DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-53822-6
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38342935
تاريخ النشر: 2024-02-12
المؤلف: Mohammad Izadi وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة البحثية تقنية جديدة لتجميع المصفوفات تدمج بين دوال فييتا-لوكاس ذات الترتيب الكسري المنزاحة (FSVLFs) وطريقة التخطية شبه الخطية (QLM) للتقييم العددي لنموذج توصيل الحرارة متعدد الترتيب الكسري المتعلق بالرأس البشري، والذي يتميز بالتفرد وغير الخطية. تستخدم الطريقة مشتق ليوفيل-كابوتو للعمليات الكسري، حيث تتعامل QLM مع عدم خطية النموذج الأساسية من خلال تحويله إلى سلسلة من المعادلات الفرعية الخطية. تسهل FSVLFs، المستخدمة جنبًا إلى جنب مع نقاط التجميع التي تتوافق مع أصفارها، صياغة نظام جبر خطي في كل تكرار. يتم إثبات تقارب سلسلة حلول FSVLFs في معيار \( L^2 \) الموزون، مما يظهر تقاربًا موحدًا من الدرجة \( O(K^{-3}) \)، حيث \( K \) يدل على عدد FSVLFs المستخدمة.
تشير النتائج إلى أن طريقة QLM-FSVLFs تنتج حلول تقريبية فعالة بدقة عالية، خاصة بالقرب من النقاط الفردية. تتضمن المنهجية أيضًا دوال خطأ متبقية لتقييم دقة الخوارزمية الهجينة. تكشف التحليلات المقارنة مع النماذج العددية الحالية عن تفوق نهج QLM-FSVLFs، الذي يتميز بسهولة تطبيقه. تؤكد النتائج، المدعومة بتجارب حسابية واسعة عبر أوامر كسري مختلفة ومعلمات عدم الخطية، على إمكانيات تقنية QLM-FSVLFs في معالجة مجموعة واسعة من مشاكل النماذج الكسري متعددة الترتيب والأبعاد في التطبيقات العلمية والهندسية.
طرق
في هذا القسم، يحدد المؤلفون المنهجية لاستخدام دوال الخطأ المتبقية (REFs) لتقييم دقة الطريقة شبه الخطية المطورة لدوال الطول المتغير الكسري (QLM-FSVLFs). نظرًا لعدم إمكانية الحصول على حلول تحليلية للأوامر الكسري المعطاة، وخاصة ضمن النطاقات \(1 < \gamma \leq 2\) و\(0 < \sigma \leq 1\)، يتم استخدام نهج REFs. يتم استبدال الحل التقريبي المستمد في المعادلة (4.5) في المعادلة الأصلية (1.4) لحساب REFs لقيم مختلفة من \(\ell\) (حيث \(\ell = 0, 1, 2, \ldots\)). بعد ذلك، يتم تحديد القيم القصوى لـ REFs لقيمة ثابتة من \(\ell\)، مما يسمح بتقييم ترتيب التقارب العددي، المشار إليه بـ \(\text{ord}_{\infty} K\). يوفر هذا النسبة رؤى حول سلوك التقارب للطريقة المقترحة، مما يسهل التقييم الكمي لدقتها وفعاليتها في حل مشكلة الترتيب الكسري المعنية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية لحساب التفاضل الكسري، مع التركيز بشكل خاص على مشغل ليوفيل-كابوتو (LC) وتطبيقاته. يعرفون فضاء الدوال المرتبطة بالمشتقات الكسري ويقدمون دوال فييتا-لوكاس المنزاحة (SVLFs)، التي تعتبر أساسية للطرق العددية المطورة في الدراسة. يتم تعريف SVLFs بشكل تكراري، ويتم تحليل خصائصها، بما في ذلك التعامد وتقديرات الخطأ، بدقة. يقدم المؤلفون أيضًا دوال SVLFs ذات الترتيب الكسري (FSVLFs)، التي توسع SVLFs إلى درجات كسري، مما يظهر فائدتها في التقريبات العددية.
