DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-025-00402-8
تاريخ النشر: 2025-04-16
المؤلف: Fatma Al-Musalhi وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نحقق في المعادلات التفاضلية الكسرية متعددة الحدود المميزة بمشتقات من نوع إرديلي-كوبير، مع تضمين معاملات متغيرة مستمرة وأوامر كسرية مستقلة متعددة. نؤسس إطارًا عامًا لحل هذه المعادلات، مما يؤدي إلى حلول صريحة تمثل كسلا متقاربة بشكل موحد. تعتمد منهجيتنا على نظرية النقطة الثابتة لباناش المطبقة على مشغل تكاملي، مما يسهل تحديد حلول فريدة تتوافق مع معادلات التكامل الكسرية من نوع إرديلي-كوبير تحت ظروف ابتدائية مناسبة.
نتيجة مهمة من أبحاثنا هي النظرية 5، التي تتناول المعادلة التفاضلية الكسرية غير المتجانسة مع ظروف ابتدائية عامة. نبرز العلاقة بين مشغلات إرديلي-كوبير ومشغلات ريمان-ليوفيلي من خلال علاقات التحويل، مما يمكّن من تطبيق النتائج المعروفة من حساب التفاضل والتكامل الكسرية لريمان-ليوفيلي لاشتقاق رؤى جديدة حول معادلات إرديلي-كوبير. بينما تعتبر وظائف الحلول الصريحة لدينا سليمة من الناحية النظرية، فإن حسابها العملي يطرح تحديات، خاصة في تقييم السلاسل التي تتضمن قوى من المشغلين التكاملين. تهدف الجهود المستمرة إلى تطوير صيغ بديلة لهذه الحلول تعزز من الجدوى الحسابية. بالإضافة إلى ذلك، نؤكد أن نتائجنا تشمل وتوسع النتائج الموجودة لحالات معينة، بما في ذلك معادلات التفاضل الكسرية من نوع ريمان-ليوفيلي وهايبر-بيسيل، مما يعزز من قوة منهجنا ضمن السياق الأوسع لحساب التفاضل والتكامل الكسرية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة مجال حساب التفاضل والتكامل الكسرية، الذي يهدف إلى توسيع مشغلات التكامل والتفاضل التقليدية إلى أوامر كسرية. تبرز أهمية مشغلات كسرية متنوعة، وخاصة مشغلات إرديلي-كوبير، التي حظيت باهتمام بسبب خصائصها الرياضية وتطبيقاتها في المعادلات التفاضلية الكسرية. يشير المؤلفون إلى مجموعة من الأدبيات التي تستكشف مشغلات إرديلي-كوبير وأهميتها في الرياضيات البحتة والتطبيقية، مع التأكيد على التحديات المرتبطة بالتحقيق في المعادلات التفاضلية الكسرية التي تتضمن معاملات متغيرة ومشتقات إرديلي-كوبير.
تهدف الورقة إلى سد الفجوة بين هذين المجالين من خلال استكشاف المعادلات التفاضلية الكسرية ذات المعاملات المتغيرة باستخدام مشغلات إرديلي-كوبير بشكل منهجي. يحدد المؤلفون نهجهم، الذي يبدأ بقسم تمهيدي يعرف المشغلات ومساحات الدوال اللازمة. يتم تقديم النتائج الرئيسية في الأقسام التالية، التي تتناول كل من المعادلات غير المتجانسة والمتجانسة، وتصل إلى حل شامل لأكثر المشاكل عمومية ضمن هذا الإطار. تختتم الورقة بأمثلة تؤكد النتائج وملخص لتداعيات عملهم.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون خصائص وتعريفات مساحات الدوال ذات الصلة بحساب التفاضل والتكامل الكسرية من نوع إرديلي-كوبير، مع التأكيد على الحاجة إلى رموز مميزة لتجنب الارتباك بين مساحات الدوال المختلفة. يعرفون مساحتين، $\alpha C[0, T]$ و $C^\alpha[0, T]$، بناءً على سلوك الدوال تحت تحولات معينة، مع تسليط الضوء على شروطهما المتعلقة بالمعامل $\alpha$. يقدم المؤلفون أيضًا التكامل والتفاضل الكسرين من نوع إرديلي-كوبير، موفرين تعريفاتهما وخصائصهما الرئيسية، بما في ذلك نتائج التقييد التي تؤسس العلاقة بين هذه المشغلات ومساحات الدوال المحددة.
