DOI: https://doi.org/10.1017/apr.2025.10049
تاريخ النشر: 2026-01-29
المؤلف: Mahmoud Khabou وآخرون
الموضوع الرئيسي: عمليات النقاط وعدم المساواة الهندسية
نظرة عامة
تتميز عملية مخاطر هوكس المميزة بأنها عملية نقاط مركبة حيث تؤثر الأحداث الماضية على الحدوثات المستقبلية وأحجامها. تقدم هذه الدراسة تقريبًا قويًا في الزمن المنفصل لعملية المخاطر المستمرة، مستمدًا من نفس قياس بواسون، وتثبت نتائج التقارب في فضاءات سوبوليف الفرعية وفضاء سكوروكهود. هذه النتائج توسع النظريات السابقة التي قدمها هوانغ وخابو (2023) وكيرشنر (2016)، موفرة حدودًا عليا على سرعة التقارب التي تعتمد على حجم خطوة التقطيع، وأفق الزمن، وانتظام النواة.
في الختام، يستخدم المؤلفون حجج الاقتران من خلال التخفيف من قياس بواسون لاستنتاج حدود صريحة على المسافة بين تضمين الزمن المستمر لعملية الانحدار الذاتي غير الخطية لبواسون (عملية هوكس في الزمن المنفصل) وعملية هوكس القياسية في الزمن المستمر. تشير النتائج إلى أن سرعة التقارب تتأثر بكل من خطوة الزمن المقطعة وأفق الزمن \( T \). علاوة على ذلك، يمكن تعميم نتائج التقارب على عمليات هوكس متعددة المتغيرات مع الإثارة المتبادلة والتثبيط، مما يتطلب التخفيف من قياسات بواسون المستقلة المتعددة. تمتد الدراسة أيضًا إلى المعادلات التفاضلية العشوائية (SDEs) التي تتضمن ضوضاء براونية وقفزات هوكس المعتمدة على الحالة، مما يمثل مساهمة كبيرة في الأدبيات المتعلقة بمعادلات SDEs القفزية-الانتشار، مع تطبيقات محتملة في مجالات مثل تسعير الخيارات وعلم الأعصاب.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية تطور وتطبيقات عمليات هوكس، مع التركيز بشكل خاص على الانتقال من النماذج الخطية إلى النماذج غير الخطية. تم تطوير عمليات هوكس الخطية في البداية كإطار لنمذجة الأحداث المعدية، وقد تم تطبيقها عبر مجالات متنوعة، بما في ذلك المالية ووسائل التواصل الاجتماعي وعلم الزلازل. يسمح التمديد إلى عمليات هوكس غير الخطية، التي قدمها بريماود وماسولي، بوجود اعتمادات أكثر تعقيدًا، مثل التثبيط الذاتي، على الرغم من أنه يضحي ببعض الملاءمات التحليلية مثل إطار غالتون-واتسون. على الرغم من هذه التحديات، اكتسبت النماذج غير الخطية زخمًا، خاصة في مجالات مثل علم الأعصاب، حيث يكون التثبيط الذاتي حاسمًا.
تسلط الورقة الضوء أيضًا على الاهتمام المتزايد في نماذج العد في الزمن المنفصل، وخاصة عملية الانحدار الذاتي الصحيحة من الدرجة \( p \) (INAR(p)) والانحدارات الذاتية لبواسون. بينما تلتقط نماذج INAR الإثارة الذاتية، فإنها محدودة بالديناميات الخطية. بالمقابل، يمكن أن تستوعب الانحدارات الذاتية لبواسون عدم الخطية، وبالتالي نمذجة كل من الإثارة الذاتية والتثبيط الذاتي. يقترح المؤلفون نهجًا جديدًا يجسر الفجوة بين عمليات هوكس وسلاسل العد من خلال تقطيع التكاملات العشوائية، مما يسهل تطوير تقنيات تقدير أكثر توجيهًا نحو البيانات لعمليات هوكس غير الخطية. تعد الورقة بتقديم نتائج تقريب قوية لهذه العمليات، والتي تعتبر حاسمة للتطبيقات العددية، وتحدد هيكل المقالة، بما في ذلك التعريفات، ونتائج التقارب، والبراهين.
النتائج
في النتائج الأولية، يقدم المؤلفون نتيجة انتظام تتعلق بعملية الحد في الزمن المستمر. هذه النتيجة مهمة لأنها تبرز آثار عدم الانتظام في المعامل $\lambda$. على وجه التحديد، إذا أظهر $\lambda$ عدم انتظام مفرط، فقد يؤدي التقريب الجزئي إلى قبول أو رفض نقاط تنحرف عن نتائج العملية في الزمن المستمر. يبرز هذا أهمية الحفاظ على مستوى معين من الانتظام في $\lambda$ لضمان دقة التقريب للسلوك في الزمن المستمر.