يتناول القسم أيضًا خصائص التقارب لـ FSVLFs ويحدد حدود الخطأ لتقريبات الدوال القابلة للتكامل التربيعي. يستخرج المؤلفون حدودًا علوية للمعاملات في تمثيل السلسلة للدوال ويقدمون تحليلًا مفصلًا للخطأ العالمي في كل من معايير $L^2$ و$L^\infty$. يختتمون باقتراح نهج يجمع بين التخطية شبه الخطية وFSVLFs لحل نموذج غير خطي للرأس البشري، مع تسليط الضوء على فعالية طريقتهم من خلال محاكاة عددية تقارن بشكل إيجابي مع التقنيات الحالية. تشير النتائج إلى أن نهج QLM-FSVLFs ينتج دقة عالية بتكلفة حسابية خطية، مما يجعله أداة واعدة لحل المعادلات التفاضلية الكسري المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-53822-6
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38342935
Publication Date: 2024-02-12
Author(s): Mohammad Izadi et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research paper presents a novel matrix collocation technique that integrates fractional-order shifted Vieta-Lucas functions (FSVLFs) with the quasilinearization method (QLM) for the numerical evaluation of a fractional multi-order heat conduction model pertinent to the human head, characterized by singularity and nonlinearity. The approach employs the Liouville-Caputo derivative for fractional operators, with the QLM addressing the model’s inherent nonlinearity by transforming it into a series of linearized subequations. The FSVLFs, utilized alongside collocation nodes corresponding to their zeros, facilitate the formulation of a linear algebraic system at each iteration. The convergence of the FSVLFs series solution is established in the weighted \( L^2 \) norm, demonstrating uniform convergence of order \( O(K^{-3}) \), where \( K \) denotes the number of FSVLFs used.
The findings indicate that the QLM-FSVLFs method yields efficient approximate solutions with high-order accuracy, particularly near singular points. The methodology also incorporates residual error functions to assess the accuracy of the hybrid algorithm. Comparative analyses with existing numerical models reveal the superiority of the QLM-FSVLFs approach, which is noted for its straightforward implementation. The results, supported by extensive computational experiments across various fractional orders and nonlinearity parameters, affirm the potential of the QLM-FSVLFs technique for addressing a broad spectrum of multi-order, multi-dimensional fractional model problems in scientific and engineering applications.
Methods
In this section, the authors outline the methodology for employing residual error functions (REFs) to assess the accuracy of the developed quasi-linear method for fractional variable-length functions (QLM-FSVLFs). Due to the impracticality of obtaining analytical solutions for the given fractional orders, specifically within the ranges \(1 < \gamma \leq 2\) and \(0 < \sigma \leq 1\), the REFs approach is utilized. The approximate solution derived in equation (4.5) is substituted into the original equation (1.4) to compute the REFs for various values of \(\ell\) (where \(\ell = 0, 1, 2, \ldots\)). Subsequently, the maximum values of the REFs for a fixed \(\ell\) are determined, which allows for the evaluation of the numerical order of convergence, denoted as \(\text{ord}_{\infty} K\). This ratio provides insight into the convergence behavior of the proposed method, thereby facilitating a quantitative assessment of its accuracy and effectiveness in solving the fractional order problem at hand.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts of fractional calculus, particularly focusing on the Liouville-Caputo (LC) operator and its applications. They define the space of functions associated with fractional derivatives and introduce the shifted Vieta-Lucas functions (SVLFs), which are essential for the numerical methods developed in the study. The SVLFs are defined recursively, and their properties, including orthogonality and error estimates, are rigorously analyzed. The authors also present the fractional-order SVLFs (FSVLFs), which extend the SVLFs to fractional degrees, demonstrating their utility in numerical approximations.
The section further elaborates on the convergence properties of the FSVLFs and establishes error bounds for approximations of square integrable functions. The authors derive upper bounds for the coefficients in the series representation of functions and provide a detailed analysis of the global error in both weighted $L^2$ and $L^\infty$ norms. They conclude by proposing a combined quasilinearization and FSVLFs approach to solve a nonlinear human head model, highlighting the effectiveness of their method through numerical simulations that compare favorably with existing techniques. The results indicate that the QLM-FSVLFs approach yields high accuracy with a linear computational cost, making it a promising tool for solving complex fractional differential equations.