يتناول القسم أيضًا وجود وحصرية الحلول للمعادلات التفاضلية الكسرية غير المتجانسة ذات المعاملات المتغيرة، مستفيدًا من نظرية النقطة الثابتة لباناش. يستخرج المؤلفون حلاً صريحًا لسلسلة المعادلة التفاضلية الكسرية تحت ظروف ابتدائية متجانسة، موضحين التقارب في مساحة الدوال المحددة. كما يتناولون الحالة المتجانسة مع ظروف ابتدائية عامة، موضحين طريقة لبناء الحلول من خلال مجموعة معيارية وتأسيس حصرية هذه الحلول. بشكل عام، تؤكد النتائج على العلاقات المعقدة بين حساب التفاضل والتكامل الكسرية، ومساحات الدوال، ووجود الحلول للمعادلات التفاضلية الكسرية.
DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-025-00402-8
Publication Date: 2025-04-16
Author(s): Fatma Al-Musalhi et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this study, we investigate multi-term fractional differential equations characterized by Erdélyi-Kober type derivatives, incorporating continuous variable coefficients and multiple independent fractional orders. We establish a general framework for solving these equations, yielding explicit solutions represented as uniformly convergent series. Our methodology employs the Banach fixed point theorem applied to an integral operator, which facilitates the identification of unique solutions corresponding to the fractional Erdélyi-Kober integral equations under appropriate initial conditions.
A significant outcome of our research is Theorem 5, which addresses the inhomogeneous fractional differential equation with general initial conditions. We highlight the relationship between Erdélyi-Kober operators and Riemann-Liouville operators through transmutation relations, enabling the application of established results from Riemann-Liouville fractional calculus to derive new insights into Erdélyi-Kober equations. While our explicit solution functions are theoretically sound, their practical computation poses challenges, particularly in evaluating series involving powers of integral operators. Ongoing efforts aim to develop alternative formulations for these solutions that enhance computational feasibility. Additionally, we confirm that our findings encompass and extend existing results for specific cases, including Riemann-Liouville and hyper-Bessel fractional differential equations, thereby reinforcing the robustness of our approach within the broader context of fractional calculus.
Introduction
The introduction of the paper discusses the field of fractional calculus, which aims to extend traditional integral and derivative operators to fractional orders. It highlights the significance of various fractional operators, particularly the Erdélyi-Kober operators, which have garnered attention for their mathematical properties and applications in fractional differential equations. The authors reference a range of literature that explores the Erdélyi-Kober operators and their relevance in both pure and applied mathematics, emphasizing the challenges associated with investigating fractional differential equations that incorporate variable coefficients and Erdélyi-Kober derivatives.
The paper aims to bridge the gap between these two areas by systematically exploring fractional differential equations with variable coefficients using Erdélyi-Kober operators. The authors outline their approach, which begins with a preliminary section defining the necessary operators and function spaces. The main results are presented in subsequent sections, addressing both non-homogeneous and homogeneous equations, and culminating in a comprehensive solution to the most general problem within this framework. The paper concludes with examples that validate the findings and a summary of the implications of their work.
Discussion
In this section, the authors discuss the properties and definitions of function spaces relevant to Erdélyi-Kober fractional calculus, emphasizing the need for distinct notations to avoid confusion between different function spaces. They define two spaces, $\alpha C[0, T]$ and $C^\alpha[0, T]$, based on the behavior of functions under specific transformations, highlighting their respective conditions on the parameter $\alpha$. The authors also introduce the Erdélyi-Kober fractional integral and derivative, providing their definitions and key properties, including boundedness results that establish the relationship between these operators and the defined function spaces.
The section further elaborates on the existence and uniqueness of solutions to non-homogeneous fractional differential equations with variable coefficients, utilizing the Banach fixed point theorem. The authors derive an explicit series solution for the fractional differential equation under homogeneous initial conditions, demonstrating convergence in the specified function space. They also address the homogeneous case with general initial conditions, outlining a method to construct solutions through a canonical set and establishing the uniqueness of these solutions. Overall, the findings underscore the intricate relationships between fractional calculus, function spaces, and the existence of solutions to fractional differential equations.