newton-Leibniz formula. The authors conclude by emphasizing the significance of their findings, which not only unify various fractional calculus definitions but also extend important mathematical relationships and properties within the field. The results presented in this work pave the way for further exploration and application of fractional calculus in various scientific and engineering contexts.