DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.525k
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Biswaranjan Khanra وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
في دراستهم الأخيرة، استكشف تانغ وآخرون القابلية الكيميائية لمؤشر أويلر سومبور كمؤشر جزيئي، موضحين ارتباطه القوي بخصائص متساويات الأوكتان. يتم تعريف مؤشر أويلر سومبور لرسم بياني بسيط \( G \) بناءً على قرب الرؤوس \( a \) و \( b \)، ودرجة \( d_a \) للرأس \( a \) في \( G \).
حدد المؤلفون عائلات من الأشجار تتوافق مع مؤشرات أويلر سومبور الدنيا من الأول إلى الخامس، بالإضافة إلى الرسوم البيانية أحادية الدورة مع المؤشرات القصوى والثلاثة الأولى الدنيا. علاوة على ذلك، قاموا بتصنيف الرسوم البيانية التي تكون متطرفة على الرسوم البيانية الكيميائية والأنظمة السداسية بناءً على مؤشر أويلر سومبور، مما يبرز فائدته المحتملة في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية وتوقع خصائص الجزيئات.
نقاش
في هذا القسم، يحدد المؤلفون حدودًا صارمة لمؤشر أويلر سومبور (EP) لأنواع مختلفة من الرسوم البيانية، بما في ذلك الأشجار والرسوم البيانية أحادية الدورة. يظهرون أنه بالنسبة لأي حافة \( ab \) في رسم بياني \( G \)، فإن عدم المساواة \( d_a^2 + d_b^2 + d_a d_b \geq 3 \) صحيحة، مع المساواة عندما تكون كلا الدرجتين 1. يستخلصون حدًا أدنى لمؤشر EP لرسم بياني يحتوي على \( l \) مسارات معلقة، معبرًا عنه كـ \( EP(G) \geq (\sqrt{7} + \sqrt{19} – 4\sqrt{3})l + 2\sqrt{3}m \). تشمل النظريات المقدمة حدودًا للرسوم البيانية المتصلة البسيطة ونتائج محددة للأشجار، مما يشير إلى أن المسار \( P_n \) لديه الحد الأدنى من EP، بينما تعطي التكوينات الأخرى المؤشرات الدنيا الثانية والثالثة بناءً على ترتيب الرؤوس.
علاوة على ذلك، يقوم المؤلفون بتحليل الرسوم البيانية أحادية الدورة، مستنتجين أن الدورة \( C_n \) لديها الحد الأدنى من EP بين الرسوم البيانية أحادية الدورة، مع تكوينات محددة تعطي المؤشرات الدنيا الثانية والثالثة. يناقش القسم أيضًا الآثار المترتبة على الرسوم البيانية الكيميائية، محددًا الحدود العليا وظروف المساواة من حيث درجات الرؤوس. تسهم النتائج بشكل كبير في فهم مؤشر أويلر سومبور عبر فئات الرسوم البيانية المختلفة، مما يوفر إطارًا للبحوث المستقبلية في نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية.
DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.525k
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Biswaranjan Khanra et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
In their recent study, Tang et al. explored the chemical applicability of the Euler Sombor index as a molecular descriptor, demonstrating its strong correlation with the properties of octane isomers. The Euler Sombor index for a simple graph \( G \) is defined based on the adjacency of vertices \( a \) and \( b \), and the degree \( d_a \) of vertex \( a \) in \( G \).
The authors identified families of trees corresponding to the first through fifth minimum Euler Sombor indices, as well as unicyclic graphs with the maximum and the first three minimum indices. Furthermore, they classified graphs that are extremal over chemical graphs and hexagonal systems based on the Euler Sombor index, highlighting its potential utility in chemical graph theory and molecular property prediction.
Discussion
In this section, the authors establish sharp bounds on the Euler Sombor index (EP) for various types of graphs, including trees and unicyclic graphs. They demonstrate that for any edge \( ab \) in a graph \( G \), the inequality \( d_a^2 + d_b^2 + d_a d_b \geq 3 \) holds, with equality when both degrees are 1. They derive a lower bound for the EP of a graph with \( l \) pendent paths, expressed as \( EP(G) \geq (\sqrt{7} + \sqrt{19} – 4\sqrt{3})l + 2\sqrt{3}m \). Theorems presented include bounds for simple connected graphs and specific results for trees, indicating that the path \( P_n \) has the minimum EP, while other configurations yield the second and third minimum indices based on the arrangement of vertices.
Furthermore, the authors analyze unicyclic graphs, concluding that the cycle \( C_n \) has the minimum EP among unicyclic graphs, with specific configurations yielding the second and third minimum indices. The section also discusses the implications for chemical graphs, establishing upper bounds and conditions for equality in terms of vertex degrees. The findings contribute significantly to the understanding of the Euler Sombor index across different graph classes, providing a framework for future research in graph theory and its applications in chemical graph theory.