DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-88310-y
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40055387
تاريخ النشر: 2025-03-07
المؤلف: Qursam Fatima وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تتناول ورقة البحث التحدي الصحي العالمي الذي يطرحه فيروس التهاب الكبد الوبائي (HBV)، الذي يتحمل مسؤولية العديد من أمراض الكبد، بما في ذلك تليف الكبد وسرطان الخلايا الكبدية. يقوم المؤلفون بتحسين النماذج الرياضية الحالية لـ HBV من خلال دمج قسم للعلاج، مما يعزز فهم ديناميات المرض ويعلم استراتيجيات العلاج. يتم إجراء تحليل استقرار للتوازن الخالي من المرض، ولأخذ الشكوك في قيم المعلمات في الاعتبار، يتم استخدام أعداد غاوسية ضبابية، مما يؤدي إلى إطار تنبؤي أكثر واقعية. يتم استخدام خوارزمية سلسلة القوة المتبقية الممتدة لاشتقاق الحل، مع تقييم الدقة من خلال حسابات الخطأ وتقييم المتانة باستخدام قيم r-cut.
تؤكد النتائج على أهمية العلاج الفوري لعدوى HBV في مراحلها المبكرة وتسلط الضوء على الحاجة إلى تدابير وقائية، مثل تجنب إعادة استخدام المعدات الطبية وزيادة الوعي في المناطق الريفية بشأن المخاطر المرتبطة بالعلاج غير المهني. لا توضح المنهجية المقترحة ديناميات الأنظمة الوبائية فحسب، بل تقدم أيضًا رؤى قيمة قابلة للتطبيق عبر البيولوجيا والهندسة والطب.
طرق
في هذا القسم، يوضح المؤلفون تطبيق طريقة سلسلة القوة المتبقية لابلاس (LRPS) لحل نموذج HBV الضبابي-الكسري، كما هو موضح في المعادلات (9) و(11). يتم تعريف الحل الضبابي للمتغير \( S(t, r) \) مع حدود عليا وسفلى، \( S(t, r) \) و \( S(t, r) \) على التوالي. من خلال تطبيق تحويل لابلاس على النظام، يتم اشتقاق سلسلة من المعادلات، بما في ذلك تعبيرات لـ \( S(s, r) \)، \( \tilde{E}(s, r) \)، \( \tilde{I}(s, r) \)، \( \tilde{A}(s, r) \)، \( C(s, r) \)، \( T(s, r) \)، و \( R(s, r) \)، كل منها يتضمن الشروط الأولية ومعلمات النموذج.
تشمل المنهجية أيضًا بناء سلسلة كسريّة مقطوعة لكل متغير، يُشار إليها بـ \( S_k(s, r) \)، \( \tilde{E}_k(s, r) \)، \( \tilde{I}_k(s, r) \)، \( \tilde{A}_k(s, r) \)، \( C_k(s, r) \)، \( T_k(s, r) \)، و \( R_k(s, r) \). يقوم المؤلفون باشتقاق دوال القوة المتبقية لابلاس لهذه المتغيرات ويقيمون نظامًا من المعادلات لتحديد المعاملات المجهولة. من خلال تعيين \( k = 1 \)، يحصلون على تعبيرات محددة للمعاملات من الدرجة الأولى، مما يؤدي إلى مخرجات لـ \( S_1 \)، \( \tilde{E}_1 \)، \( \tilde{I}_1 \)، \( \tilde{A}_1 \)، \( C_1 \)، \( T_1 \)، و \( R_1 \). تشير النتائج إلى كيفية ارتباط المعاملات بالشروط الأولية والمعلمات، مما يوفر إطارًا لمزيد من تحليل نموذج HBV الضبابي-الكسري.
نقاش
يؤكد قسم النقاش في ورقة البحث على دمج المنطق الضبابي وحساب التفاضل الكسري في نمذجة ديناميات عدوى فيروس التهاب الكبد الوبائي (HBV). يجادل المؤلفون بأن استخدام المشتقات الكسريّة يعزز دقة النمذجة على المدى الطويل من خلال التقاط تأثيرات الذاكرة والخصائص الجينية للأمراض. يتم استخدام المنطق الضبابي لمعالجة الشكوك وتغير المعلمات، مما يحسن موثوقية نموذج HBV المقترح. يقسم النموذج السكان إلى أقسام تمثل مراحل مختلفة من العدوى والتعافي، بما في ذلك قسم العلاج المضاف حديثًا الذي يأخذ في الاعتبار الأفراد الذين يتلقون العلاج المضاد للفيروسات. هذه الإضافة ضرورية لمحاكاة تأثيرات العلاج على تقدم المرض وفهم ديناميات انتقال HBV.
