DOI: https://doi.org/10.33434/cams.1414791
تاريخ النشر: 2024-02-27
المؤلف: Serkan Demiriz وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية التقريب ومساحات المتتاليات
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة مشغل مصفوفة ميرسين العادي، المستمد من أعداد ميرسين، وتستكشف تطبيقه في سياق فضاءات المتتاليات المميزة بالمتتاليات القابلة للجمع من النوع p لـ \(1 \leq p \leq \infty\). تبحث البحث في خصائص مختلفة وعلاقات الشمولية لهذه الفضاءات، وتؤسس قاعدة شادو، وتعرف الثنائيات α- و β- و γ- المرتبطة بها.
علاوة على ذلك، تصف الورقة فئات المصفوفات التي تربط الفضاءات المعرفة حديثًا بفضاءات المتتاليات الكلاسيكية. جانب مهم من الدراسة هو فحص تماسك مشغلات المصفوفات التي تعمل على هذه الفضاءات المتصلة، مما يساهم في فهم أعمق للخصائص الوظيفية لمشغل مصفوفة ميرسين في هذا الإطار الرياضي.
مقدمة
تناقش المقدمة أعداد ميرسين، المعرفة بالصيغة \( m_r = 2^r – 1 \) لـ \( r \in \mathbb{N} \)، مع تسليط الضوء على أهميتها في نظرية الأعداد وعلوم الحاسوب. يحدد النص علاقات التكرار وخصائص الجمع لأعداد ميرسين، مشيرًا إلى التمييز بين أعداد ميرسين الأولية وغير الأولية، ويؤكد أنه إذا كانت \( m_r \) أولية، فإن \( r \) يجب أن تكون أيضًا أولية، على الرغم من أن العكس ليس صحيحًا.
علاوة على ذلك، يقدم القسم أنواعًا مختلفة من فضاءات المتتاليات، مثل \( \ell^\infty \)، \( c \)، \( c_0 \)، و \( \ell^p \) (لـ \( 1 \leq p < \infty \))، والتي تصنف كفضاءات باناش. يصف خصائص هذه الفضاءات، بما في ذلك خاصية AK، ويناقش التحولات المصفوفية ومجالاتها. يشير المؤلفون إلى دراسات سابقة حول فضاءات المتتاليات والمتتاليات الصحيحة الخاصة، مما يدل على اهتمام متزايد في هذا المجال. تهدف الورقة إلى تطوير مشغل مصفوفة منتظم جديد \( \mu \) بناءً على تسلسل ميرسين واستكشاف فضاءات المتتاليات المرتبطة بها، وخصائصها الجبرية والطوبولوجية، وتماسك مشغلات المصفوفات ضمن هذه الفضاءات.
نقاش
في هذا القسم، يستكشف المؤلفون خصائص مشغل مصفوفة ميرسين وفضاءات المتتاليات المرتبطة بميرسين، المشار إليها بـ $\ell_p(\mu)$ و $\ell_\infty(\mu)$. يثبتون أن مصفوفة ميرسين $\mu$ هي منتظمة، تلبي الشروط اللازمة للانتظام، ويظهرون أن الفضاءات $\ell_p(\mu)$ و $\ell_\infty(\mu)$ كاملة ومتساوية خطيًا مع الفضاءات الكلاسيكية $\ell_p$ و $\ell_\infty$ لـ $1 \leq p < \infty$. من الجدير بالذكر أنه تم إظهار أن $\ell_p(\mu)$ ليست فضاء هيلبرت لـ $p \neq 2$، ويقدم المؤلفون قاعدة شادو لهذه الفضاءات. يقدم القسم مزيدًا من التفاصيل حول علاقات الشمولية بين الفضاءات الميرسينية المعرفة حديثًا، مؤكدًا أن $\ell_p \subset \ell_p(\mu)$ تنطبق بشكل صارم لـ $1 \leq p < p' < \infty$، و $\ell_\infty \subset \ell_\infty(\mu)$. يتم تحديد الفضاءات الثنائية لـ $\ell_p(\mu)$، مما يكشف أن الثنائيات يمكن التعبير عنها من حيث فئات مصفوفات محددة. كما يتناول المؤلفون تماسك المشغلات بين هذه الفضاءات، موفرين شروطًا ضرورية وكافية للتماسك بناءً على مقياس هاوسدورف لعدم التماسك. بشكل عام، تساهم النتائج في فهم فضاءات المتتاليات الميرسينية وبنيتها الرياضية ضمن التحليل الوظيفي.
DOI: https://doi.org/10.33434/cams.1414791
Publication Date: 2024-02-27
Author(s): Serkan Demiriz et al.
Primary Topic: Approximation Theory and Sequence Spaces
Overview
This study introduces the regular Mersenne matrix operator, derived from Mersenne numbers, and explores its application within the context of sequence spaces characterized by p-summable sequences for \(1 \leq p \leq \infty\). The research investigates various properties and inclusion relations of these spaces, establishes a Schauder basis, and defines the α-, β-, and γ-duals associated with them.
Furthermore, the paper characterizes the matrix classes that connect the newly defined spaces to classical sequence spaces. A significant aspect of the study is the examination of the compactness of matrix operators acting on these related sequence spaces, contributing to a deeper understanding of the functional properties of the Mersenne matrix operator in this mathematical framework.
Introduction
The introduction discusses Mersenne numbers, defined by the formula \( m_r = 2^r – 1 \) for \( r \in \mathbb{N} \), highlighting their significance in number theory and computer science. The text outlines the recurrence relations and summation properties of Mersenne numbers, noting the distinction between prime and non-prime Mersenne numbers, and emphasizes that if \( m_r \) is prime, then \( r \) must also be prime, although the converse is not true.
Furthermore, the section introduces various sequence spaces, such as \( \ell^\infty \), \( c \), \( c_0 \), and \( \ell^p \) (for \( 1 \leq p < \infty \)), which are classified as Banach spaces. It describes the properties of these spaces, including the AK-property, and discusses matrix transformations and their domains. The authors reference previous studies on sequence spaces and special integer sequences, indicating a growing interest in this area. The paper aims to develop a new regular matrix operator \( \mu \) based on the Mersenne sequence and to explore the associated sequence spaces, their algebraic and topological properties, and the compactness of matrix operators within these spaces.
Discussion
In this section, the authors explore the properties of the Mersenne matrix operator and the associated Mersenne sequence spaces, denoted as $\ell_p(\mu)$ and $\ell_\infty(\mu)$. They establish that the Mersenne matrix $\mu$ is regular, satisfying the conditions necessary for regularity, and demonstrate that the spaces $\ell_p(\mu)$ and $\ell_\infty(\mu)$ are complete and linearly isomorphic to the classical spaces $\ell_p$ and $\ell_\infty$ for $1 \leq p < \infty$. Notably, it is shown that $\ell_p(\mu)$ is not a Hilbert space for $p \neq 2$, and the authors provide a Schauder basis for these spaces. The section further details the inclusion relations among the newly defined Mersenne spaces, confirming that $\ell_p \subset \ell_p(\mu)$ strictly holds for $1 \leq p < p' < \infty$, and $\ell_\infty \subset \ell_\infty(\mu)$. The dual spaces of $\ell_p(\mu)$ are characterized, revealing that the duals can be expressed in terms of specific matrix classes. The authors also address the compactness of operators between these spaces, providing necessary and sufficient conditions for compactness based on the Hausdorff measure of non-compactness. Overall, the findings contribute to the understanding of Mersenne sequence spaces and their mathematical structure within functional analysis.