المناقشة
في هذا القسم، يعرف المؤلفون عملية هوكس المميزة المركبة في كل من الزمن المستمر والزمن المنفصل، مستخدمين قياس بواسون ثلاثي الأبعاد كمصدر رئيسي للعشوائية. تتميز العملية في الزمن المستمر بمعادلة تفاضلية عشوائية (SDE) تتضمن دالة نواة $h$، ومعدل قفز $\psi$، وتوزيع حجم المطالبات $\nu$. تضمن شرط الاستقرار، المعبر عنه كـ $\rho_h := L h_1 E[b(Y)] < 1$، أن تظل العملية معرفة بشكل جيد تحت افتراضات معينة تتعلق بالدوال المعنية. يتم اشتقاق عملية مخاطر هوكس المميزة من تخفيف قياس بواسون الأساسي، مما يؤدي إلى حل فريد على مستوى المسار لعمليات الكثافة والمخاطر. في إعداد الزمن المنفصل، يقوم المؤلفون بتقطيع الفترة $[0, T]$ إلى $M$ فترات متساوية المسافة ويؤسسون فرضية استقرار مشابهة. يتم بناء عملية مخاطر هوكس المميزة في الزمن المنفصل باستخدام نفس قياس بواسون، مما يؤدي إلى عملية ثابتة قطعة-مستمرة. يقدم المؤلفون خوارزمية لمحاكاة الانحدارات الذاتية لبواسون غير الخطية، مؤكدين أن المحاكاة يمكن أن تتم دون محاكاة قياس بواسون مباشرة. كما يناقشون الكفاءة الحسابية للتكرار المعني في المحاكاة، مشيرين إلى أنه يمكن تحسينه تحت ظروف معينة تتعلق بدالة النواة. تختتم القسم بمناقشة حول تقارب العملية في الزمن المنفصل إلى نظيرتها في الزمن المستمر، خاصة في سياق فضاءات سوبوليف الفرعية، مما يبرز أهمية انتظام النواة لتأسيس معدلات التقارب.
DOI: https://doi.org/10.1017/apr.2025.10049
Publication Date: 2026-01-29
Author(s): Mahmoud Khabou et al.
Primary Topic: Point processes and geometric inequalities
Overview
The marked Hawkes risk process is characterized as a compound point process where past events influence future occurrences and their magnitudes. This study introduces a robust discrete-time approximation of the continuous-time risk process, derived from the same Poisson measure, and establishes convergence results in fractional Sobolev spaces and the Skorokhod space. These findings extend previous theorems by Huang and Khabou (2023) and Kirchner (2016), providing upper bounds on convergence speed that depend on the discretization step size, time horizon, and kernel regularity.
In conclusion, the authors employ coupling arguments through thinning from a Poisson measure to derive explicit bounds on the distance between the continuous-time embedding of nonlinear Poisson autoregression (the discrete-time Hawkes process) and the standard continuous-time Hawkes process. The results indicate that convergence speed is influenced by both the discretization time step and the time horizon \( T \). Furthermore, the convergence results can be generalized to multivariate Hawkes processes with cross-excitation and inhibition, necessitating thinning from multiple independent Poisson measures. The study also extends to stochastic differential equations (SDEs) incorporating Brownian noise and state-dependent Hawkes jumps, marking a significant contribution to the literature on jump-diffusion SDEs, with potential applications in fields such as option pricing and neuroscience.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the evolution and applications of Hawkes processes, particularly emphasizing the transition from linear to nonlinear models. Initially developed as a framework for modeling contagious events, linear Hawkes processes have been applied across various domains, including finance, social media, and seismology. The extension to nonlinear Hawkes processes, introduced by Brémaud and Massoulié, allows for more complex dependencies, such as self-inhibition, although it sacrifices certain analytical conveniences like the Galton-Watson framework. Despite these challenges, nonlinear models have gained traction, especially in fields like neuroscience, where self-inhibition is critical.
The paper also highlights the growing interest in discrete-time count models, particularly the integer autoregressive process of order \( p \) (INAR(p)) and Poisson autoregressions. While INAR models capture self-excitation, they are limited to linear dynamics. In contrast, Poisson autoregressions can accommodate nonlinearities, thus modeling both self-excitation and self-inhibition. The authors propose a novel approach that bridges the gap between Hawkes processes and count series through a discretization of stochastic integrals, facilitating the development of more data-oriented estimation techniques for nonlinear Hawkes processes. The paper promises to provide strong approximation results for these processes, which are crucial for numerical applications, and outlines the structure of the article, including definitions, convergence results, and proofs.
Results
In the preliminary results, the authors present a regularity result concerning the limit process in continuous time. This finding is significant as it highlights the implications of irregularity in the parameter $\lambda$. Specifically, if $\lambda$ exhibits excessive irregularity, a piecewise approximation may lead to the acceptance or rejection of points that deviate from the outcomes of the continuous-time process. This underscores the importance of maintaining a certain level of regularity in $\lambda$ to ensure the fidelity of the approximation to the continuous-time behavior.
Discussion
In this section, the authors define the compound marked Hawkes process in both continuous and discrete time, utilizing a tridimensional Poisson measure as the primary source of randomness. The continuous-time process is characterized by a stochastic differential equation (SDE) that incorporates a kernel function $h$, a jump rate $\psi$, and a claim size distribution $\nu$. The stability condition, expressed as $\rho_h := L h_1 E[b(Y)] < 1$, ensures that the process remains well-defined under certain assumptions regarding the functions involved. The marked Hawkes risk process is derived from thinning the underlying Poisson measure, leading to a unique pathwise solution for the intensity and risk processes. In the discrete-time setting, the authors discretize the interval $[0, T]$ into $M$ equidistant intervals and establish a similar stability assumption. The discrete-time marked Hawkes risk is constructed using the same Poisson measure, resulting in a càdlàg piecewise constant process. The authors present an algorithm for simulating nonlinear Poisson autoregressions, emphasizing that the simulation can be performed without directly simulating the Poisson measure. They also discuss the computational efficiency of the recursion involved in the simulation, noting that it can be optimized under specific conditions related to the kernel function. The section concludes with a discussion on the convergence of the discrete-time process to its continuous counterpart, particularly in the context of fractional Sobolev spaces, highlighting the importance of the kernel's regularity for establishing convergence rates.