مؤشر سومبور العام للأشجار القصوى ذات الدرجة القصوى المعطاة The General Sombor Index of Extremal Trees with a Given Maximum Degree

المجلة: match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry، المجلد: 94، العدد: 3
DOI: https://doi.org/10.46793/match94-3.21724
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Sultan Ahmad وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها

نظرة عامة

مؤشر سومبور العام للرسم البياني $ G $، المسمى $ SO_\alpha(G) $، يُعرف من حيث درجات رؤوسه، $ d_G(v_i) $، مع كون $ \alpha $ عددًا حقيقيًا عشوائيًا. تبحث هذه الدراسة في الأشجار القصوى ضمن فئة الأشجار ذات $ n $ رأسًا التي لديها درجة قصوى $ \Delta $، مع التركيز على تعظيم وتقليل مؤشر سومبور العام عبر فترات مختلفة من $ \alpha $.

على وجه التحديد، بالنسبة لـ $ \alpha > 1 $ و $ \alpha \in [-1, 0) $، تحدد الدراسة الأشجار التي تعظم $ SO_\alpha $. وعلى العكس، بالنسبة لـ $ \alpha < 0 $ و $ \alpha > 0 $، تحدد البحث الأشجار التي تقلل من مؤشر سومبور العام. ومع ذلك، فإن توصيف الأشجار القصوى لـ $ SO_\alpha $ في الفترات المتبقية من $ \alpha $ لا يزال غير محسوم، مما يشير إلى منطقة مهمة للاستكشاف المستقبلي في هذا المجال.

مقدمة

في مقدمة الورقة، يعرف المؤلفون رسمًا بيانيًا بسيطًا غير موجه $ G = (V, E) $ مع مجموعة الرؤوس $ V(G) $ ومجموعة الحواف $ E(G) $. يتوافق ترتيب $ n(G) $ وحجم $ m(G) $ للرسم البياني مع عدد الرؤوس والحواف، على التوالي. يقدمون مفاهيم رئيسية مثل درجة الرأس $ d_G(v_i) $ والجوار $ N_G(v_i) $. تؤكد الورقة على أهمية المؤشرات الطوبولوجية المعتمدة على الدرجة في الكيمياء الرياضية، وخاصة مؤشر سومبور، الذي تم تقديمه مؤخرًا بواسطة غوتمان. يُعرف هذا المؤشر على أنه

\[
SO(G) = \sum_{v_i v_j \in E(G)} \left( d_G(v_i)^2 + d_G(v_j)^2 \right).
\]

كما يناقش المؤلفون مؤشر سومبور العام الذي اقترحه تشونغ وهوو، والذي يتضمن معلمة $ \alpha $ ويتغير بناءً على قيمتها. تسلط الورقة الضوء على الدراسات الحديثة حول الأشجار القصوى والرسم البياني أحادي الدائرة فيما يتعلق بمؤشر سومبور وتضع الأساس لمشكلة البحث الرئيسية: توصيف الأشجار القصوى ضمن فئة $ T(n, \Delta) $ لمؤشر سومبور العام $ SO_\alpha $ عبر فترات مختلفة من $ \alpha $.

يهدف المؤلفون إلى تحديد الأشجار التي تعظم أو تقلل من مؤشر $ SO_\alpha $ لنطاقات محددة من $ \alpha $. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى أن الأقسام التالية ستقدم مفاهيم ذات صلة، وتعرض النتائج الرئيسية، وتختتم النتائج.

نقاش

في قسم النقاش من الورقة، يقدم المؤلفون مفاهيم أساسية ونتائج هامة ضرورية لتحليل الأشجار وخصائصها، مع التركيز بشكل خاص على مؤشر سومبور العام، المسمى $SO_\alpha(G)$. تشمل التعريفات الرئيسية توصيف الرؤوس بناءً على درجاتها، مثل الرؤوس المعلقة (1-رؤوس) وبنية أنواع الأشجار المختلفة مثل الأشجار الشبيهة بالنجوم ورسوم المكنسة. يضع المؤلفون سلسلة من النتائج التي تستكشف سلوك مؤشر سومبور تحت تحولات معينة للرسم البياني، كاشفين كيف يمكن أن يزيد المؤشر أو ينقص اعتمادًا على درجة الرؤوس المعنية في التحولات.