يتم تقديم الصياغة الرياضية لنموذج HBV من خلال نظام من المعادلات التفاضلية الكسريّة، والذي يتضمن أعداد غاوسية ضبابية لأخذ الشكوك في قيم المعلمات في الاعتبار. يتم تحليل استقرار النموذج، مما يكشف أن التوازن الخالي من المرض مستقر محليًا عندما يكون عدد التكاثر الأساسي \( R_0 < 1 \). يستخدم المؤلفون طريقة سلسلة القوة المتبقية الممتدة (RPSM) للتحليل العددي، مما يوفر حلول تقريبية ويقيم الأخطاء المتبقية. تؤكد النتائج على أهمية دمج ديناميات العلاج والشكوك في النماذج الوبائية، مما يوفر رؤى قيمة لمهنيي الرعاية الصحية والباحثين الذين يركزون على انتقال HBV واستراتيجيات السيطرة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-88310-y
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40055387
Publication Date: 2025-03-07
Author(s): Qursam Fatima et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The research paper addresses the global health challenge posed by the Hepatitis B virus (HBV), which is responsible for various liver diseases, including cirrhosis and hepatocellular carcinoma. The authors enhance existing mathematical models of HBV by incorporating a treatment compartment, thereby improving the understanding of the disease’s dynamics and informing treatment strategies. A stability analysis of the disease-free equilibrium is performed, and to account for uncertainties in parameter values, Gaussian fuzzy numbers are utilized, leading to a more realistic predictive framework. The extended residual power series algorithm is employed for solution derivation, with accuracy assessed through error calculations and robustness evaluated using r-cut values.
The findings underscore the importance of timely treatment for early-stage HBV infections and highlight the need for preventive measures, such as avoiding the reuse of medical equipment and increasing awareness in rural areas regarding the risks associated with non-professional treatment. The proposed methodology not only elucidates the dynamics of epidemic systems but also offers valuable insights applicable across biology, engineering, and medicine.
Methods
In this section, the authors detail the application of the Laplace Residual Power Series (LRPS) method to solve the fuzzy-fractional HBV model, as represented by equations (9) and (11). The fuzzy solution for the variable \( S(t, r) \) is defined with upper and lower bounds, \( S(t, r) \) and \( S(t, r) \), respectively. By applying the Laplace transform to the system, a series of equations are derived, including expressions for \( S(s, r) \), \( \tilde{E}(s, r) \), \( \tilde{I}(s, r) \), \( \tilde{A}(s, r) \), \( C(s, r) \), \( T(s, r) \), and \( R(s, r) \), each incorporating initial conditions and parameters of the model.
The methodology further involves constructing a fractional truncated series for each variable, denoted as \( S_k(s, r) \), \( \tilde{E}_k(s, r) \), \( \tilde{I}_k(s, r) \), \( \tilde{A}_k(s, r) \), \( C_k(s, r) \), \( T_k(s, r) \), and \( R_k(s, r) \). The authors derive the Laplace residual functions for these variables and establish a system of equations to determine the unknown coefficients. By setting \( k = 1 \), they obtain specific expressions for the first-order coefficients, leading to outputs for \( S_1 \), \( \tilde{E}_1 \), \( \tilde{I}_1 \), \( \tilde{A}_1 \), \( C_1 \), \( T_1 \), and \( R_1 \). The results indicate how the coefficients relate to the initial conditions and parameters, providing a framework for further analysis of the fuzzy-fractional HBV model.
Discussion
The discussion section of the research paper emphasizes the integration of fuzzy logic and fractional calculus in modeling the dynamics of Hepatitis B virus (HBV) infection. The authors argue that using fractional derivatives enhances the accuracy of long-term modeling by capturing the memory effects and genetic characteristics of diseases. Fuzzy logic is employed to address uncertainties and parameter variability, thereby improving the reliability of the proposed HBV model. The model divides the population into compartments representing various stages of infection and recovery, including a newly added treatment compartment that accounts for individuals receiving antiviral therapy. This addition is crucial for simulating the effects of treatment on disease progression and understanding the dynamics of HBV transmission.
The mathematical formulation of the HBV model is presented through a system of fractional differential equations, which incorporates Gaussian fuzzy numbers to account for uncertainties in parameter values. The model’s stability is analyzed, revealing that the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable when the basic reproduction number \( R_0 < 1 \). The authors utilize the extended residual power series method (RPSM) for numerical analysis, providing approximate solutions and assessing residual errors. The findings underscore the importance of incorporating treatment dynamics and uncertainty into epidemic models, offering valuable insights for healthcare professionals and researchers focused on HBV transmission and control strategies.