توفر النتائج رؤى حاسمة حول العلاقات بين درجات الرؤوس والتغيرات الناتجة في مؤشر سومبور عند إضافة أو إزالة الحواف. على سبيل المثال، تُظهر النتيجة 5 أنه إذا تم ربط رأس ذو درجة أعلى برأس معلق، فإن مؤشر سومبور يزيد تحت ظروف معينة. كما يقدم المؤلفون نظرية تحدد حدودًا لمؤشر سومبور للأشجار ذات ترتيب معين ودرجة قصوى، مما يشير إلى أن المؤشر يتم تقليله أو تعظيمه تحت تكوينات هيكلية معينة. تسهم هذه النتائج في فهم أعمق لبنى الأشجار في نظرية الرسم البياني وتأثيراتها على مؤشر سومبور، مما يمهد الطريق لمزيد من الاستكشاف لتحولات الرسم البياني وتأثيراتها على مختلف الثوابت الرسومية.

Journal: match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, Volume: 94, Issue: 3
DOI: https://doi.org/10.46793/match94-3.21724
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Sultan Ahmad et al.
Primary Topic: Graph theory and applications

Overview

The general Sombor index of a graph $ G $, denoted as $ SO_\alpha(G) $, is defined in terms of the degrees of its vertices, $ d_G(v_i) $, with $ \alpha $ being an arbitrary real number. This research investigates extremal trees within the class of $ n $-vertex trees that have a maximum degree $ \Delta $, focusing on the maximization and minimization of the general Sombor index across different intervals of $ \alpha $.

Specifically, for $ \alpha > 1 $ and $ \alpha \in [-1, 0) $, the study identifies the trees that maximize $ SO_\alpha $. Conversely, for $ \alpha < 0 $ and $ \alpha > 0 $, the research determines the trees that minimize the general Sombor index. However, the characterization of extremal trees for $ SO_\alpha $ in the remaining intervals of $ \alpha $ is still unresolved, indicating a significant area for future exploration in this field.

Introduction

In the introduction of the paper, the authors define a simple undirected graph $ G = (V, E) $ with vertex set $ V(G) $ and edge set $ E(G) $. The order $ n(G) $ and size $ m(G) $ of the graph correspond to the number of vertices and edges, respectively. They introduce key concepts such as vertex degree $ d_G(v_i) $ and the neighborhood $ N_G(v_i) $. The paper emphasizes the significance of degree-based topological indices in mathematical chemistry, particularly the Sombor index, which was recently introduced by Gutman. This index is defined as

\[
SO(G) = \sum_{v_i v_j \in E(G)} \left( d_G(v_i)^2 + d_G(v_j)^2 \right).
\]

The authors also discuss the general Sombor index proposed by Zhong and Hu, which incorporates a parameter $ \alpha $ and varies based on its value. The paper highlights recent studies on extremal trees and unicyclic graphs concerning the Sombor index and sets the stage for the main research problem: characterizing extremal trees within the class $ T(n, \Delta) $ for the general Sombor index $ SO_\alpha $ across different intervals of $ \alpha $.

The authors aim to identify trees that maximize or minimize the $ SO_\alpha $ index for specified ranges of $ \alpha $. The structure of the paper is outlined, indicating that subsequent sections will introduce relevant concepts, present main results, and conclude the findings.

Discussion

In the discussion section of the paper, the authors introduce foundational concepts and lemmas essential for the analysis of trees and their properties, particularly focusing on the generalized Sombor index, denoted as $SO_\alpha(G)$. Key definitions include the characterization of vertices based on their degree, such as pendant vertices (1-vertices) and the structure of various tree types like starlike trees and broom graphs. The authors establish a series of lemmas that explore the behavior of the Sombor index under specific transformations of graphs, revealing how the index can increase or decrease depending on the degree of vertices involved in the transformations.

The lemmas provide critical insights into the relationships between the degrees of vertices and the resulting changes in the Sombor index when edges are added or removed. For instance, Lemma 5 demonstrates that if a vertex with a higher degree is connected to a pendant vertex, the Sombor index increases under certain conditions. The authors also present a theorem that establishes bounds on the Sombor index for trees of a given order and maximum degree, indicating that the index is minimized or maximized under specific structural configurations. These findings contribute to a deeper understanding of tree structures in graph theory and their implications for the Sombor index, setting the stage for further exploration of graph transformations and their effects on various graph invariants.

كلمات مفتاحية: إحصائيات، التوافقيات، درجة (موسيقى)، رياضيات، علوم الحاسوب، فهرس (طباعة)، فيزياء